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专题限时集训(八)
[第8讲 平面向量及向量的应用]
(时间：45分钟)
1．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a∥b D．a－b与b垂直
2．已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a＝3e1＋2e2，则|a|等于( )
A．4 B.
C．3 D.
3．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2＋＋＝0，||＝||，则·的值是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
4．已知P是边长为2的正方形ABCD及其内部一动点，若△PAB，△PBC面积均不大于1，则·的取值范围是( )
A. B．(－1,2)
C. D．[－1,1]
5．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
6．已知两点A(1,0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ(λ∈R)，则λ等于( )
A．－1 B．2 C．1 D．－2
7．两个非零向量，不共线，且＝m，＝n(m，n>0)，直线PQ过△OAB的重心，则m，n满足( )
A．m＋n＝ B．m＝1，n＝
C.＋＝3 D．以上全不对
8．设||＝1，若||＝||，则·的最大值为( )
A. B．4＋3
C. D．3
9．已知a＝(－2,1)，b＝(0,2)，若向量a＋λb与2a＋b垂直，则实数λ的值为________．
10．设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
11．向量a，b，c，d满足：|a|＝1，|b|＝，b在a上的投影为，(a－c)·(b－c)＝0，|d－c|＝1，则|c|＋|d|的最大值是________．
12．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量p＝1－sinA，，q＝(cos2A,2sinA)，且p∥q.
(1)求sinA的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a.
14．设向量m＝(cosx，sinx)，x∈(0，π)，n＝(1，)．
(1)若|m－n|＝，求x的值；
(2)设f(x)＝(m＋n)·n，求函数f(x)的值域．
专题限时集训(八)
【基础演练】
1．D [解析] ＝1，＝，A不正确；a·b＝，B不正确；a＝λb时可得1＝λ且0＝λ，此方程组无解，C不正确；(a－b)·b＝，－·，＝0，D正确．
2．D [解析] ＝＝.
3．A [解析] 由2＋＋＝0，易得△ABC为直角三角形，且A为直角，又||＝||，故C＝30°.
由此|AC|＝，|BC|＝2，·＝|CA|·|CB|·cos30°＝3.
4.
D [解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，由于△PAB，△PBC面积均不大于1，故点P在图中的区域EFGB的边界及其内部，设P(x，y)，则·＝(x，y)·(x－2，y)＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1，其中(x－1)2＋y2表示区域内的点到点(1,0)距离的平方，显然范围是[0,2]，故·的取值范围是[－1,1]．
【提升训练】
5．B [解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，所以|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.
6．C [解析] ＝－2＋λ＝－2(1,0)＋λ(1，)＝(－2＋λ，λ)．因为∠AOC＝120°，所以由tan120°＝＝－，解得λ＝1.
7．C [解析] 设重心为点G，且＝t，
所以＝＋＝m＋t＝m＋t
＝m(1－t)＋nt.
设OG与AB交于点D，则点D为AB的中点．所以＝＝(＋)．
故消去t得＋＝3.故选C.
8.
B [解析] 如图建系(以AB中点O为原点)，
则：A，B，
设C(x，y)，由||＝||得：＝2，
化简得：2＋y2＝2，
显然C的几何图形为以E为圆心，为半径的圆，
观察易得：当C在D点时，·最大，且为4＋3.
9．－ [解析] 由题可得，(a＋λb)·(2a＋b)＝2a2＋(2λ＋1)a·b＋λb2＝0.又a2＝5，b2＝4，a·b＝2，则10＋2(2λ＋1)＋4λ＝0，解得λ＝－.
10．5 [解析] 由题可知||＝，||＝5，·＝－5，所以cos〈，〉＝＝－，sin〈，〉＝，所求面积为S＝××5×＝5.
11．3＋ [解析] 不妨设向量a，b，c，d有相同的起点O，终点分别为A，B，C，D，由b在a上的投影为知a·b＝，由(a－c)·(b－c)＝0知：C在以AB为直径的圆上．故当向量c过AB中点时，其模最大，此时|c|＝(|a＋b|＋|a－b|)＝1＋，
由|d－c|＝1知，D在以C为圆心，1为半径的圆上，故当C，D共线时|d|最大，故(|c|＋|d|)max＝2|c|max＋1＝3＋.
12．解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2
＝8＋8＝8＋8sin.
又θ∈[0，π]，∴θ－∈－，，
∴sin∈－，1，
∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.
13．解：(1)∵p∥q，∴cos2A＝(1－sinA)·2sinA，
∴6(1－2sin2A)＝7sinA(1－sinA)，5sin2A＋7sinA－6＝0，
∴sinA＝(sinA＝－2舍)．
(2)由S△ABC＝bcsinA＝3，b＝2，得c＝5，又cosA＝±＝±，
∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋25－2×2×5cosA＝29－20cosA，
当cosA＝时，a2＝13，a＝；
当cosA＝－时，a2＝45，a＝3.
14．解：(1)∵m－n＝(cosx－1，sinx－)，
由|m－n|＝得cos2x－2cosx＋1＋sin2x－2sinx＋3＝5，
整理得cosx＝－sinx，显然cosx≠0，∴tanx＝－.
∵x∈(0，π)，∴x＝.
(2)∵m＋n＝(cosx＋1，sinx＋)，
∴f(x)＝(m＋n)·n＝(cosx＋1，sinx＋)·(1，)
＝cosx＋1＋sinx＋3
＝2sinx＋cosx＋4
＝2sinx＋＋4.
∵0<x<π，∴<x＋<.
∴－<sinx＋≤1⇒－1<2sinx＋≤2，
∴3<2sin＋4≤6，
即函数f(x)的值域为(3,6]．
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