资源描述
单元评估检测（八）
（第八章）
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.直线xsinα-y+1=0的倾斜角的变化范围是( )
(A) (B)(0,π)
(C) (D)
2.已知b>0，直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y-1=0互相垂直，则ab的最小值等于( )
（A）1 （B）2 （C） （D）
3.已知直线l1与圆x2+y2+2y=0相切，且与直线l2：3x+4y-6=0平行，则直线l1的方程是( )
(A)3x+4y-1=0 (B)3x+4y+1=0或3x+4y-9=0
(C)3x+4y+9=0 (D)3x+4y-1=0或3x+4y+9=0
4.“m<0<n”是“方程nx2+my2=1表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．（易错题）直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( )
(A)m<1 (B)-3<m<1
(C)-4<m<2 (D)0<m<1
6．若曲线与曲线的离心率互为倒数，则a=( )
(A)16 (B)-16 (C) (D)
7．（2012·丽水模拟）双曲线的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为( )
（A） （B） （C） （D）
8.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和y轴都相切，则该圆的标准方程是( )
（A）(x-3)2+(y-1)2=1 （B）(x-1)2+(y-3)2=1
（C） （D）
9．（2012·杭州模拟）方程x|x|+y2=1满足的性质为( )
（A）对应的曲线关于y轴对称 （B）对应的曲线关于原点成中心对称
（C）x可以取任何实数 （D）y可以取任何实数
10．已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
（A）(x+1)2+(y-1)2=2 （B）(x-1)2+(y+1)2=2
（C）(x-1)2+(y-1)2=2 （D）(x+1)2+(y+1)2=2
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.请把正确答案填在题中横线上)
11．（2012·广州模拟）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于______.
12．若k∈R，直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点，则实数a的取值范围是______．
13．已知直线l1：(a-2)x+3y+a=0与l2：ax+(a-2)y-1=0互相垂直，则a=_____.
14．如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以点A、B为焦点，且过点D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为______.
15．两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，则双曲线的离心率e等于______.
16.（2012·宁波模拟）椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数n的值是______.
17.（2012·嘉兴模拟）已知A（3，1）、B（-1，2），若∠ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在的直线方程是______.
三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
18．（14分）已知动点C到点A（-1，0）的距离是它到点B（1，0）的距离的倍.
（1）试求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l经过点P（0，1）且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.
19.（14分）（2012·衢州模拟）已知圆C：（x-4）2+（y-m）2=16（m∈N*），直线4x-3y-16=0过椭圆E：的右焦点，且交圆C所得的弦长为，点A（3，1）在椭圆E上.
（1）求m的值及椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.
20.（14分）已知椭圆C1的方程为,双曲线C2的左,右焦点分别是C1的左,右顶点,而C2的左,右顶点分别是C1的左,右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l: 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且 (其中O为原点),求k的取值范围.
21．（15分）(探究题)已知抛物线L的方程为x2=2py(p>0),直线y=x截抛物线L所得弦长为.
.
（1）求p的值；
（2）若直角三角形ABC的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点B的横坐标为1，过点A、C分别作抛物线L的切线，两切线相交于点D，直线AC与y轴交于点E，当直线BC的斜率在［3，4］上变化时，直线DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和此时直线BC的方程；若不存在，请说明理由.
22.（15分）（预测题）已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是它的一个焦点，又点A(）在该椭圆上.
（1）求椭圆E的方程;
（2）若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.
答案解析
1.【解析】选D.直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα.
又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.
∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是;
当-1≤k<0时，倾斜角的范围是.
2.【解析】选B.由题意知,解得.
所以又因为b>0,故,当且仅当,
即b=1时取等号.
3.【解析】选D.因为l1与l2平行，所以可设直线l1的方程为：3x+4y+c=0,
又因为l1与圆x2+y2+2y=0相切，且圆心坐标为（0，-1），半径为1,所以,解得c=9或c=-1，
因此l1的方程为3x+4y+9=0或3x+4y-1=0.
4.【解析】选A.因为当m<0<n时，方程nx2+my2=1表示双曲线；当nx2+my2=1表示双曲线时，mn<0.所以“m<0<n”是“方程nx2+my2=1表示双曲线”的充分不必要条件.
5．【解析】选D.因为x2+y2-2x-1=0可化为(x-1)2+y2=2,所以圆心坐标为（1，0），半径为，又因为直线x-y+m=0与圆有两个不同的交点，所以,所以-3<m<1.
所以，当0<m<1能得到直线与圆相交，但直线与圆相交时，0<m<1不一定成立；因此选D.
6．【解析】选D.因为曲线的离心率为，所以，曲线的离心率为，所以,解得.
7．【解析】选A.双曲线右顶点为A（3，0），右焦点为F（5，0），双曲线一条渐近线的斜率是，直线FB的方程是，与双曲线方程联立解得点B的纵坐标为，故△AFB的面积为
8. 【解析】选B.设圆心为（1,a）(a>0)，则圆心到直线4x-3y=0的距离,解得a=3,或 (舍去).故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=1.
9．【解析】选D.因为用-x代替x，方程改变，所以方程所对应的曲线不关于y轴对称；又因为用-x代替x，同时用-y代替y，方程改变，所以方程所对应的曲线不关于原点成中心对称；又因为x|x|=1-y2≤1,解得x≤1,所以x可以取任何实数不正确；显然y可以取任何实数.
