数列高考知识点归纳(非常全!).docx

高考圈-让高考没有难报的志愿数列高考知识点大扫描 数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列；依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；数列通项：2、等差数列 1、定义 当,且 时，总有 ，d叫公差。 2、通项公式 1）、从函数角度看 是n的一次函数，其图象是以点 为端点, 斜率为d斜线上一些孤立点。2）、从变形角度看 , 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。又,相减得 ，即.若 nm，则以 为第一项，是第n-m+1项，公差为d；若nn)，求Sn+m的值。思路 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 是否有关？解题 由Sn=a,Sm=Sn+a n+1+an+2+am=b 得 a n+1+an+2+am =b-a,即 ， 得 由(n+1)+m=1+(n+m), 得an+1+am=a1+am+n故请你试试 131、在等差数列an中，求 。2、在等差数列an中，求 。第3变 已知已知前n项和及前2n项和，如何求前3n项和变题3 在等差数列an中，求 思路 由寻找之间的关系。解题 设数列an公差为d ， ，, , ，所以 成等差数列，公差100d , 于是 ，得 。收获 1、在等差数列an中，成等差数列，即 ，成等差数列，且。3、 可推广为 ，。 请你试试 141、在等差数列an中，求 2、在等差数列an中，求 3、在等差数列an中，求 及。4、数列an中，求 。 5、等差数列an共有3k项，前2k项和 ，后2k项和 ，求中间k项和。第4变 迁移变换 重视Sx=Ax2+Bx 的应用变题4 在等差数列an中，Sn=m,，Sm=n,(mn)，求Sn+m的值。思路 等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，若所求问题与 无关时，常设为S=An2+Bn形式。解题 由已知可设 Sn=An2+Bn=m Sm=Am2+Bm=n ,两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又mn , 所以 ，得 。收获 “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。请你试试 151、 在等差数列an中，求 2、 在等差数列an中，求 3、 在等差数列an中，求 当n为何值时，有最大值第5变 归纳总结，发展提高题目 在等差数列an中，Sn=a,Sm=b,(mn)，求Sn+m的值。（仍以变题2为例）除上面利用通项性质求法外，还有多种方法。现列举例如下：1、 基本量求解：由，相减得, 代入得。2、利用等差数列前x项和公式Sx=Ax2+Bx求解由Sx=Ax2+Bx，得 Sn=An2+Bn, Sm=Am2+Bm两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b即 故3、利用关系式求解由 知 与n成线性关系，从而点集(n, )中的点共线，即(n, ),(m, ),(m+n, )共线，则有 ， 即 ，化简, 得 ， 即.4、利用定比分点坐标公式求解由A(n, ), B(m, ), P(m+n, )三点共线,将点P看作有向线段的定比分点,则 ，可得, 即.请你试试 16若Sn是等差数列an的前n项和，S2=3，S6=4 ，则S12_.第二节 等比数列的概念、性质及前n项和题根二 等比数列an ， , 求。思路 1、由已知条件联立，求，从而得2、由等比数列性质，知成等比数列。解题1 由 , 两式相除，得 ，。解题2 由 成等比，得 。收获 1、灵活应用性质，是简便解题的基础；2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。 请你试试2 1 等比数列an ， ，若 ，则_。 第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列变题2 等比数列an ，求 。思路 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。解题 设，则是等比数列，即 。收获 等比数列an ， 时， 成等比数列，但总有 。当k为偶数时，恒成立。 请你试试221、等比数列an ， 时，求。2、等比数列an ， 时，求。 第2变 成等差，则 成等差变题3 等比数列an 中， 成等差，则 成等差 。思路 成等差，得，要证 等差，只需证 。解题由 成等差，得，当 q=1时， , 由 得 ，。由， 得 ，整理得 ，得 ，两边同乘以 ， 得 ，即 成等差。收获 1、等比数列an 中，成等差，则 成等差。2、等比数列an 中，成等差，则 （其中 ）成等差3、等比数列an 中，成等差，则 （其中）成等差。 请你试试231、 等比数列an ， ， 成等差， 求的值。2、等比数列an ，成等差，求证 成等比。第3变 是等比， 也是等比数列变题4数列 中， 且 ，是等比数列，公比 q ()，求证() 也是等比数列。思路 ,欲证 为等比数列，只需证 为常数。解题 ，（）, 得，而 ，（ ）, 故 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。第4变 等比数列在分期付款问题中应用 问题 顾客购买一售价为5000元的商品时，采用分期付款方法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%，每月利息按复利计算，那么每期应付款多少？