2024年湖南省衡阳市中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 26 页）2024 年湖南省衡阳市中考数学试卷2024 年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本大题 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）一、选择题（本大题 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1（3 分）2 的绝对值是（）A2B2CD2（3 分）要使有意义，则 x 的取值范围是（）Ax1 Bx1 Cx1Dx13（3 分）中国超级计算机神威“太湖之光”，峰值计算速度达每秒 12.5 亿亿次，为世界首台每秒超 10 亿亿次运算的计算机，用科学记数法表示 12.5 亿亿次/秒为（）亿次/秒A12.5108B12.5109C1.25108D1.251094（3 分）如图，点 A、B、C 都在O 上，且点 C 在弦 AB 所对的优弧上，如果AOB=64，那么ACB 的度数是（）A26 B30 C32 D645（3 分）如图，小聪把一块含有 60角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得1=25，则2 的度数是（）A25 B30 C35 D606（3 分）下面调查方式中，合适的是（）A调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式B调查湘江的水质情况，采用抽样调查的方式C调查 CCTV5NBA 总决赛栏目在我市的收视率，采用普查的方式D要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式7（3 分）下列各式中，计算正确的是（）A2x+3y=5xyBx6x2=x3Cx2x3=x5D（x3）3=x6第 2 页（共 26 页）8（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，要使四边形 ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）AAB=CDBBCADCA=CDBC=AD9（3 分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2015 年年收入 200 美元，预计 2024 年年收入将达到 1000 美元，设 2015 年到 2024 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，可列方程为（）A200（1+2x）=1000 B200（1+x）2=1000 C200（1+x2）=1000 D200+2x=100010（3 分）下列命题是假命题的是（）A不在同一直线上的三点确定一个圆B角平分线上的点到角两边的距离相等C正六边形的内角和是 720D角的边越大，角就越大11（3 分）菱形的两条对角线分别是 12 和 16，则此菱形的边长是（）A10B8C6D512（3 分）如图，已知点 A、B 分别在反比例函数 y=（x0），y=（x0）的图象上，且 OAOB，则的值为（）AB2CD4二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）7 的相反数是 14（3 分）某班 7 名同学在“课间一分钟跳绳”比赛中，成绩（单位：个）分别是：150，第 3 页（共 26 页）182，182，180，201，175，181，这组数据的中位数是 15（3 分）化简：=16（3 分）化简：=17（3 分）已知函数 y=（x1）2图象上两点 A（2，y1），B（a，y2），其中 a2，则y1与 y2的大小关系是 y1 y2（填“”、“”或“=”）18（3 分）正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示放置，点 A1，A2，A3和 C1，C2，C3，分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则点B2018的纵坐标是 三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 66 分）三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 66 分）19（5 分）如图，方格图中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 都是格点（1）画出ABC 关于直线 BM 对称的A1B1C1；（2）写出 AA1的长度第 4 页（共 26 页）20（5 分）某校 300 名学生参加植树活动，要求每人植树 25 棵，活动结束后随机抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四类：A 类 2 棵、B 类 3 棵、C 类 4 棵、D 类 5 棵，将各类的人数绘制成不完整的条形统计图（如图所示），回答下列问题：（1）D 类学生有多少人？（2）估计这 300 名学生共植树多少棵？21（6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来22（6 分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”比赛项目为：A唐诗；B宋词；C论语；D三字经比赛形式分“单人组”和“双人组”（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明第 5 页（共 26 页）23（6 分）衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE，测得塔顶 C 的仰角为 30，再向塔身前进 10.4 米，又测得塔顶 C 的仰角为 60，求来雁塔的高度（结果精确到 0.1 米）24（8 分）为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：（1）求手机支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）的函数关系式；（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算25（8 分）如图，已知ABC 内接于O，AB 为O 的直径，BDAB，交 AC 的延长线于点D（1）E 为 BD 的中点，连结 