2024年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 28 页）2024 年湖北省咸宁市中考数学试卷年湖北省咸宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）1（3 分）下表是我市四个景区今年 2 月份某天 6 时的气温，其中气温最低的景区是（）景区潜山公园陆水湖隐水洞三湖连江气温1022A潜山公园B陆水湖 C隐水洞 D三湖连江2（3 分）在绿满鄂南行动中，咸宁市计划 2015 年至 2024 年三年间植树造林1210000亩，全力打造绿色生态旅游城市，将1210000用科学记数法表示为（）A121104B12.1105C1.21105D1.211063（3 分）下列算式中，结果等于 a5的是（）Aa2+a3Ba2a3Ca5aD（a2）34（3 分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A三棱柱 B三棱锥 C圆柱D圆锥5（3 分）由于受 H7N9 禽流感的影响，我市某城区今年 2 月份鸡的价格比 1 月份下降 a%，3 月份比 2 月份下降 b%，已知 1 月份鸡的价格为 24 元/千克设 3月份鸡的价格为 m 元/千克，则（）Am=24（1a%b%）Bm=24（1a%）b%Cm=24a%b%Dm=24（1a%）（1b%）6（3 分）已知 a、b、c 为常数，点 P（a，c）在第二象限，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法判断7（3 分）如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB、OD，若BOD=BCD，则的长为（）第 2 页（共 28 页）ABC2D38（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有 45角的直角三角板如图放置，直角顶点 C 的坐标为（1，0），顶点 A 的坐标为（0，2），顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿 x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点 C 的对应点 C的坐标为（）A（，0）B（2，0）C（，0）D（3，0）二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分）9（3 分）8 的立方根是 10（3 分）化简：=11（3 分）分解因式：2a24a+2=12（3 分）如图，直线 y=mx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 A（1，p），B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是 13（3 分）小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30 天）每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：步数（万步）1.11.21.31.41.5天数375123第 3 页（共 28 页）在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是 14（3 分）如图，点 O 是矩形纸片 ABCD 的对称中心，E 是 BC 上一点，将纸片沿 AE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合若 BE=3，则折痕 AE 的长为 15（3 分）如图，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AFx 轴，将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60 当 n=2017时，顶点 A 的坐标为 16（3 分）如图，在 RtABC 中，BC=2，BAC=30，斜边 AB 的两个端点分别在相互垂直的射线 OM、ON 上滑动，下列结论：若 C、O 两点关于 AB 对称，则 OA=2；C、O 两点距离的最大值为 4；若 AB 平分 CO，则 ABCO；斜边 AB 的中点 D 运动路径的长为；其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）第 4 页（共 28 页）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分）分）17（8 分）（1）计算：|+20170；（2）解方程：=18（7 分）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC（1）求证：ABCDFE；（2）连接 AF、BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形19（8 分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是 度；（2）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中喜爱“娱乐”的有 人；（3）在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有 2 人喜爱新闻节目，若从这 4 人中随机抽取 2 人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的 2 人来自不同班级的概率第 5 页（共 28 页）20（8 分）小慧根据学习函数的经验，对函数 y=|x1|的图象与性质进行了探究下面是小慧的探究过程，请补充完整：（1）函数 y=|x1|的自变量 x 的取值范围是 ；（2）列表，找出 y 与 x 的几组对应值x10123yb1012其中，b=；（3）在平面直角坐标系 xOy 中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）写出该函数的一条性质：21（9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与边 BC、AC 分别交于 D、E 两点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 