（精确到1元） 分析一：设每期应付款x元，则第1次付款后，还欠 5000(1+0.8%)-x（元）第2次付款后，还欠 5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）第3次付款后，还欠 5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x（元）最后一次付款后，款已全部还清，则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x（1+0.8%）10-x(1+0.8%)-x=0 ，移项 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+x(1+0.8%)+x ， 即 算得 （元）一般地，购买一件售价为a元的商品，采用分期付款时，要求在m个月内将款还至b元，月利润为p，分n（n是m的约数）次付款，那么每次付款数计算公式为 .分析二：设每月还款x元，将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息，而顾客第一次还的钱也应计算11个月的利息，第二次还的钱应计算10月的利息，于是得方程5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x（1+0.8%）10+x(1+0.8%)+x， 解得（元）分析三：设每次还款x元，把还款折成现在的钱，可得 ， 解得 （元）。将上述方法应用到其他实际问题中，如木材砍伐，人口增长等。请你试试24 某地现有居民住房的总面积为a m2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x是多少？（取1.110为2.6） 第三节 常见数列的通项及前n项和 题根3 求分数数列的前n项和思路 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。解题 数列通项公式 ，亦可表示为 ，所以 。收获 将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数1由到d变题1 求分数数列的前n项和。思路 写出通项公式，裂项求和。，解题 ，。收获1、求分数数列的前n项和时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。2、用裂项法可求解：（1） 若为等差数列，公差为d，则 . 3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型 ；根式型 ；。另外还有：nn!=(n+1)!-n!， 。请你试试 311、求分数数列的前n项和2、求分数数列的前n项和。2、 求分数数列的前n项和。 第2变 分母中因数由2到3变题2 求分数数列的前n项和。思路 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？解题 由 ，得 。收获 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。2、对于公差为d ()的等差数列 ,有 . 请你试试 32 1、求分数数列的前n项和。 2、求分数数列的前n项和。 3、求分数数列的前n项和。第3变 由分数数列到幂数列变题3 求数列的前n项和。思路 利用恒等式 ，取k=1 , 2 , 3 ,，相加正负抵消可解。解题 由恒等式 取k=1、2、3， 得各式相加得 得 。收获 利用恒等式 ，类似可得 。 注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。请你试试 33求和 （1），（2），（3）。 第4变 由幂数列到积数列变题4 求数列的前n项和。思路1写通项公式，由通项特征求解。解题1，。思路2 利用 裂项相加。解题2 由得 。收获 对于通项为两因数的积，可推广到通项为k个因数的积，如求数列的前项和。由 将每一项裂为两项的差，相加即可正负抵消。思路3 联想组合数公式，可见 ，利用组合数性质可得。解题3 由，得 。请你试试 34求数列的前n项和。 第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列变题5 在数列 中，（1） 分别求出 和 的n取值范围；（2）求数列最大项；（3）求数列前n项和 。 思路 1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。解题 （1）由 ，当n9时， ，即 ；当 n9时 ， 即 。（2） 当n=9时， ，是数列的最大项。（3） 设 （1） 则 （2） 相减得 。 请你试试 351、 求数列 的前n项和。2、 求和。3、 求和。4、 已知数列 ， 数列 ，求数列 的前n项和。第四节 递推数列的通项公式及前n项和1、利用不动点求数列通项 题根三 数列 满足，求通项公式。思路 1、写出 ，由不完全归纳法得表达式。2、构造新数列，转化成等比数列求解。解题 在的 两边加1，则数列 是首项为2，公比为2的等比数列，得 ，即 即为所求。收获 型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当时,数列为等比数列。下面给出时递推式的通项公式的求法：方法1、因为 所以一定存在 满足 ， 从而得 ， 此为函数的不动点。 由 ，得是首项为 ，公比为p的等比数列，于是 , 即 ，将 代入上式， 得 通项公式为 （I） 方法2、由,， 得，令， 则，则是首项为，公比为q的等比数列， 得 （*）；当n=1时,（*）式也成立。 请你试试41数列满足 , ， 求 。 变题1 数列 满足， 求通项公式 。思路 常见解法：先求数列 的通项公式解题由将已知关系式取倒数得 ， 由（#）式 得 ，所以。收获 型递推数列的通项公式的求法： 令 ，得 或 为两不动点。由于，设，则 ，此为模型。 同样， 也可化为 模型，由（I）式 可求得。更为特殊的是p=s 时，, 设 则数列 是等差数列 。我们常取的倒数求解 ，原因恰是为此 。