CE，求证：CE 是O 的切线；（2）若 AC=3CD，求A 的大小第 6 页（共 26 页）26（10 分）如图，AOB 的顶点 A、B 分别在 x 轴，y 轴上，BAO=45，且AOB 的面积为 8（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）过点 A、B 的抛物线 G 与 x 轴的另一个交点为点 C若ABC 是以 BC 为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；将抛物线 G 向下平移 4 个单位后，恰好与直线 AB 只有一个交点 N，求点 N 的坐标27（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动点，连结 CE 并将其绕点 C顺时针旋转 90得到 CF，连结 DF，以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与 AD、AC 分别交于点 H、M，GF 交 CD 延长线于点 N（1）证明：点 A、D、F 在同一条直线上；（2）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结 EF、MN，当 MNEF 时，求 AE 的长第 7 页（共 26 页）第 8 页（共 26 页）2024 年湖南省衡阳市中考数学试卷2024 年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）一、选择题（本大题 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）1（3 分）2 的绝对值是（）A2B2CD【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答【解答】解：2 的绝对值是 2，即|2|=2故选：A【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02（3 分）要使有意义，则 x 的取值范围是（）Ax1 Bx1 Cx1Dx1【分析】二次根式的被开方数 x10【解答】解：依题意得：x10解得 x1故选：B【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子（a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义3（3 分）中国超级计算机神威“太湖之光”，峰值计算速度达每秒 12.5 亿亿次，为世界首台每秒超 10 亿亿次运算的计算机，用科学记数法表示 12.5 亿亿次/秒为（）亿次/秒A12.5108B12.5109C1.25108D1.25109【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数第 9 页（共 26 页）【解答】解：将 12.5 亿用科学记数法表示为：1.25109故选 D【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4（3 分）如图，点 A、B、C 都在O 上，且点 C 在弦 AB 所对的优弧上，如果AOB=64，那么ACB 的度数是（）A26 B30 C32 D64【分析】根据圆周角定理可得ACB=AOB，即可求出ACB 的度数【解答】解：ACB=AOB，而AOB=64，ACB=64=32即ACB 的度数是 32故选 C【点评】本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半5（3 分）如图，小聪把一块含有 60角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得1=25，则2 的度数是（）A25 B30 C35 D60【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出3，再根据直角三角形的性质用2=603 代入数据进行计算即可得解【解答】解：直尺的两边互相平行，1=25，第 10 页（共 26 页）3=1=25，2=603=6025=35故选 C【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键6（3 分）下面调查方式中，合适的是（）A调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式B调查湘江的水质情况，采用抽样调查的方式C调查 CCTV5NBA 总决赛栏目在我市的收视率，采用普查的方式D要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可【解答】解：A、调查你所在班级同学的身高，采用普查，故 A 不符合题意；B、调查湘江的水质情况，采用抽样调查的方式，故 B 符合题意；C、调查 CCTV5NBA 总决赛栏目在我市的收视率，采用抽样调查，故 C 不符合题意；D、要了解全市初中学生的业余爱好，采用抽样调查，故 D 不符合题意；故选：B【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查7（3 分）下列各式中，计算正确的是（）A2x+3y=5xyBx6x2=x3Cx2x3=x5D（x3）3=x6【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解第 11 页（共 26 页）【解答】解：A、由于 2x 和 3y 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、由于 x6x2=x4x3，故本选项错误；C、由于 x2x3=x2+3=x5，故本选项正确；D、由于（x3）3=x9x6，故本选项错误故选 C【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题8（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，要使四边形 ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）AAB=CDBBCADCA=CDBC=AD【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可【解答】解：ABCD，当 AB=CD 时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；当 BC=AD 