AE=4，cosA=，求 DF 的长第 6 页（共 28 页）22（10 分）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为 6 元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30 天）的试营销，售价为 8 元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线 ODE 表示日销售量 y（件）与销售时间 x（天）之间的函数关系，已知线段 DE 表示的函数关系中，时间每增加 1 天，日销售量减少 5 件（1）第 24 天的日销售量是 件，日销售利润是 元（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）日销售利润不低于 640 元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？第 7 页（共 28 页）23（10 分）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使ABC为“智慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹）；（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF=CD，试判断AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 y=3 上的一点，若在O 上存在一点 P，使得OPQ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 P 的坐标第 8 页（共 28 页）24（12 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，其对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）连接 BD，F 为抛物线上一动点，当FAB=EDB 时，求点 F 的坐标；（3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形MPNQ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ=MN 时，求菱形对角线 MN 的长第 9 页（共 28 页）2024 年湖北省咸宁市中考数学试卷年湖北省咸宁市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）1（3 分）（2017咸宁）下表是我市四个景区今年 2 月份某天 6 时的气温，其中气温最低的景区是（）景区潜山公园陆水湖隐水洞三湖连江气温1022A潜山公园B陆水湖 C隐水洞 D三湖连江【分析】将几个有理数比较后即可确定正确的选项【解答】解：2102，隐水洞的气温最低，故选 C【点评】本题考查了有理数的大小比较的知识，解题的关键是能够了解正数大于0，负数小于 0，两个负数比较绝对值大的反而小，难度不大2（3 分）（2017咸宁）在绿满鄂南行动中，咸宁市计划 2015 年至 2024 年三年间植树造林 1210000 亩，全力打造绿色生态旅游城市，将 1210000 用科学记数法表示为（）A121104B12.1105C1.21105D1.21106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，据此判断即可【解答】解：1210000=1.21106故选：D【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a10n，其中1|a|10，确定 a 与 n 的值是解题的关键3（3 分）（2017咸宁）下列算式中，结果等于 a5的是（）Aa2+a3Ba2a3Ca5aD（a2）3【分析】根据合并同类项对 A 进行判断；根据同底数幂的乘法对 B 进行判断；根据同底数幂的除法对 C 进行判断；根据幂的乘方对 D 进行判断【解答】解：A、a2与 a3不能合并，所以 A 选项错误；B、原式=a5，所以 B 选项正确；C、原式=a4，所以 C 选项错误；D、原式=a6，所以 D 选项错误故选 B【点评】本题考查了同底数幂的除法：底数不变，指数相减也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方4（3 分）（2017咸宁）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）第 10 页（共 28 页）A三棱柱 B三棱锥 C圆柱D圆锥【分析】根据三棱柱的特点求解即可【解答】解：主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，得几何体是三棱柱，故选：A【点评】本题考查了三视图，利用三棱柱的特点得出几何体是解题关键5（3 分）（2017咸宁）由于受 H7N9 禽流感的影响，我市某城区今年 2 月份鸡的价格比 1 月份下降 a%，3 月份比 2 月份下降 b%，已知 1 月份鸡的价格为 24元/千克设 3 月份鸡的价格为 m 元/千克，则（）Am=24（1a%b%）Bm=24（1a%）b%Cm=24a%b%Dm=24（1a%）（1b%）【分析】首先求出二月份鸡的价格，再根据三月份比二月份下降 b%即可求出三月份鸡的价格【解答】解：今年 2 月份鸡的价格比 1 月份下降 a%，1 月份鸡的价格为 24 元/千克，2 月份鸡的价格为 24（1a%），3 月份比 2 月份下降 b%，三月份鸡的价格为 24（1a%）（1b%），故选 D【点评】本题主要考查了列代数式的知识，解题的关键是掌握每个月份的数量增长关系6（3 分）（2017咸宁）已知 a、b、c 为常数，点 P（a，c）在第二象限，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法判断【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到 ac0，则判断0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：点 P（a，c）在第二象限，a0，c0，ac0，=b24ac0，方程有两个不相等的实数根故选 B【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根第 