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2014年高中毕业班质量检测
理科数学试卷
理科数学备课组
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为( )
(A).x=3,y=－1 (B).(3，－1)
(C).｛3，－1｝ (D).｛(3，－1)｝
2.a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝( )
(A)2 (B) (C) (D)1
3.运行下面的程序：当输入168，72时，输出的结果是( )
(A)168 (B)72 (C)36 (D)24
4. 已知命题p： n∈N，2n＞1 000，则 非p为( )
(A) n∈N，2n≤1 000 (B) n∈N，2n＞1 000
(C) n∈N，2n＜1 000 (D) n∈N，2n≥1 000
5. 已知等比数列{an}的前项积为n,若,则9=( ).
A.512 B.256 C.81 D.16
6. 如图,设向量,,若＝λ＋μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )
7. 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( ).
A.f(x)=x+sinx B. C.f(x)=xcosx D.
8．定义：
离心率e= 的椭圆为“黄金椭圆”，
已知E： + =1（a>b>0）的一个焦点为F(c,0)(c>0)，则E
为“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”的( )
(A)既不充分也不必要条件 (B)充分且必要条件
(C)充分不必要条件 (D)必要不充分条件
9函数 的零点所在的区间为( )
(A)(0，1) (B)(1，2) (C)(2，3) (D)(3，4)
10.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.(5,25)
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分
11. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种.
12. 若 展开式中第6项的系数最大，则不含x的项等于____________.
13. 若直线与圆相交于A、B两点,则的值为
14. 若某几何体的三视图(单位：cm)
如图所示，则此几何体的侧面积=
_________cm2.
15.已知函数 ,
若数列{am}满足,且的前项和为,则= .
三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. (13分) 某同学参加语文、数学、英语3门课程的考试.假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为,数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为m,n(m>n),且该同学3门课程都获得优秀成绩的概率为,该同学3门课程都未获得优秀成绩的概率为,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率.
(2)记ξ为该生取得优秀成绩的课程门数,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
17. (13分)已知函数f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a为常数),且是函数y=f(x)的零点.
(1)求a的值,并求函数f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,],求函数f(x)的值域,并写出f(x)取得最大值时x的值.
18. (13分) 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
(Ⅰ）求证：PB⊥AC;
(Ⅱ) 当PD=2AB,E在何位置时， PB平面EAC;
(Ⅲ) 在（Ⅰ）的情况下，求二面E-AC-B的余弦值.
19(13分) 如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中两点坐标分别为（4，0）、（0，－2），连结．
(1）求抛物线的函数关系式；
(2）判断的形状，并说明理由；
(3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
20 (14分) 20. （本小题满分14分）
已知函数，其中且
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）若直线的图像恒在函数图像的上方，求的取值范围;
（Ⅲ）若存在，，使得，求证：.
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换.
已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量.
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵;
（Ⅱ）计算A3的值.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,直线l的参数方程是:
(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程,直线l的普通方程;
(2)将曲线C横坐标缩短为原来的,再向左平移1个单位,得到曲线C1,求曲线C1上的点到直线l距离的最小值.
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设函数f(x)=|x－4|+|x－3|,
（Ⅰ）求f(x)的最小值m
（Ⅱ）当a+2b+3c=m(a,b,c∈R)时,求a2+b2+c2的最小值.
数学(理科)试卷参考答案及评分标准
1 D 2 B 3D 4A 5A 6D 7C 8B 9B 10D
11. 186 12. 210 13. 0 14. 15π 15 8042
16. 【解析】设事件Ai表示:该生语文、数学、英语课程取得优秀成绩,i=1,2,3.
由题意可知P(A1)=,P(A2)=m,P(A3)=n.
(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“该生3门课程都未获得优秀成绩”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
1-P(ξ=0)=1-=……………………………..6分
(2)由题意可知,P(ξ=0)=P(··)=(1-)(1-m)(1-n)=.
P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)=mn=.
又m>n,
解得m=,n=.
P(ξ=1)=P(A1··+·A2·+··A3)=.
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以数学期望
E(ξ)=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=………13分
17. 【解析】(1)由于是函数y=f(x)的零点,
即x=是方程f(x)=0的解,
从而f()=sin+acos2=0,
则1+a=0,解得a=-2.
所以f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1,
则f(x)=sin(2x-)-1,
所以函数f(x)的最小正周期为π………………..6分
(2)由x∈[0,],得2x-∈[-,],
则sin(2x-)∈[-,1],
则-1≤sin(2x-)≤,
-2≤sin(2x-)-1≤-1,
∴函数f(x)的值域为[-2,-1].
当2x-=2kπ+(k∈Z),
即x=kπ+π时,f(x)有最大值,
又x∈[0,],故k=0时,x=π,
f(x)有最大值-1. ………………………………………13分
18【答案】以D为原点DA、DC、DZ分别为ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴建立空间直角坐标系 设
则，
(Ⅰ）∵ =,=
∴==0
∴AC⊥PＣ………………………………………………4分
(Ⅱ）当ＰＤ＝２ＡＢ时，，
由（Ⅰ）知⊥，故只要即可
设,，则
，∴
∴
由得=0
∴
所以，PB平面EAC;……………………………8分
(Ⅲ）由（Ⅱ）知,设,则
，
∴等于二面E-AC-B的平面角
∴，
∴
∴二面角E-AC-B的余弦值为…………………………………..13分
.19【答案】（1）．……………………….3分
(2）是直角三角形．
证明：令，则．
．．
．
．
是直角三角形．………………………………….7分
(3）能．
当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．
，．． 设，则，，
．
=．
当时，最大．．
，．
，．
当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，
，．．
设，，
．
=．
当时，最大．
，
．
综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；
当矩形一个顶点在上时，坐标为 …………………………..13分
20. 解:(I)f(x)的定义域为.
其导数………1分
①当时,,函数在上是增函数;…………2分
②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．
所以在是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分
(II)当时, 取，
则, 不合题意.
当时令,则………6分
问题化为求恒成立时的取值范围.
由于 ………7分
在区间上,;在区间上,.
的最小值为,所以只需
即,,………9分
(Ⅲ)由于当时函数在上是增函数,不满足题意,所以
构造函数:()
………11分
则
所以函数在区间上为减函数. ,则,
于是,又,,由在上为减函数可知.即…………………14分
21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换
解: (Ⅰ)法一:依题意,.. ………… 2分
所以…………4分
(Ⅱ):=2－…………5分
A3=2×63－13=…………7分
(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.
解.(1)将曲线C:ρ=4cosθ化为普通方程为(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程是x-y+2=0………………………………………3分
(2)将曲线C:(x-2)2+y2=4横坐标缩短为原来的,得到曲线的方程为(2x-2)2+y2=4,即4(x-1)2+y2=4,再向左平移1个单位,得到曲线C1的方程为4x2+y2=4,即x2+=1.
设曲线C1上的任意一点为(cosθ,2sinθ),
它到直线l的距离为d=
=.
∵≤|2-sin(θ+)|≤3,故≤d≤…………………..7分
(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲
解:(Ⅰ)法1: f(x)=|x－4|+|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|=1,
故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分
法2:.------------------1分
x≥4时,f(x)≥1;x<3时,f(x)>1,3≤x<4时,f(x)=1,----------------3分
故函数f(x)的最小值为1. m=1. …………4分
(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5分
故a2+b2+c2≥-…………6分
当且仅当时取等号…………7分
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