高考数学坐标系与参数方程专项练习含答案.doc

坐标系与参数方程专项练习一、知识梳理1极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：（1），（2）2参数方程(t为参数)化为普通方程的常用方法（1）代入法/加减法消参（2）借助三角恒等式sin2cos21（为参数）消参3直角坐标方程，极坐标方程和参数方程的转化关系极坐标方程(，)直角坐标方程(普通方程)(x，y)参数方程(t为参数)二、练习专项【题型1】极坐标方程直角坐标方程参数方程直角坐标方程1（2023全国卷，文科23，10分）在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （为参数）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin()2（）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（）设点P在C1上，点Q在C2上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标解：（）由消去参数得1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得两边平方，得，得y21C1的普通方程为y212分sin()2(sincoscossin)23分(sincos)2sincos2sincos44分cosx，sinyxy45分（）由题意，可设点P的直角坐标为6分C2是直线的最小值即为P到C2的距离的最小值8分当且仅当时，取得最小值，最小值为9分此时P的直角坐标为10分2（2023全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表达什么曲线；（）若C1上的点P相应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值解：（）由C1：消去参数t得1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得两边平方，得，得(x4)2(y3)21C1的普通方程为(x4)2(y3)212分C1为圆心是(4，3)，半径是1的圆由C2：消去参数得1分（此处为消参的计算过程，可省略）变形得两边平方，得，得1C2的普通方程为12分C2为焦点在x轴上的椭圆（）当时，故为直线M到的距离从而当时，取得最小值【题型2】直角坐标方程极坐标方程直角坐标方程参数方程3（2023全国卷，文科23，10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225（）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（）直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|求l的斜率解：（）由圆C的方程可得1分x212x36y225x2y212x1102分把x2y22，xcos代入上式得3分212cos1104分圆C的极坐标方程为212cos1105分（）在（）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)由A，B所相应的极径分别为1，28分将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos1107分于是8分由|AB|得9分l的斜率为或10分4（2023全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求C1，C2的极坐标方程；（）若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解：（）把xcos代入C1：x2得cos21分C1的极坐标方程为cos22分由C2：(x1)2(y2)21得(x22x1)(y24y4)1x2y22x4y141x2y22x4y403分把2x2y2，xcos，ysin代入上式得4分C2的极坐标方程为22cos4sin405分（）将代入22cos4sin40，得23406分解得12，27分故12，即|MN|8分由于C2的半径为1C2MN的面积为10分5（2023全国卷，文/理23，10分）已知曲线C：，直线l：(t为参数)（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：（）曲线C：1又sin2cos21cos，sinx2cos，y3sin曲线C的参数方程为(为参数)由直线l：消去参数t得（此处为消参的计算过程，可省略）由得tx2把代入，得y22(x2)整理得2xy60直线l的普通方程为2xy60（）曲线C上任意一点P(2cos，3sin)到l的距离为d|4cos3sin6|则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为6（2023全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，0，（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据（）中你得到的参数方程，拟定D的坐标解：（）2cos22cos把x2y22，xcos代入上式得x2y22xC的普通方程为(x1)2y21(0y1)半圆C的圆心为(1，0)，半径为1可得C的参数方程为(t为参数，0t)（）设D(1cost，sint)由()知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆C在点D处的切线与l垂直直线GD与l的斜率相同tant，t故D的直角坐标为，即【题型3】极坐标方程参数方程7（2023全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a0）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos（）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（）直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a解：（）解法一：C1是圆的方程1分由消去参数t得2分（此处为消参的计算过程，可省略）移项，得两边平方，得即，得x2(y1)2a2cos2ta2sin2tx2(y1)2a2(cos2tsin2t)x2(y1)2a2整理得3分把代入上式得4分的极坐标方程为5分（）由C2：4cos得两边同乘得24cos2x2y2，cosx6分即7分C3：化为普通方程为8分由题意：和的公共方程所在直线即为得：，即为9分10分8（2023全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin（）把C1的参数方程化为极坐标方程；（）求C1与C2交点的极坐标(0，02)解：（）将消去参数t得C1的普通方程为(x4)2(y5)225即C1：x2y28x10y160将代入上式得28cos10sin160C1的极坐标方程为28cos10sin160（）C2的极坐标方程为2sinC2的普通方程为x2y22y0由（此处为解方程的过程，可省略），得8x8y160整理，得y2x把代入，得x2(2x)22(2x)0整理，得x2x0(特别注意，x是未知数，不能约去的)提取x，得x(x1)0x0或x10解得x0或x1把x0代入，得y2把x1代入，得y1解得或C1与C2交点的直角坐标分别为(0，2)，(1，1)对于点(0，2)有：2，对于点(1，1)有：，tan1，C1与C2交点的极坐标分别为(2，)，(，)【题型4】其它题型：求交点坐标，求点的坐标，求轨迹方程等9（2023全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2cos（）求C2与C3交点的直角坐标；（）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值解：（）C2：2sin22sin把2x2y2，ysin代入上式得曲线C2的直角坐标方程为x2y22y01分C3：2cos22cos把2x2y2，xcos代入上式得曲线C3的直角坐标方程为x2y22x02分联立得3分（此处为解方程的过程，可省略），得2y2x0整理，得yx把代入，得x23x22x0整理，得2x2x0(特别注意，x是未知数，不能约去的)提取x，得x(2x)0x0或2x0解得x0或x把x0代入，得y0把x代入，得y解得或4分C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和5分（）曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中0因此A的极坐标为(2sin，)，B的极坐标为(2cos，)|AB|2sin2cos|4当时，|AB|取得最大值，最大值为410（2023全国卷，文/理23，10分）已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，相应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点（）求M的轨迹的参数方程；（）将M到坐标原点的距离d表达为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：（）动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上P(2cos，2sin)，Q(2cos2，2sin2)M为PQ的中点xMcoscos2yMsinsin2M(coscos2，sinsin2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)（）M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点11（2023全国卷，文/理23，10分）已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针顺序排列，点A的极坐标为(2，)（）求点A，B，C，D的直角坐标；（）设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：（）点A的极坐标为点B的极坐标为点C的极坐标为点D的极坐标为xA1，yAxB2cos，yB2sin1xC2cos1，yC2sinxD2cos，yD2sin1即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)（）设P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2则S16cos236sin2163220sin20sin21S的取值范围是32，5212（2023全国卷，文/理23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，M是C1上的动点，P点满足2，P点的轨迹为曲线C2（）求C2的方程；（）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|解：（）设P(x，y)，则由条件知M(，)由于M点在C1上即从而C2的参数方程为(为参数)（）曲线C1的极坐标方程为4sin曲线C2的极坐标方程为8sin射线与C1的交点A的极径为14sin射线与C2的交点B的极径为28sin|AB|21|213（2023全国卷，文/理23，10分）已知直线C1：（t为参数），圆C2：(为参数)（）当时，求C1与C2的交点坐标；（）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：（）当时C1的普通方程为C2的普通方程为联立方程组解得C1与C2的交点为（1，0），（）C1的普通方程为.A点坐标为，故当变化时，P点轨迹的参数方程为（为参数）P点轨迹的普通方程为故P点是圆心为，半径为的圆