时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；当A=C 时，可求得B=D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；当 BCAD 时，由两组对边分别的四边形为平行四边形可知该条件正确；故选 D【点评】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键9（3 分）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民 2015 年年收入 200 美元，预计 2024 年年收入将达到 1000 美元，设 2015 年到 2024 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，可列方程为（）A200（1+2x）=1000 B200（1+x）2=1000 C200（1+x2）=1000 D200+2x=1000【分析】是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率），如果设 2015第 12 页（共 26 页）年到 2024 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，那么根据题意可用 x 表示 2017 地区居民年人均收入，然后根据已知可以得出方程【解答】解：设 2015 年到 2024 年该地区居民年人均收入平均增长率为 x，那么根据题意得 2024 年年收入为：200（1+x）2，列出方程为：200（1+x）2=1000故选：B【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为 a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b 为终止时间的有关数量10（3 分）下列命题是假命题的是（）A不在同一直线上的三点确定一个圆B角平分线上的点到角两边的距离相等C正六边形的内角和是 720D角的边越大，角就越大【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，真命题；B、角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题；C、正六边形的内角和是 720，真命题；D、角的边越大，角就越大是假命题，因为角的大小与边的长短无关故选 D【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理11（3 分）菱形的两条对角线分别是 12 和 16，则此菱形的边长是（）A10B8C6D5【分析】首先根据题意画出图形，然后由菱形的两条对角线的长分別为 12cm 和 16cm，求得OA 与 OB，再由勾股定理即可求得菱形的边长【解答】解：如图，菱形 ABCD 中，AC=12，BD=16，第 13 页（共 26 页）OA=AC=6，OB=BD=8，ACBD，AB=10即菱形的边长是 10故选 A【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理 掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解题的关键12（3 分）如图，已知点 A、B 分别在反比例函数 y=（x0），y=（x0）的图象上，且 OAOB，则的值为（）AB2CD4【分析】过点 A 作 AMy 轴于点 M，过点 B 作 BNy 轴于点 N，利用相似三角形的判定定理得出AOMOBN，再由反比例函数系数 k 的几何意义得出 SAOM：SBON=1：4，进而可得出结论【解答】解：过点 A 作 AMy 轴于点 M，过点 B 作 BNy 轴于点 N，AMO=BNO=90，AOM+OAM=90，OAOB，AOM+BON=90，OAM=BON，AOMOBN，第 14 页（共 26 页）点 A，B 分别在反比例函数 y=（x0），y=（x0）的图象上，SAOM：SBON=1：4，AO：BO=1：2，OB：OA=2故选 B【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数系数 k 的几何意义是解答此题的关键二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13（3 分）7 的相反数是7【分析】根据相反数的定义作答【解答】解：7 的相反数是 7【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数14（3 分）某班 7 名同学在“课间一分钟跳绳”比赛中，成绩（单位：个）分别是：150，182，182，180，201，175，181，这组数据的中位数是181【分析】先把这组数据按从小到大的顺序排列，再求出中间数即可【解答】解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：150，175，180，181，182，182，201，处于中间位置的数是 181，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 181故答案为 181【点评】本题为统计题，考查中位数的意义中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错第 15 页（共 26 页）15（3 分）化简：=【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可【解答】解：原式=2=故答案为：【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键16（3 分）化简：=0【分析】利用完全平方公式和提取公因式法对、的分子分别进行因式分解，然后通过约分进行化简，最后计算减法即可【解答】解：=x+1x1=0故答案是：0【点评】本题考查了分式的加减法解题时，需要熟练掌握因式分解的方法17（3 分）已知函数 y=（x1）2图象上两点 A（2，y1），B（a，y2），其中 a2，则y1与 y2的大小关系是 y1y2（填“”、“”或“=”）【分析】先根据函数的解析式得出函数的对称轴是直线 x=1，开口向下，再进行比较即可【解答】解：函数 y=（x1）2，函数的对称轴是直线 x=1，开口向下，函数图象上两点 A（2，y1），B（a，y2），a2，y1y2，故答案为：第 16 页（共 26 页）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能熟记二次函数的图象和性质内容是解此题的关键18（3 