变题2 （06年江西理第22题）数列 满足， 求通项公式。解答 ，即，又，得 ，所以 ，得 。请你试试42函数 ，数列 满足， ，（1）求的通项公式 ；（2）设 ，求 。 变题2 数列中， ，求 思路1 令 ，得 ，即两不动点，可得是等比数列，解法1 由，令， 则 （a ）由， 令， 则 （b）(a) 式除以(b)式 得 ，即是首项为公比为的等比数列，思路2 和均可化为型递推式，解法2 由 令， 则 ， 由（I）式 得所以 解法3 由 ， 亦可求得收获 求解型递推数列的通项公式的方法： 令 ， 设其两根为 即两不动点。于是是等比数列， 并且和均可化为型递推式 。请你试试43写出解法3的详细过程。变题3 设数列 前n项和为，求 及 。思路 将已知关系中 的化为 ，再进一步变形。解题 由，得 , 即 , 得. 这是 型递推式，由(#)式得 第1变 递推式 2、累积错位相消法求数列通项变题4 数列 满足，求通项公式。思路 观察 与、与 存在的关系，思考解题方法。解题 ，各式相乘得 。收获 1、若f(n)为常数, 则为等比数列。2、型递推式，通项公式求解方法如下：各式两边分别相乘，得 （II）当n=1时, (II)仍成立变题5 在数列中,（1） 求 通项公式 （2）令，求的前n项和。思路 将题中递推式转化、归类，再求解。解题 （1）将题中递推式转化为：.即 .由 (II) 式 得通项公式(2) 由 , 得 所以数列前n 项和 ： 第2变 型递推数列3、累加错位相消法求数列通项变题6 已知数列中，, 求的通项公式。思路 将题中递推式变形 ，利用错位相消法。解 将题中递推式表示为：，于是 ，各式相加得 得 即为所求通项公式。收获 对于数列，设 则称数列是差数列， 则 得 所以的通项公式为 （III）. 当n=1时，也满足(III)式。变题7 在数列中，, , 求通项公式。思路 题中关系式不是型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为型递推式。解题 在递推式 两边同除以 n(n+1) , 得 令 得 ，。由（III）式得 表达式为：于是通项公式为 请你试试44 求数列 1、4、11、26、57、120、，的通项公式。第3变 型递推数列4、两边同除以 ，经过变量替换，化为型递推式变题8 数列满足 , ， 求 。思路 递推式两边同除以 ，经过变量替换，可化为型递推式。解题 在 两边同除以 ， 得 令 ，则 , 此为模型。于是 则所以 收获 在中， 当q(n)是常数q时，即为模型。在两边同除以 , 得 , 令, 得 即可求出 的通项公式，从而得=变题9（2006年全国理第22题）设数列前n项和为，n=1,2,，求通项 。解答 。因为 ，所以由题设得：，即，得 。规律小结 根据数列性质可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。请你试试451、数列满足 , ， 求 。2、数列的前n项和 ，, 求 第3变 型4、两边取对数，变形转化为模型变题10 数列中，令， （1）求数列的通项公式，（2）设，求。思路 利用对数运算法则变形转化。解：（1）由已知得 ，即模型，由(II)式，得。（2） 由 ， 得 则 。收获 ，当q=1时，为等比数列。当 时，对递推式两边取常用对数，得 , 令, 得 ，此为模型，即题根 。第4变 型5、利用特征根求通项公式变题11 在数列 中， ， ，求 思路 在数列中，已知 ，且 ，求其通项公式方法介绍如下：当 时，存在 满足 （*），即 ，与 比较系数，得 ，由根与系数的关系知 是二次方程 两实根，此方程称为递推式的特征方程。易见，只需将递推式中的 换成 即可得特征方程。由 （*）式知数列 是等比数列，于是 或 。当 时，将p=1-q代入递推式，得 ，则 是以 为首项，-q为公比的等比数列，从而 ，利用错位相消法即可求解。解题 递推式特征方程为 ，解得 ，所以递推式可表示为 ，数列是首项为 ，公比为 的等比数列，所以，两边同除以 ，得 ，于是 是首项为0，公差为1等差数列，故，。收获 一般的，在数列中，已知 ，且 ，它的特征方程 两根为，则，当时 ，通项公式 ；当时 ，通项公式 ，其中A，B为常数，可由 推出。利用这一结论可方便的推出通项公式。变题12 在数列 中， ， ，求 解：特征方程 两根为。设 ，由，得 A=2，B=-1， 故 。请你试试 461、在数列 中， ， ，求 。2、在数列 中， ， ，求 。 第六章 数列 请你试试 答案与提示请你试试 11：1、，选 C2、a3+a7-a10+a11-a4=，得 。请你试试 12：1、略； 2、n=27； 3、由，；4、倒加法 。请你试试 13：1、200； 2、4 。请你试试 14：1、12； 2、40； 3、 0、110； 4、3 (b-a)；5、。请你试试 15：1、 1504；2、0；3、12或13。请你试试 16：。请你试试21：等比数列中某些项的积的问题，利用性质解。 设 , ， ，易见A，B，C成等比，公比为 。 由 且 ，得 ，即 ，。请你试试22：1、 ；2、 或（舍去）。请你试试23：1、等差，则，得 ，即=0；2、略。请你试试24：由上例分析得 a(1+10%)10-x(1+10%)9-x(1+10%)-x=2a，即，即 2.6a-16x=2a 。请你试试31：1、 ；2、 ；3、 。请你试试32：1、；2、 ； 3、。请你试试33：1、；2、；3、。请你试试34：。请你试试35：1、；2、分和 两种情形；3、；4、。请你试试41：由 得 ，可得；或由求。请你试试42：提示：；。请你试试43：略请你试试44：由原数列得一阶差数列 ：3、7、15、31、63、；由得 二阶差数列 ：4、8、16、32、，易得，得，最后得原数列通项公式 。请你试试45：1、两边同除以，得，即，得 。2、由, 得 ， 。请你试试46：1、特征方程 两根为，设 ，由，得 A=0，B=1， 故 。2、取对数，令，则 ，且 ， ，。