2017高三数学高考基本分练习卷七.docx

2017高三数学基本分练习卷（七）

一、选择题
1. 已知集合 A=x∈Rx<2，B=x∈Rx+1≥0，则 A∩B=   
A. −2,1 B. −1,2 C. −1,+∞ D. −2,+∞

2. 已知 i 是虚数单位，复数 ，其中为虚数单位，则   
A. B. 1 C. D. 2

3. 已知 a，b 为实数，则“a=0”是“fx=x2+a∣x∣+b 为偶函数”的   
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知 a>0，且 a≠1．若 ab>1，则   
A. ab>b B. ab<b C. a>b D. a<b

5. 已知 p>0，q>0，随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ
p
q
p
q
p
若 Eξ=49，则 p2+q2=   
A. 49 B. 12 C. 59 D. 1

6. 已知实数 x，y 满足不等式组 x−y+3≥0,2x+y−4≤0,y+a≥0. 若 z=y−2x 的最大值为 7．则实数 a=   
A. −1 B. 1 C. 103 D. 112

7. 已知抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F，过点 Mp,0 的直线交抛物线于 A，B 两点，若 AM=2MB，则 ∣AF∣∣BF∣=   
A. 2 B. 52 C. 2 D. 与 p 有关

二、填空题
8. 双曲线 x24−y212=1 的焦点坐标为  ，离心率为  ．

9. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为  ．

10. 已知等差数列 an，等比数列 bn 的前 n 项和分别为 Sn，Tnn∈N*．若 Sn=32n2+12n，b1=a1，b2=a3，则 an=  ，Tn=  ．

11. 将 3 个男同学和 3 个女同学排成一列，若男同学甲与另外两个男同学不相邻，则不同的排法种数为  ．（用具体的数字作答）

三、解答题（共5小题；共65分）
12. 已知函数 fx=2sin2x+cos2x−π3．
Ⅰ 求 fx 的最小正周期；
Ⅱ 求 fx 在 0,π2 上的单调递增区间．

13. 如图，已知三棱锥 P−ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，PA=AC，M 为 PB
的中点．

Ⅰ 求证：PC⊥BC；
Ⅱ 求二面角 M−AC−B 的大小．

14. 已知点 A−2,0，B0,1 在椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 上．

Ⅰ 求椭圆 C 的方程；
Ⅱ P 是线段 AB 上的点，直线 y=12x+mm≥0 交椭圆 C 于 M，N 两点．若 △MNP 是斜边长为 10 的直角三角形，求直线 MN 的方程．

答案
第一部分
1. B 2. B 3. A 4. A 5. C
6. B 7. B
第二部分
8 −4,0,4,0；2
9.
10 3n−1；234n−1
11. 288

第三部分
18. （1） 因为 cos2x=1−2sin2x，
所以
fx=2sin2x+cos2x−π3=1−cos2x+12cos2x+32sin2x=1+sin2x−π6.
故 fx 的最小正周期为 π．
      （2） 由 2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，
得 kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z．
故 fx 在 0,π2 上的单调递增区间为 0,π3．
19. （1） 因为 PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以 PA⊥BC．
又因为 ∠ACB=90∘，即 BC⊥AC，PA∩AC=A，
所以 BC⊥平面PAC．
故 PC⊥BC．
      （2） 过 M 作 PA 的平行线，交 AB 于 O，过 O 作 BC 的平行线，交 AC 于 N，连接 MN．

因为 PA⊥平面ABC，
所以 MO⊥平面ABC，
所以 MO⊥AC．
又因为 ∠ACB=90∘，
所以 ON⊥AC，
因为 OM∩ON=O，
所以 AC⊥平面MON，
所以 MN⊥AC．
所以 ∠MNO 为二面角 M−AC−B 的平面角．
设 PA=AC=a，则 BC=3a，MO=12PA=12a，NO=12BC=32a．
所以 tan∠MNO=MONO=33，
所以 ∠MNO=30∘．
所以二面角 M−AC−B 的大小为 30∘．
21. （1） 因为点 A−2,0，B0,1 在椭圆 x2a2+y2b2=1 上，
所以 a=2，b=1，
故椭圆 C 的方程为 x24+y2=1．
      （2） 设 Mx1,y1，Nx2,y2 由 y=12x+mx24+y2=1 消去 y，
得 12x2+mx+m2−1=0，
则 Δ=2−m2>0，x1+x2=−2m，x1x2=2m2−2，
∣MN∣=52∣x1−x2∣=10−5m2．
①当 MN 为斜边时，10−5m2=10，
解得 m=0，满足 Δ>0，
此时以 MN 为直径的圆方程为 x2+y2=52．
点 A−2,0，B0,1 分别在圆外和圆内，
即在线段 AB 上存在点 P，
此时直线 MN 的方程 y=12x，满足题意．
②当 MN 为直角边时，
两平行直线 AB 与 MN 间的距离 d=255∣m−1∣，
所以 d2+∣MN∣2=45∣m−1∣2+10−5m2=10，
即 21m2+8m−4=0，
解得 m=27 或 m=−23，
又 m≥0，Δ>0，所以 m=27．
过点 A 作直线 MN:y=12x+27 的垂线，
可得垂足坐标为 −127,−47，
垂足在椭圆外，即在线段 AB 上存在点 P，
所以直线 MN 的方程y =12x+27，符合题意．
综上所述，直线 MN 的方程为 y=12x 或 y=12x+27．

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