11 页（共 28 页）7（3 分）（2017咸宁）如图，O 的半径为 3，四边形 ABCD 内接于O，连接 OB、OD，若BOD=BCD，则的长为（）ABC2D3【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出A=60，得出BOD=120，再由弧长公式即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 内接于O，BCD+A=180，BOD=2A，BOD=BCD，2A+A=180，解得：A=60，BOD=120，的长=2；故选：C【点评】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出BOD=120是解决问题的关键8（3 分）（2017咸宁）在平面直角坐标系 xOy 中，将一块含有 45角的直角三角板如图放置，直角顶点 C 的坐标为（1，0），顶点 A 的坐标为（0，2），顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿 x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点 C 的对应点 C的坐标为（）A（，0）B（2，0）C（，0）D（3，0）【分析】过点 B 作 BDx 轴于点 D，易证ACOBCD（AAS），从而可求出 B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与 A 的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出 C 的对应点【解答】解：过点 B 作 BDx 轴于点 D，ACO+BCD=90，第 12 页（共 28 页）OAC+ACO=90，OAC=BCD，在ACO 与BCD 中，ACOBCD（AAS）OC=BD，OA=CD，A（0，2），C（1，0）OD=3，BD=1，B（3，1），设反比例函数的解析式为 y=，将 B（3，1）代入 y=，k=3，y=，把 y=2 代入 y=，x=，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时，此时点 A 移动了个单位长度，C 也移动了个单位长度，此时点 C 的对应点 C的坐标为（，0）故选（C）【点评】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分）9（3 分）（2017咸宁）8 的立方根是2第 13 页（共 28 页）【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果【解答】解：8 的立方根为 2，故答案为：2【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键10（3 分）（2017咸宁）化简：=x1【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果【解答】解：原式=x1故答案为：x1【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键11（3 分）（2017咸宁）分解因式：2a24a+2=2（a1）2【分析】原式提取 2，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：原式=2（a22a+1）=2（a1）2故答案为：2（a1）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键12（3 分）（2017咸宁）如图，直线 y=mx+n 与抛物线 y=ax2+bx+c 交于 A（1，p），B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+nax2+bx+c 的解集是x1 或 x4【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论【解答】解：观察函数图象可知：当 x1 或 x4 时，直线 y=mx+n 在抛物线y=ax2+bx+c 的上方，不等式 mx+nax2+bx+c 的解集为 x1 或 x4故答案为：x1 或 x4【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键13（3 分）（2017咸宁）小明的爸爸是个“健步走”运动爱好者，他用手机软件记录了某个月（30 天）每天健步走的步数，并将记录结果绘制成了如下统计表：步数（万步）1.11.21.31.41.5天数375123第 14 页（共 28 页）在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4，1.35【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列，第 15、16 个数的平均数是中位数，在这组数据中出现次数最多的是 1.4，得到这组数据的众数【解答】解：要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第 4、5 个两个数的平均数是（1.3+1.4）2=1.35，所以中位数是 1.35，在这组数据中出现次数最多的是 1.4，即众数是 1.4故答案为：1.4；1.35【点评】本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求14（3 分）（2017咸宁）如图，点 O 是矩形纸片 ABCD 的对称中心，E 是 BC上一点，将纸片沿 AE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合若 BE=3，则折痕 AE 的长为6【分析】由折叠的性质及矩形的性质得到 OE 垂直平分 AC，得到 AE=EC，根据AB 为 AC 的一半确定出ACE=30，进而得到 OE 等于 EC 的一半，求出 EC 的长，即为 AE 的长【解答】解：由题意得：AB=AO=CO，即 AC=2AB，且 OE 垂直平分 AC，AE=CE，设 AB=AO=OC=x，则有 AC=2x，ACB=30，在 RtABC 中，根据勾股定理得：BC=x，在 RtOEC 中，OCE=30，OE=EC，即 BE=EC，BE=3，OE=3，EC=6，则 AE=6，故答案为：6【点评】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键15（3 