分）正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示放置，点 A1，A2，A3和 C1，C2，C3，分别在直线 y=x+1 和 x 轴上，则点B2018的纵坐标是22017【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点 B1、B2、B3、的坐标，根据点坐标的变化找出点 Bn的坐标，依此即可得出结论【解答】解：当 x=0 时，y=x+1=1，点 A1的坐标为（0，1）A1B1C1O 为正方形，点 C1的坐标为（1，0），点 B1的坐标为（1，1）同理，可得：B2（3，2），B3（7，4），B4（15，8），点 Bn的坐标为（2n1，2n1），点 B2018的坐标为（220181，22017）故答案为：22017【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点 Bn的坐标为（2n1，2n1）”是解题的关键三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 66 分）三、解答题（本大题共 9 个小题，满分 66 分）19（5 分）如图，方格图中每个小正方形的边长为 1，点 A、B、C 都是格点（1）画出ABC 关于直线 BM 对称的A1B1C1；（2）写出 AA1的长度第 17 页（共 26 页）【分析】（1）先作出ABC 各顶点关于直线 BM 对称的点，再画出A1B1C1即可；（2）根据图形中 A，A1的位置，即可得到 AA1的长度【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求；（2）由图可得，AA1=10【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，解题时注意：几何图形都可看做是有点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始20（5 分）某校 300 名学生参加植树活动，要求每人植树 25 棵，活动结束后随机抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四类：A 类 2 棵、B 类 3 棵、C 类 4 棵、D 类 5 棵，将各类的人数绘制成不完整的条形统计图（如图所示），回答下列问题：（1）D 类学生有多少人？（2）估计这 300 名学生共植树多少棵？【分析】（1）根据条形统计图中的数据进行计算即可得到 D 类学生数量；（2）先求得调查的 20 人的植树量的平均数，再乘以总人数 300 即可第 18 页（共 26 页）【解答】解：（1）由图可得，D 类学生有 20486=2（人）；（2）（42+83+64+25）20=3.3，这 300 名学生共植树 3.3300=990（棵）【点评】本题考查的是条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确21（6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可【解答】解：，解不等式，得 x2解不等式，得 x1，故不等式组的解集为 1x2，在数轴上表示为：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键22（6 分）为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”比赛项目为：A唐诗；B宋词；C论语；D三字经比赛形式分“单人组”和“双人组”（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中第 19 页（共 26 页）“宋词”的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；（2）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为 1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率23（6 分）衡阳市城市标志来雁塔坐落在衡阳市雁峰公园内，如图，为了测量来雁塔的高度，在 E 处用高为 1.5 米的测角仪 AE，测得塔顶 C 的仰角为 30，再向塔身前进 10.4 米，又测得塔顶 C 的仰角为 60，求来雁塔的高度（结果精确到 0.1 米）【分析】首先证明 AB=BC=10.4，在 RtBCD 中，求出 CD 即可解决问题【解答】解：如图，由题意CAB=30，CBD=60，DF=AE=1.5 米CBD=CAB+ACB，ACB=CAB=30，AB=BC=10.4 米，在 RtCBD 中，CD=BCsin60=10.38.9 米，来雁塔的高度=CD+DF=8.9+1.5=10.4 米第 20 页（共 26 页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键24（8 分）为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：（1）求手机支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）的函数关系式；（2）李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算【分析】（1）根据题意和函数图象可以分别求出手机支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）各段对应的函数解析式；（2）根据题意可以求得会员卡支付对应的函数解析式，再根据函数图象即可解答本题【解答】解：（1）当 0 x0.5 时，y=0，当 x0.5 时，设手机支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）的函数关系式是 y=kx+b，解得，即当 x0.5 时，手机支付金额 y（元）与骑行时间 x（时）的函数关系式是 y=x0.5，由 上 可 得，手 机 支 付 金 额 y（元）与 骑 行 时 间 x（时）的 函 数 关 系 式 是 y=；（2）设会员卡支付对应的函数解析式为 y=ax，第 21 页（共 26 页）则 0.75=a1，得 a=0.75，即会员卡支付对应的函数解析式为 y=0.75x，令 0.75x=x0.5，得 x=2，由图象可知，当 x2 时，会员卡支付便宜，答：当 0 x2 时，李老师选择手机支付比较合算，当 