辽宁省本溪市中考数学试卷（含解析版）.pdf

第 1 页（共 33 页）辽宁省本溪市中考数学试卷辽宁省本溪市中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）的倒数是（）A4B4CD2（3 分）下列计算正确的是（）A2a3+a2=3a5B（3a）2=6a2C（a+b）2=a2+b2D2a2a3=2a53（3 分）如图所示的几何体的俯视图是（）ABCD4（3 分）如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，B=30，D=40，则AOC的度数为（）A60B70C80D905（3 分）如图，在ABCD 中，AB=4，BC=6，B=30，则此平行四边形的面积是（）A6B12C18D246（3 分）某中学排球队 12 名队员的年龄情况如下表：年龄（岁）12131415人数（人）1254第 2 页（共 33 页）则这个队员年龄的众数是（）A12 岁B13 岁C14 岁D15 岁7（3 分）底面半径为 4，高为 3 的圆锥的侧面积是（）A12B15C20D368（3 分）若实数 a，b 满足 ab0，且 ab，则函数 y=ax+b 的图象可能是（）ABCD9（3 分）如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC相交于点 F，AB=9，BD=3，则 CF 等于（）A1B2C3D410（3 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y=（x0）的图象上，已知点 B 的坐标是（，），则 k 的值为（）A4B6C8D10二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）第 3 页（共 33 页）11（3 分）目前发现一种病毒直径约是 0.0000252 米，将 0.0000252 用科学记数法表示为 12（3 分）因式分解：a34a=13（3 分）一个数的算术平方根是 2，则这个数是 14（3 分）在一个不透明的盒子中放入标号分别为 1，2，9 的形状、大小、质地完全相同的 9 个球，充分混合后，从中取出一个球，标号能被 3 整除的概率是 15（3 分）在ABC 中，B=45，cosA=，则C 的度数是 16 （3 分）关 于 x，y 的 方 程 组的 解 是，则|m+n|的 值是 17（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0，从1，2，3 三个数中任取一个数，作为方程中 b 的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中 c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是 18（3 分）如图，已知AOB=90，点 A 绕点 O 顺时针旋转后的对应点 A1落在射线 OB 上，点 A 绕点 A1顺时针旋转后的对应点 A2落在射线 OB 上，点 A 绕点 A2顺时针旋转后的对应点 A3落在射线 OB 上，连接 AA1，AA2，AA3，依此作法，则AAnAn+1等于 度（用含 n 的代数式表示，n 为正整数）三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分）19（10 分）先化简，再求值：（），其中 x=（）1（1）0+第 4 页（共 33 页）20（12 分）某中学对全校 1200 名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从 1200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为 A、B、C、D 四个等级，绘制了图、图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）求本次被抽查的学生共有多少人？（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数；（4）估计全校“D”等级的学生有多少人？四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分）21（12 分）晨光文具店用进货款 1620 元购进 A 品牌的文具盒 40 个，B 品牌的文具盒 60 个，其中 A 品牌文具盒的进货单价比 B 品牌文具盒的进货单价多3 元（1）求 A、B 两种文具盒的进货单价？（2）已知 A 品牌文具盒的售价为 23 元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于 500 元，B 品牌文具盒的销售单价最少是多少元？第 5 页（共 33 页）22（12 分）如图，已知在 RtABC 中，B=30，ACB=90，延长 CA 到 O，使 AO=AC，以 O 为圆心，OA 长为半径作O 交 BA 延长线于点 D，连接CD（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 AB=4，求图中阴影部分的面积五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分）23（12 分）某海域有 A、B、C 三艘船正在捕鱼作业，C 船突然出现故障，向A、B 两船发出紧急求救信号，此时 B 船位于 A 船的北偏西 72方向，距 A 船24 海里的海域，C 船位于 A 船的北偏东 33方向，同时又位于 B 船的北偏东78方向（1）求ABC 的度数；（2）A 船以每小时 30 海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到 0.01 小时）（参考数据：1.414，1.732）第 6 页（共 33 页）六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分）24（12 分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进 A，B 两种型号的低排量汽车，其中 A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多 2 万元花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同，销售中发现 A 型汽车的每周销量 yA（台）与售价 x（万元/台）满足函数关系式 yA=x+20，B 型汽车的每周销量 yB（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式 yB=x+14（1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价；（2）已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 2 万元/台，设 B 型汽车售价为 t万元/台每周销售这两种车的总利润为 W 万元，求 W 与 t 的函数关系式，A、B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？第 7 页（共 33 页）七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分）25（12 分）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC+EAD=180，ABC 不动，ADE 绕点 A 旋转，连接 BE、CD，F 为 BE 的中点，连接 AF（1）如图，当BAE=90时，求证：CD=2AF；（2）当BAE90时，（1）的结论是否成立？