【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-课后作业(三十八)合情推理与演绎推理-文.doc

课后作业(三十八) 合情推理与演绎推理

一、 选择题
1．(2013·中山质检)如图6－4－2是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是(　　)

图6－4－2

2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝(　　)
A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)
3．(2013·湛江模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
4．我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值(　　)
A.a B.a C.a D.a
5．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f()＜，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为(　　)
A．y＝log2x B．y＝
C．y＝x2 D．y＝x3
二、填空题
6．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……
若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
8．(2013·广州测试)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规律继续下去，则a5＝________；若an＝145，则n＝________．

图6－4－3
三、解答题
9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，试求：
(1)a18的值；
(2)该数列的前n项和Sn.
11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

解析及答案
一、 选择题
1．【解析】　该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
【答案】　A
2．【解析】　由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．
∴g(－x)＝－g(x)．
【答案】　D
3．【解析】　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，∴上述推理过程中小前提不正确．
【答案】　C
4．【解析】　正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积．
设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，
则有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3，
得h1＋h2＋h3＋h4＝a.
【答案】　A
5．【解析】　结合函数图象，直观观测C满足，
事实上f()＝()2，＝.
∵2x1x2＜x＋x(x1≠x2)，
∴()2＝＜，
因此f()＜，y＝f(x)＝x2在D上为凹函数．
【答案】　C
二、填空题
6．【解析】　进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
【答案】　14
7．【解析】　根据等比数列的性质知，b1·b2·b3·b4，b5·b6·b7·b8，b9·b10·b11·b12，b13·b14·b15·b16成等比数列，
所以T4，，，成等比数列．
【答案】　　
8．【解析】　因为a2－a1＝4，a3－a2＝7，a4－a3＝10，由归纳猜想得a5－a4＝13，所以a5＝35.
an－an－1＝3n－2，应用累加法得an－a1＝4＋7＋10＋…＋(3n－2)＝，所以an＝＋1，
当an＝145时，＋1＝145，解得n＝10.
【答案】　10
三、解答题
9．【解】　f(0)＋f(1)＝＋
＝＋＝－1＋＝，
同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
这三个特殊的式子中，自变量之和均等于1，归纳猜想得：
当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝.
证明　设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝＋
＝＋
＝＋
＝＝.
10．【解】　(1)由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，
易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1，2，…)，故a18＝3.
(2)当n为偶数时，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an)
＝2＋2＋…＋2个2＋3＋3＋…＋3个3＝n；
当n为奇数时，
Sn＝Sn－1＋an＝(n－1)＋2＝n－.
综上所述：Sn＝
11．

【证明】　如图所示，由射影定理
AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，
AC2＝BC·DC，
∴＝
＝＝.
又BC2＝AB2＋AC2，
∴＝＝＋.
猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.

证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.
∴＝＋＋，故猜想正确．
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