x=2 时，李老师选择两种支付一样，当 x2 时，李老师选择会员卡支付比较合算【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想和一次函数的性质解答，这是一道典型的方案选择问题25（8 分）如图，已知ABC 内接于O，AB 为O 的直径，BDAB，交 AC 的延长线于点D（1）E 为 BD 的中点，连结 CE，求证：CE 是O 的切线；（2）若 AC=3CD，求A 的大小【分析】（1）连接 OC，根据等腰三角形的性质得到A=1，根据三角形的中位线的性质得到 OEAD，得到2=3，根据全等三角形的性质得到OCE=ABD=90，于是得到 CE是O 的切线；（2）由 AB 为O 的直径，得到 BCAD，根据相似三角形的性质得到 BC2=ACCD，得到 tanA=，于是得到结论【解答】解：（1）连接 OC，OA=OC，A=1，AO=OB，E 为 BD 的中点，OEAD，1=3，A=2，第 22 页（共 26 页）2=3，在COE 与BOE 中，COEBOE，OCE=ABD=90，CE 是O 的切线；（2）AB 为O 的直径，BCAD，ABBD，ABCBDC，BC2=ACCD，AC=3CD，BC2=AC2，tanA=，A=30【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键26（10 分）如图，AOB 的顶点 A、B 分别在 x 轴，y 轴上，BAO=45，且AOB 的面积为 8（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）过点 A、B 的抛物线 G 与 x 轴的另一个交点为点 C第 23 页（共 26 页）若ABC 是以 BC 为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；将抛物线 G 向下平移 4 个单位后，恰好与直线 AB 只有一个交点 N，求点 N 的坐标【分析】（1）首先证明 OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出 OA、OB，由此即可解决问题；（2）首先确定 A、B、C 的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；抛物线 G 向下平移 4 个单位后，经过原点（0，0）和（4，4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，4）代入得到 n=14m，可得抛物线的解析式为 y=mx2+（14m）x，由，消去 y 得到 mx24mx4=0，由题意=0，可得 16m2+16m=0，求出m 的值即可解决问题【解答】解：（1）在 RtAOB 中，BAO=45，AO=BO，OAOB=8，OA=OB=4，A（4，0），B（0，4）（2）当等 C 在点 A 的左侧时，易知 C（4，0），B（0，4），A（4，0），顶点为 B（0，4），时抛物线解析式为 y=ax2+4，（4，0）代入得到 a=，抛物线的解析式为 y=x2+4当点 C 在点 A 的右侧时，ABC 是以 BC 为腰的等腰三角形，这个显然不可能，此种情形不存在，综上所述，抛物线的解析式为 y=x2+4抛物线 G 向下平移 4 个单位后，经过原点（0，0）和（4，4），第 24 页（共 26 页）设抛物线的解析式为 y=mx2+nx，把（4，4）代入得到 n=14m，抛物线的解析式为 y=mx2+（14m）x，由，消去 y 得到 mx24mx4=0，由题意=0，16m2+16m=0，m0，m=1，抛物线的解析式为 y=x2+3x，由，解得，N（2，2）【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、等腰三角形的性质、待定系数法、一元二次方程的判别式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型27（12 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 为边 AB 上一动点，连结 CE 并将其绕点 C顺时针旋转 90得到 CF，连结 DF，以 CE、CF 为邻边作矩形 CFGE，GE 与 AD、AC 分别交于点 H、M，GF 交 CD 延长线于点 N（1）证明：点 A、D、F 在同一条直线上；（2）随着点 E 的移动，线段 DH 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结 EF、MN，当 MNEF 时，求 AE 的长【分析】（1）由DCFBCE，可得CDF=B=90，即可推出CDF+CDA=180，由此即可证明（2）有最小值设 AE=x，DH=y，则 AH=1y，BE=1x，由ECBHEA，推出=，第 25 页（共 26 页）可得=，推出 y=x2x+1=（x）2+，由 a=10，y 有最小值，最小值为（3）只要证明CFNCEM，推出FCN=ECM，由MCN=45，可得FCN=ECM=BCE=22.5，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设 BE=BG=a，则GC=GE=a，可得 a+a=1，求出 a 即可解决问题；【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，CD=CB，BCD=B=ADC=90，CE=CF，ECF=90，ECF=DCB，DCF=BCE，DCFBCE，CDF=B=90，CDF+CDA=180，点 A、D、F 在同一条直线上（2）解：有最小值理由：设 AE=x，DH=y，则 AH=1y，BE=1x，四边形 CFGE 是矩形，CEG=90，CEB+AEH=90CEB+ECB=90，ECB=AEH，B=EAH=90，ECBHEA，=，=，y=x2x+1=（x）2+，a=10，y 有最小值，最小值为第 26 页（共 26 页）DH 的最小值为（3）解：四边形 CFGE 是矩形，CF=CE，四边形 CFGE 是正方形，GF=GE，GFE=GEF=45，NMEF，GNM=GFE，GMN=GEF，GMN=GNM，GN=GM，FN=EM，CF=CE，CFN=CEM，CFNCEM，FCN=ECM，MCN=45，FCN=ECM=BCE=22.5，在 BC 上取一点 G，使得 GC=GE，则BGE 是等腰直角三角形，设 BE=BG=a，则 GC=GE=a，a+a=1，a=1，AE=ABBE=1（1）=2【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题