初中数学中考热点分析.doc

几 何 最 小 值 问 题——中考热点分析
西 鲍 中 心 校 初 中 部 邹 景 德
中考数学是以新课程目标和内容为依据，全面考查学生对基础知识的理解，对基本技能的掌握和对基本数学思想方法的应用。每年中考数学的热点都是教育专家、数学大师探讨的方向。利用二次函数求经济问题和面积问题的最值，一直是中考中常见的热点问题。但是近年来数学中考中的最值问题，其考查的方向与解决问题的方法发生了很大的变化，那就是几何最小值问题。几何最小值问题近几年频繁地出现在各地的中考试题中。
几何最小值的求解有两个可用结论：一是数学基本事实“两点之间，线段最短”；二是垂线段的一个性质“垂线段最短”。另外：如图（1），“点A、B在直线m的同一侧，在直线m上找一点P，使PA+PB的值最小”的方法已经成为求解几何最小值问题的重要的数学思想方法。下面是一些几何最小值问题的解题分析，通过对这些问题的分析可以看到解决几何最小值问题的一般思路。

例1．如图1-（1）：△ABC中，点P为AC边上的一点.
（1）试在AB、BC上分别找一点M、N,使△PMN的周长最小；
（2）当点P在AC上运动时，要使（1）中的△PMN的周长最小，试找出点P的位置.

1-（1） 1-（2） 1-(3)
分析：如图1-（2）分别作出点P关于AB、BC的对称点P1、P2，这时在AB、BC上分别任取点M/、N/，都有PM/=P1M/，PN/=P2N/.故这时△PM/N/的周长等于P1M/+M/N/+P2N/,要使△PM/N/的周长最小，就是要使P1M/+M/N/+P2N/最小，则当然P1、M/、N/、P2在同一直线上时最小.所以连接P1P2交AB、BC于M、N，这时△PMN的周长最小.这里将ΔPMN的周长先转化为几条折线段的和，进将问题转化为“两点之间线段最短”来解决。
如图1-（3）分别连接BP1、BP2、BP，则BP=BP1=BP2，∠P1BP2=2∠ABC（为定值）.而
△PMN的周长即为P1P2的长，要使得P1P2最小,则须BP最小.根据“垂线段最短”当有BP⊥AC时BP最小.从而确定了点P的位置.
例2.当x取何值时，代数式+的值最小？并求出这时的最小值.
分析：转化为几何最小值问题求解
如图，设点A、B为直线a同侧两点，AC⊥a，BD⊥a，C、D为
垂足，AC=2,BD=4,CD=8，点P为CD上动点，PC=x，则PD=8-x.
于是有PA=,PB=.故可将代数式+的最小值问题转化为求PA+PB的几何最小值问题，求解x的值进而转化为求线段PC的长了.
例3．如图：△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P为AB边上一个动点，PD⊥AC，PE⊥BC， 当点P在何处时，线段DE的长最短，并求出这个最短的值.
分析：连接PC，根据矩形的对角线相等，可将DE最小值
的问题转化为求线段PC的最小值问题。当点P在BC边上
运动时，根据“垂线段最短”，故当CP⊥AB时PC最短。
例4.如图：四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，点M是BD上的一点，将BM绕点B劣时针方向旋转60°到BN位置，连接EN,问点M在何处时，
AM+BM+CM的值最小？并求当该最小值为+1时的正方形边长.
分析：解题的关键在于如何将AM、BM、CM转
化为几条折线段的和.连结MN有△BMN为等边
三角形结论，这时BM=MN；另易证△ABM≌△EBN,
这时又有AM=BN.到此就可将AM+BM+CM转化为
BN+MN+CM来考虑.根据“两点之间、线段最短”,
显然这时AM+BM+CM的最小值即为线段EC的长.故连接EC交BD于点M，点M即为所求.
接下来由AM+BM+CM的最小值为+1，即EC的长为+1.这时在等腰ΔEBC中，BE=BC，∠EBC=150゜,EC= +1.求腰BC的长也就简单了.

例5.如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD＝BC＝，AB＝5，CD＝3，抛物线过A、B两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；
（3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N,设线段AC与y轴交于点E,F为线段EC上一动点，求 F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标.
分析：(1)易求A（－1，0）、B（4，0），b=3，c=4,抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.
（2）由点M在抛物线y=-x2+3x+4上可设M点坐标为,
这时.
①当时，
所以，当时，d取最大值，值为4；
②当0<a<4时，
所以，当时，d取最大值，最大值为8；
综合①、②得，d的最大值为8.
这里是典型的运用二次函数的极值求解最大值的问题.
（3）由（2）知N点的坐标为（2，6）
过A作y轴的平行线AH，过F作FG⊥y轴交
AH于点Q，过F作FK⊥x轴于K,
∵∠CAB=45°, AC平分∠HAB，∴FQ=FK
∴FN+FG=FN+FK-1
所以，当N、F、K在一条直线上时，FN+FG=FN+FK-1最小，最小值为5.
易求直线AC的函数关系式为y=x+1,把x=2代入y=x+1得y=3，
所以F点的坐标为（2，3）.
这里求解FN+FG的最小值问题最终运用“垂线段最短”的结论得到解决.