高中数学 第四章 数系的扩充 解复系数方程应该注意的几个问题拓展资料素材 北师大版选修1-2 课件.doc

解复系数方程应该注意的几个问题
当系数不全为实数时，不可以用的正负来判断其是否有实数根，但求根公式仍然可以使用．
1．注意能细致观察系数为实数还是复数
例1：解方程．
错解：因为，则，则由复数相等条件得到且，这两式不可能同时成立，所以原方程无解．
剖析：上述解法是错误的，其原因是默认为实数．
正解：设，则，
即．则由复数相等的条件得到且，
则解得，，所以．
点评：对于上述复系数方程，一定要看清题意，这样才能正确解题．
练习：解方程．答案：或．
2．掌握根的判别式与系数之间的联系
例2：已知关于的方程有实数根，求实数的取值范围．
错解：因为方程有实数根，则有，
得到，则或．
剖析：上述解法将结论“实系数一元二次方程有实数”迁移到系数不全为实数的复系数一元二次方程上．这种思路是错误的．
正解：∵方程有实数根，
∴当时，将原方程整理，得到．
再由复数相等的条件得到，且．
解得，或，所以实数为或．
点评：对于系数不全为实数的复系数一元二次方程，当时，方程不一定有两个相异的实数根．
练习：解关于x的方程．答案：原方程的解为，．
3．熟悉系数不全为实数的复系数
例3：已知方程的两根分别为、，且，求实数的值．
错解：，而由韦达定理知道，，所以，得到．
剖析：因为数系的扩充，绝对值的意义和性质已经发生了变化，当为虚数时，表示模，此时，，．
因此当为虚数时，．
可见仍用实数范围内的结论解决复数问题，是容易犯错误的．
正解：（1）当，即时，则，而由韦达定理知道，，所以，得到．
（2）当，即时，设方程的一根为时，则另一根为．
则由韦达定理有，则得到．
又，所以，所以，即的值是．
点评：在考虑上述问题时一定要细致和全面，才能把问题完整求出．
练习：已知方程有一根为，求的值．答案：．