分）（2017咸宁）如图，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AFx 轴，将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转60当 n=2017 时，顶点 A 的坐标为（2，2）第 15 页（共 28 页）【分析】将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 2017 次时，点 A 所在的位置就是原 F 点所在的位置【解答】解：201760360=3361，即与正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 1 次时点 A 的坐标是一样的当点 A 按顺时针旋转 60时，与原 F 点重合连接 OF，过点 F 作 FHx 轴，垂足为 H；由已知 EF=4，FOE=60（正六边形的性质），OEF 是等边三角形，OF=EF=4，F（2，2），即旋转 2017 后点 A 的坐标是（2，2），故答案是：（2，2）【点评】此题主要考查了正六边形的性质，坐标与图形的性质旋转此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用16（3 分）（2017咸宁）如图，在 RtABC 中，BC=2，BAC=30，斜边 AB的两个端点分别在相互垂直的射线 OM、ON 上滑动，下列结论：若 C、O 两点关于 AB 对称，则 OA=2；C、O 两点距离的最大值为 4；若 AB 平分 CO，则 ABCO；斜边 AB 的中点 D 运动路径的长为；其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【分析】先根据直角三角形 30的性质和勾股定理分别求 AC 和 AB，由对称的第 16 页（共 28 页）性质可知：AB 是 OC 的垂直平分线，所以 OA=AC；当 OC 经过 AB 的中点 E 时，OC 最大，则 C、O 两点距离的最大值为 4；如图 2，根据等腰三角形三线合一可知：ABOC；如图 3，半径为 2，圆心角为 90，根据弧长公式进行计算即可【解答】解：在 RtABC 中，BC=2，BAC=30，AB=4，AC=2，若 C、O 两点关于 AB 对称，如图 1，AB 是 OC 的垂直平分线，则 OA=AC=2；所以正确；如图 1，取 AB 的中点为 E，连接 OE、CE，AOB=ACB=90，OE=CE=AB=2，当 OC 经过点 E 时，OC 最大，则 C、O 两点距离的最大值为 4；所以正确；如图 2，同理取 AB 的中点 E，则 OE=CE，AB 平分 CO，OF=CF，ABOC，所以正确；如图 3，斜边 AB 的中点 D 运动路径是：以 O 为圆心，以 2 为半径的圆周的，则：=所以不正确；综上所述，本题正确的有：；故答案为：第 17 页（共 28 页）【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形 30的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，满分小题，满分 72 分）分）17（8 分）（2017咸宁）（1）计算：|+20170；（2）解方程：=【分析】（1）根据实数的运算法则，零指数幂的性质计算即可；（2）根据分式方程的解法即可得到结论【解答】解：（1）：|+20170=4+1=13；（2）方程两边通乘以 2x（x3）得，x3=4x，解得：x=1，检验：当 x=1 时，2x（x3）0，原方程的根是 x=1【点评】本题考查了解分式方程，实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键18（7 分）（2017咸宁）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB=DF，AC=DF，BE=FC（1）求证：ABCDFE；（2）连接 AF、BD，求证：四边形 ABDF 是平行四边形第 18 页（共 28 页）【分析】（1）由 SSS 证明ABCDFE 即可；（2）连接 AF、BD，由全等三角形的性质得出ABC=DFE，证出 ABDF，即可得出结论【解答】证明：（1）BE=FC，BC=EF，在ABC 和DFE 中，ABCDFE（SSS）；（2）解：连接 AF、BD，如图所示：由（1）知ABCDFE，ABC=DFE，ABDF，AB=DF，四边形 ABDF 是平行四边形【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键19（8 分）（2017咸宁）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：（1）补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是72度；第 19 页（共 28 页）（2）根据以上统计分析，估计该校 2000 名学生中喜爱“娱乐”的有700人；（3）在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有 2 人喜爱新闻节目，若从这 4 人中随机抽取 2 人去参加“新闻小记者”培训，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的 2 人来自不同班级的概率【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，用 360 度乘以体育类人数所占比例即可得；（2）用样本估计总体的思想解决问题；（3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案【解答】解：（1）调查的学生总数为 6030%=200（人），则体育类人数为 200（30+60+70）=40，补全条形图如下：“体育”对应扇形的圆心角是 360=72，故答案为：72；（2）估计该校 2000 名学生中喜爱“娱乐”的有：2000=700（人），故答案为：700；（3）将两班报名的学生分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2，树状图如图所示：所以 P（2名学生来自不同班）=第 20 页（共 28 页）【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20（8 分）（2017咸宁）小慧根据学习函数的经验，对函数 