10．【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求得圆心坐标即可得解.
【解析】选B.因为两条直线x-y=0与x-y-4=0平行,故它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为P(a,-a),则点P到两条切线的距离都等于半径,所以, ,解得a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
11．【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b=2a,即a=2b,所以,所以离心率为.
答案：
12．【解析】因为直线y=kx+1恒过定点（0，1），题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，则02+12-2a·0+a2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a≤3.
答案：-1≤a≤3
13．【解析】因为l1：(a-2)x+3y+a=0与l2:ax+(a-2)y-1=0互相垂直
所以，a(a-2)+3(a-2)=0,解得a=2或a=-3.
答案：2或-3
14．【解析】设|AB|=2c,则|BD|=c, ，所以椭圆与双曲线的离心率分别是与，所以倒数和为.
答案：
15．【解析】由题意，可得,解得或.
当a=3,b=2时，双曲线的离心率为;
当a=2,b=3时，双曲线的离心率为.
所以双曲线的离心率为或.
答案：或
16.【解析】因为双曲线的焦点在x轴上，
∴c2=n2+16,且椭圆的焦点在x轴上，
∴c2=34-n2,∴n2+16=34-n2,
∴n2=9,∴n=±3.
答案：±3
17.【解析】设点A关于直线y=x+1对称的点为A′（x0,y0），
则解得即A′（0,4）.
∴直线A′B的方程为2x-y+4=0.
由得得C（-3，-2）.
∴直线AC的方程为x-2y-1=0.
答案：x-2y-1=0
18．【解题指南】（1）利用直接法列出方程，化简即可.
（2）对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.
【解析】（1）设点C（x,y），则,.
由题意，得.
两边平方，得(x+1)2+y2=2×［(x-1)2+y2］.
整理，得（x-3）2+y2=8.
故点C的轨迹是一个圆，其方程为（x-3）2+y2=8.
（2）由（1），得圆心为M（3，0），半径.
①若直线l的斜率不存在，则方程为x=0，圆心到直线的距离,故该直线与圆不相切；
②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx+1.
由直线和圆相切，得,整理，得k2+6k-7=0,解得k=1,或k=-7.故所求直线的方程为y=x+1,或y=-7x+1,即x-y+1=0或7x+y-1=0.
19.【解析】（1）因为直线4x-3y-16=0交圆C所得的弦长为，
所以圆心C（4,m）到直线4x-3y-16=0的距离等于.
即,所以m=4或m=-4（舍去），
又因为直线4x-3y-16=0过椭圆E的右焦点，所以右焦点坐标为F2（4,0），
则左焦点F1的坐标为（-4,0），因为椭圆E过A点，
所以|AF1|+|AF2|=2a,所以, ,a2=18,b2=2.
故椭圆E的方程为：.
（2），设Q（x,y），则，
∴,
设x+3y=n,则由
消x得18y2-6ny+n2-18=0,
由于直线x+3y=n与椭圆E有公共点，
所以Δ=（6n）2-4×18×（n2-18）≥0,
所以-6≤n≤6，故的取值范围为［-12，0］.
20.【解析】(1)设双曲线C2的方程为
,
则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,
故C2的方程为.
(2)将代入,
得.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
,
∴且k2<1 ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则, .
∴.
又∵,得x1x2+y1y2>2,
∴，即,解得 ②
由①②得,
故k的取值范围为()∪().
21．【解析】（1）由，解得M(0,0),N(2p,2p)
∴,∴.
（2）B（1，1），设A（）,C(),
设直线BC的斜率为k，则,
且Δ=k2-4k+4≥0,
又1+x2=k,得x2=k-1,故C(k-1,(k-1)2),
由AB⊥BC得直线AB的斜率，进而得直线AB的方程，将AB的方程与抛物线联立，同理可得A(), ,直线AC的方程为,
令x=0, ,所以E（）
直线AD的方程：
同理CD:,联立两方程得
D（），
令，则u在
［3，4］上递增，所以，当k=4时，kED最大为.
所以，BC的方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
22.【解析】（1）由已知抛物线的焦点为（)，故设椭圆方程为.
将点A()代入方程得，
整理得a4-5a2+4=0，得a2=4或a2=1（舍）,
故所求椭圆方程为.
（2）设直线BC的方程为，
设B(x1,y1),C(x2,y2),
代入椭圆方程并化简得,
由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,
可得0≤m2<8. (*)
由, ,
故.
又点A到BC的距离为,
故,
当且仅当2m2=16-2m2,即m=±2时取等号（满足*式），此时直线l的方程为.
【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法
解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在选择题、填空题中,也可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:
(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.
(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,但要注意待求量的取值范围.
【变式备选】已知椭圆的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线l：y=kx+m交椭圆于不同的两点A，B，
（1）求椭圆的方程.
（2）若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意,
解得.
由a2=b2+c2,得b=1.
∴所求椭圆方程为.
(2)由已知得,可得.
将y=kx+m代入椭圆方程，
整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.
Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0 (*)
∴,
∴
当且仅当,即时等号成立.
经检验，满足（*）式.
当k=0时，.
综上可知|AB|max=2.
∴当|AB|最大时，△AOB的面积取最大值.
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