吉林省吉林市2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题-理-新人教A版.doc

吉林省实验中学2012—2013学年度上学期期末考试
高二数学理试题

1. 命题:“x∈R,”的否定是 ( )
A.x∈R, B.x∈R,
C.x∈R, D.x∈R,
2. 当1，2，3，4，5，6时，比较和的大小并猜想 （ ）
A.时， B. 时，
C. 时， D. 时，
3. 命题甲：双曲线C的渐近线方程为y=±x；命题乙：双曲线C的方程为=1.那么甲是乙的 ( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分不必要条件
4．如下图是函数的大致图象，则= （ ）
A． B．
C． D．

5．下列方程的曲线关于y轴对称的是 （ ）
A.x2－x＋y2＝1 B.x2y＋xy2＝1 C. x2－y2＝1 D. x－y=1
6. 若，则的解集为 ( )
A. B. C. D.
7.设a、b、c都是正数，则、、三个数 （ ）
A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2
8. 方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
9.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，在证明过程的第二步从n＝k到n＝k＋1时，左边增加的项数是 (　　)
A．2k B．2k－1 C． D．2k＋1
10.设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于 （ ）
A．48/5 B.36/5 C.16 D.48/5或16
11.若点P是曲线y=上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离是 ( )
A. B.1 C. D.
12.下列四个命题中不正确的是 （ ）
A.若动点与定点、连线、的斜率之积为定值，则动点的轨迹为双曲线的一部分
B.设，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是抛物线的一部分
C.已知两圆、圆，动圆与圆外切、与圆内切，则动圆的圆心的轨迹是椭圆
D.已知，椭圆过两点且以为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
二填空题：每题5分共20分。请将答案直接填在答题卡上）
13．定积分=
14.若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S＝r(a＋b＋c)，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V＝________.

16.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________．
三、解答题
17（满分10分）（Ⅰ） 设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，求证为定值并求出此定值；
（Ⅱ）设椭圆方程的左、右顶点分别为，点M是椭圆上异于的任意一点，设直线的斜率分别为，利用（Ⅰ）的结论直接写出的值。（不必写出推理过程）
18．(满分12分)已知：正方体中，棱长，、分别为、的中点，、是、的中点，（1）求证：//平面；
A1
B1
C1
D1
A
B
D
C
N
M
F
（2）求：到平面的距离。

E

19. (满分12分) 设函数。
（Ⅰ）若在定义域内存在，而使得不等式能成立，求实数的最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围。

20．(满分12分)已知点，直线： 交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且 证明直线AB必过一定点，并求出该定点．

21.（满分12分）已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且点P1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P1，P2的直线l的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在(1)中的直线l上．

22．(满分12分) 已知函数．（Ⅰ） 求在上的最小值；（Ⅱ） 若存在（是常数，＝2．71828）使不等式成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ） 证明对一切都有成立．

参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
A
C
C
D
C
A
A
A
D
二．填空题（本大题共20小题，每小题5分，共计20分）
13． 14. V＝R(S1＋S2＋S3＋S4)____.
15. 16. _____．
三、解答题
17（满分10分）
解：（Ⅰ），
…………………………4分
在椭圆上有得………………6分
所以 …………………………8分
（Ⅱ） ………………………………………………10分
18．(满分12分)N
F
A
D
B
C
x
y
z
A1
D1
B1
C1
E
M

解：以、、为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
、、、，
、、、，
（1），，
设平面的法向量，则，
令，则，∵，∴，∴//平面；
（2），则到平面的距离。
19. 解：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。
求导得：， ………3分
∵函数的定义域为，
当时，，∴函数在区间上是减函数；
当时，，∴函数在区间(0，+∞)上是增函数。
∴， ∴。故实数的最小值为。 ………6分
(Ⅱ)由得：

由题设可得：方程在区间上恰有两个相异实根………8分
设。∵，列表如下：

－
0
＋

减函数

增函数

∵，∴。
从而有， ………10分
画出函数在区间上的草图（见右下），易知要使方程在区间上恰有两个相异实根，
只需：，即：。 ………12分

20．(满分12分)
解: (1) 根据线段垂直平分线的定义所以点P到F的距离等于到直线的距离.
所以,点P的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为 －－－－－－－－－3分
(2) 设，直线AB的方程为…………….5分
代入到抛物线方程整理得 则
根据韦达定理，即， …………8分

即，解得m=2， …………11分
显然，不论为何值，直线AB恒过定点． ………………12分
21.（满分12分）．
解：(1)由P1的坐标为(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.
∴b2＝＝. a2＝a1·b2＝. ∴点P2的坐标为(，)
∴直线l的方程为2x＋y＝1. …………….3分
(2)①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分
②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，2ak＋bk＝1成立，…………….6分
则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)…………….8分
＝＝＝1，
∴当n＝k＋1时，命题也成立． …………….10分
由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，
即点Pn在直线l上． …………….12分
22．(满分12分)
解：（Ⅰ）

…………4分
（Ⅱ）由题意知

，
而，故．．　　　　　　　　　　…………8分
（Ⅲ）　等价证明
由（Ⅰ）知

．。．．． …………12分

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