y=|x1|的图象与性质进行了探究下面是小慧的探究过程，请补充完整：（1）函数 y=|x1|的自变量 x 的取值范围是任意实数；（2）列表，找出 y 与 x 的几组对应值x10123yb1012其中，b=2；（3）在平面直角坐标系 xOy 中，描出以上表中对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（4）写出该函数的一条性质：函数的最小值为 0（答案不唯一）【分析】（1）根据一次函数的性质即可得出结论；（2）把 x=1 代入函数解析式，求出 y 的值即可；（3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可；（4）根据函数图象即可得出结论【解答】解：（1）x 无论为何值，函数均有意义，x 为任意实数故答案为：任意实数；（2）当 x=1 时，y=|11|=2，b=2故答案为：2；（3）如图所示；（4）由函数图象可知，函数的最小值为 0故答案为：函数的最小值为 0（答案不唯一）第 21 页（共 28 页）【点评】本题考查的是一次函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键21（9 分）（2017咸宁）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与边 BC、AC 分别交于 D、E 两点，过点 D 作 DFAC，垂足为点 F（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若 AE=4，cosA=，求 DF 的长【分析】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，推出ODB=C；然后根据 DFAC，DFC=90，推出ODF=DFC=90，即可推出 DF 是O 的切线（2）首先判断出：AG=AE=2，然后判断出四边形 OGFD 为矩形，即可求出 DF的值是多少【解答】（1）证明：如图，连接 OD，作 OGAC 于点 G，OB=OD，ODB=B，又AB=AC，第 22 页（共 28 页）C=B，ODB=C，DFAC，DFC=90，ODF=DFC=90，DF 是O 的切线（2）解：AG=AE=2，cosA=，OA=5，OG=，ODF=DFG=OGF=90，四边形 OGFD 为矩形，DF=OG=【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，等腰三角形的性质和应用，以及解直角三角形的应用，要熟练掌握22（10 分）（2017咸宁）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为 6 元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30 天）的试营销，售价为 8 元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，图中的折线 ODE 表示日销售量 y（件）与销售时间 x（天）之间的函数关系，已知线段 DE 表示的函数关系中，时间每增加 1 天，日销售量减少 5件（1）第 24 天的日销售量是330件，日销售利润是660元（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（3）日销售利润不低于 640 元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【分析】（1）根据第 22 天销售了 340 件，结合时间每增加 1 天日销售量减少 5件，即可求出第 24 天的日销售量，再根据日销售利润=单件利润日销售量即可求出日销售利润；（2）根据点 D 的坐标利用待定系数法即可求出线段 OD 的函数关系式，根据第22 天销售了 340 件，结合时间每增加 1 天日销售量减少 5 件，即可求出线段 DE第 23 页（共 28 页）的函数关系式，联立两函数关系式求出交点 D 的坐标，此题得解；（3）分 0 x18 和 18x30，找出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x的取值范围，有起始和结束时间即可求出日销售利润不低于 640 元的天数，再根据点 D 的坐标结合日销售利润=单件利润日销售数，即可求出日销售最大利润【解答】解：（1）340（2422）5=330（件），330（86）=660（元）故答案为：330；660（2）设线段 OD 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx，将（17，340）代入 y=kx 中，340=17k，解得：k=20，线段 OD 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=20 x根据题意得：线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式为 y=3405（x22）=5x+450联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，交点 D 的坐标为（18，360），y 与 x 之间的函数关系式为 y=（3）当 0 x18 时，根据题意得：（86）20 x640，解得：x16；当 18x30 时，根据题意得：（86）（5x+450）640，解得：x2616x262616+1=11（天），日销售利润不低于 640 元的天数共有 11 天点 D 的坐标为（18，360），日最大销售量为 360 件，3602=720（元），试销售期间，日销售最大利润是 720 元【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法一次函数解析式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据数量关系，列式计算；（2）利用待定系数法求出 OD 的函数关系式以及依照数量关系找出 DE 的函数关系式；（3）分 0 x18 和 18x30，找出关于 x 的一元一次不等式23（10 分）（2017咸宁）定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”理解：（1）如图 1，已知 A、B 是O 上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使ABC为“智慧三角形”（画出点 