广东省肇庆市2011-2012学年高二数学上学期期末考试-理-新人教A版.doc

肇庆市中小学教学质量评估
2011—2012学年第一学期统一检测题
高二数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在空间中，下列命题正确的是
A．垂直于同一平面的两条直线平行 B．垂直于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面平行 D．平行直线的平行投影重合
2．下列是全称命题且是真命题的是
A． B．
C． D．
3．双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
4．命题“若a>-3，则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是
A．1 B． C． D．
6．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k等于
A． B． C． D．
7．若圆关于直线对称，则实数m的值为
A．-1或3 　 B．-1 C．3 D．不存在

8．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为

A． B．
C．4 D．2

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.
9．用一个平面截半径为25的球，截面面积是225p，则球心到截面的距离为 ▲ .
10．若A（-2，3）、B（3，-2）、C（，m）三点共线，则m值为 ▲ .
11．双曲线的离心率等于 ▲ .
12．若动点P在上，则点P与点Q（0，-1）连线中点的轨迹方程是 ▲ .
13．不等式成立的一个充分而不必要条件是，则a的取值范围是 ▲ .
14．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，
CD=2. E、F分别为AD、BC上点，且EF=3，
EF//AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积
比为 ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15．（本小题满分12分）
求满足下列条件的直线的方程：
（1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行；
（2）经过点B（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5）的直线；
（3）经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.

16．（本小题满分12分）
如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点E、F、E1、F1. 当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

17．（本小题满分14分）
求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程.

18．（本小题满分14分）
如图，棱长为a的正方体中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点.
（1）求证：B、D、E、F四点共面；
（2）求证：平面AMN//平面BEFD；
（3）求点A1到平面AMN的距离．

19．（本小题满分14分）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF=AB=2CE，AB:AD:AA1=1:2:4.
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明：AF平面A1ED；
（3）求二面角A1—ED—F的大小的正弦值．

20．（本小题满分14分）
已知F1、F2分别为椭圆C1：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且.
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线
y=kx（k>0）与椭圆C1相交于E、F两点.
求四边形AEBF面积的最大值.

2011—2012学年第一学期统一检测题
高二数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
B
D
D
C
B

二、填空题
9．20 10． 11．
12． 13．（2，+∞） 14．7:5
三、解答题
15．（本小题满分12分）
解：（1）由直线4x+y-2=0得直线的斜率为-4， （2分）
所以经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行的直线方程为
y-2=-4(x-3)，即4x+y-14=0. （4分）
（2）由已知，经过两点M（1，2）和N（-1，-5）的直线的斜率
， （6分）
所以，经过点B（2，-3），且平行于MN的直线方程为
，即7x-2y-20=0. （8分）
（3）由直线2x+y-5=0得直线的斜率为-2， （9分）
所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为. （10分）
所以，经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为
，即x-2y-3=0. （12分）

16．（本小题满分12分）
解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于
四棱柱ABFE—A1B1F1E1的体积，
. （3分）
当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积. （6分）
因为E、F为AC、BC的中点，所以，
所以. （8分）
由，即，得. （11分）
故当底面ABC水平放置时，液面高为. （12分）

17．（本小题满分14分）
解：设所求的圆的方程是， （2分）
则圆心到直线x-y=0的距离为， （4分）
所以，即 ① （6分）
因为所求的圆与x轴相切，所以 ② （8分）
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，所以3a-b=0 ③ （10分）
联立①②③，解得 或 （12分）
故所求圆的方程为或. （14分）

18．（本小题满分14分）
（1）证明：如图，连接B1D1.
因为E、F为B1C1、C1D1的中点，
所以EF//B1D1. （2分）
又因为BD//B1D1，
所以EF//BD. （3分）
故B、D、E、F四点共面. （4分）
（2）证明：连接EN.
因为M、N为A1B1、A1D1的中点，所以MN//B1D1.
又EF//B1D1，所以MN/ / EF. （5分）
因为EFÌ平面BEFD，所以MN//平面BEFD. （6分）
因为E、N为B1C1、A1D1的中点，所以EN//A1B1，且EN=A1B1.
又AB//A1B1，且AB=A1B1，所以NE/ / AB，且NE=AB.
所以四边形ABEN为平行四边行，故AN//BE. （7分）
因为BEÌ平面BEFD，所以AN//平面BEFD. （8分）
因为MNÌ平面AMN，ANÌ平面AMN，且MN∩AN=N，
所以平面AMN//平面BEFD. （9分）
（3）证明：设A1到平面AMN的距离为d.
在DAMN中，，，
所以. （11分）
因为， （12分）
即， （13分）
解得,故A1到平面AMN的距离为. （14分）

19．（本小题满分14分）
解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB=1，依题意得A（0，0，0），A1（0，0，4），
D（0，2，0），E（1，，0），F（1，2，1）. （2分）
（1）易得，． （3分）
所以， （5分）
故异面直线EF与A1D所成角的余弦值为． （6分）
（2）易得，，. （7分）
因为，， （8分）
所以，. （9分）
又A1EÌ平面A1ED，A1DÌ平面A1ED，A1E∩A1D= A1，
所以AF^平面A1ED． （10分）
（3）设平面EFD的法向量为．
由，，
得解得
不妨令, 得． （11分）
由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量. （12分）
于是， （13分）
从而.
所以二面角A1—ED—F的大小的正弦值为. （14分）

20．（本小题满分14分）
解：（1）设.
由C2：，得F1（0，1）. （1分）
因为M在抛物线C2上，故. ① （2分）
又，则. ② （3分）
解①②得 （4分）
因为点M在椭圆上，故，即 ③ （5分）
又c=1，则 ④ （6分）
解③④得 故椭圆C1的方程为. （7分）
（2）不妨设，，且.
将代入中，可得， （8分）
即，所以. （9分）
由（1）可得. （10分）
故四边形AEBF的面积为
. （11分）
所以 （12分）
因为，所以. （13分）
所以，当且仅当时，等号成立.
故四边形AEBF面积的最大值为. （14分）

9
用心 爱心 专心