C 的位置，保留作图痕迹）；（2）如图 2，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF=CD，第 24 页（共 28 页）试判断AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图 3，在平面直角坐标系 xOy 中，O 的半径为 1，点 Q 是直线 y=3 上的一点，若在O 上存在一点 P，使得OPQ 为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点 P 的坐标【分析】（1）连结 AO 并且延长交圆于 C1，连结 BO 并且延长交圆于 C2，即可求解；（2）设正方形的边长为 4a，表示出 DF=CF 以及 EC、BE 的长，然后根据勾股定理列式表示出 AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定AEF 是直角三角形，由直角三角形的性质可得AEF 为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为 3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点 P 的横坐标，再根据勾股定理可求点 P 的纵坐标，从而求解【解答】解：（1）如图 1 所示：（2）AEF 是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为 4a，E 是 DC 的中点，DE=CE=2a，BC：FC=4：1，FC=a，BF=4aa=3a，在 RtADE 中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在 RtECF 中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在 RtABF 中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，AE2+EF2=AF2，AEF 是直角三角形，斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半，AEF 为“智慧三角形”；（3）如图 3 所示：由“智慧三角形”的定义可得OPQ 为直角三角形，根据题意可得一条直角边为 1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为 3，由勾股定理可得 PQ=2，第 25 页（共 28 页）PM=123=，由勾股定理可求得 OM=，故点 P 的坐标（，），（，）【点评】本题考查了圆的综合题，正方形的性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，用正方形的边长表示出AEF 的各边的平方，熟练掌握“智慧三角形”的定义是解题的关键24（12 分）（2017咸宁）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其对称轴交抛物线于点 D，交 x 轴于点 E，已知 OB=OC=6（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；（2）连接 BD，F 为抛物线上一动点，当FAB=EDB 时，求点 F 的坐标；（3）平行于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点，以线段 MN 为对角线作菱形MPNQ，当点 P 在 x 轴上，且 PQ=MN 时，求菱形对角线 MN 的长【分析】（1）由条件可求得 B、C 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得 D 点坐标；（2）过 F 作 FGx 轴于点 G，可设出 F 点坐标，利用FAGBDE，由相似三第 26 页（共 28 页）角形的性质可得到关于 F 点坐标的方程，可求得 F 点的坐标；（3）可求得 P 点坐标，设 T 为菱形对角线的交点，设出 PT 的长为 n，从而可表示出 M 点的坐标，代入抛物线解析式可得到 n 的方程，可求得 n 的值，从而可求得 MN 的长【解答】解：（1）OB=OC=6，B（6，0），C（0，6），解得，抛物线解析式为 y=x22x6，y=x22x6=（x2）28，点 D 的坐标为（2，8）；（2）如图 1，过 F 作 FGx 轴于点 G，设 F（x，x22x6），则 FG=|x22x6|，在 y=x22x6 中，令 y=0 可得x22x6=0，解得 x=2 或 x=6，A（2，0），OA=2，则 AG=x+2，B（6，0），D（2，8），BE=62=4，DE=8，当FAB=EDB 时，且FGA=BED，FAGBDE，=，即=，当点 F 在 x 轴上方时，则有=，解得 x=2（舍去）或 x=7，此进 F点坐标为（7，）；第 27 页（共 28 页）当点 F 在 x 轴上方时，则有=，解得 x=2（舍去）或 x=5，此进 F点坐标为（5，）；综上可知 F 点的坐标为（7，）或（5，）；（3）点 P 在 x 轴上，由菱形的对称性可知 P（2，0），如图 2，当 MN 在 x 轴上方时，设 T 为菱形对角线的交点，PQ=MN，MT=2PT，设 PT=n，则 MT=2n，M（2+2n，n），M 在抛物线上，n=（2+2n）22（2+2n）6，解得 n=或 n=，MN=2MT=4n=+1；当 MN 在 x 轴下方时，同理可设 PT=n，则 M（2+2n，n），n=（2+2n）22（2+2n）6，解得 n=或 n=（舍去），MN=2MT=4n=1；综上可知菱形对角线 MN 的长为+1 或1【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得FAGBDE，得到关于 F 点坐标的方程是解题的关键，注意分 F 点在 x 轴上方和下方两种情况，在（3）中用 PT 的长表示出 M 点的坐标是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中第 28 页（共 28 页）参与本试卷答题和审题的老师有：sjzx；放飞梦想；gsls；2300680618；733599；家有儿女；神龙杉；sks；fangcao；曹先生；HJJ；dbz1018；tcm123；王学峰；三界无我；ZJX；HLing；Ldt（排名不分先后）菁优网菁优网2024 年年 7 月月 7 日日