请结合图说明理由第 8 页（共 33 页）八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分）26（14 分）如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）点 M 在抛物线上，连接 MB，当MBA+CBO=45时，求点 M 的坐标；（3）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运动，P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使 P、Q 运动过程中的某一时刻，以 C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由第 9 页（共 33 页）辽宁省本溪市中考数学试卷辽宁省本溪市中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分）1（3 分）的倒数是（）A4B4CD【考点】17：倒数菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】根据负数的倒数是负数，结合倒数的定义直接求解【解答】解：的倒数是4，故选：A【点评】本题考查了倒数的定义，理解定义是关键2（3 分）下列计算正确的是（）A2a3+a2=3a5B（3a）2=6a2C（a+b）2=a2+b2D2a2a3=2a5【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；4C：完全平方公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式判断即可【解答】解：A、2a3与 a2不是同类项不能合并，故 A 选项错误；B、（3a）2=9a2，故 B 选项错误；C、（a+b）2=a2+2ab+b2，故 C 选项错误；D、2a2a3=2a5，故 D 选项正确，故选：D【点评】本题考查了合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、单项式乘单项式，熟练掌握法则是解题的关键3（3 分）如图所示的几何体的俯视图是（）第 10 页（共 33 页）ABCD【考点】U2：简单组合体的三视图菁优网版权所有【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上面看是一个有直径的圆环，故选：D【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图4（3 分）如图，ABCD，AD 与 BC 相交于点 O，B=30，D=40，则AOC的度数为（）A60B70C80D90【考点】JA：平行线的性质；K8：三角形的外角性质菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用平行线的性质和三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质就可求出【解答】解：ABCD，A=D=30，再由三角形的外角的性质得，AOC=A+B=70故选：B【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的第 11 页（共 33 页）5（3 分）如图，在ABCD 中，AB=4，BC=6，B=30，则此平行四边形的面积是（）A6B12C18D24【考点】KO：含 30 度角的直角三角形；L5：平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】过点 A 作 AEBC 于 E，根据含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半可求出 AE 的长，利用平行四边形的面积根据即可求出其面积【解答】解：过点 A 作 AEBC 于 E，直角ABE 中，B=30，AE=AB=4=2平行四边形 ABCD 面积=BCAE=62=12，故选：B【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和 30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半6（3 分）某中学排球队 12 名队员的年龄情况如下表：年龄（岁）12131415人数（人）1254则这个队员年龄的众数是（）A12 岁B13 岁C14 岁D15 岁【考点】W5：众数菁优网版权所有【专题】27：图表型【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知 15 出现第 12 页（共 33 页）的次数最多【解答】解：数据 14 出现了 5 次，出现次数最多，故 14 为众数，故选：C【点评】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义7（3 分）底面半径为 4，高为 3 的圆锥的侧面积是（）A12B15C20D36【考点】MP：圆锥的计算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可【解答】解：圆锥的底面半径为 4，高为 3，母线长为 5，圆锥的侧面积为：rl=45=20，故选：C【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键8（3 分）若实数 a，b 满足 ab0，且 ab，则函数 y=ax+b 的图象可能是（）ABCD【考点】F7：一次函数图象与系数的关系菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】利用 ab0，且 ab 得到 a0，b0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断【解答】解：ab0，且 ab，a0，b0，第 13 页（共 33 页）函数 y=ax+b 的图象经过第二、四象限，且与 y 轴的交点在 x 轴上方故选：A【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k0）是一条直线，当 k0，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小；图象与 y 轴的交点坐标为（0，b）9（3 分）如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，D 在 BC 上，DE 与 AC相交于点 F，AB=9，BD=3，则 CF 等于（）A1B2C3D4【考点】KK：等边三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】121：几何图形问题【分析】通过相似三角形ABDCDF 的对应边成比例进行解答【解答】解：如图，ABC 和ADE 均为等边三角形，B=BAC=60，BAD+ADB=120，ADB+FDC=120BAD=FDC 又B=C=60，ABDCDF，AB：BD=CD：CF，即 9：3=（93）：CF，CF=2故选：B第 14 页（共 33 页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质 此题利用了“两角法”证得两个三角形相似10（3 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数 y=（x0）的图象上，已知点 B 的坐标是（，），则 k 的值为（）A4B6C8D10【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy 轴于 F，根据正方形的性质可得 AB=AD，BAD=90，再根据同角的余角相等求出BAE=ADF，然后利用“角角边”证明ABE 和DAF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AF=BE，DF=AE，再求出 OF，然后写出点 D 的坐标，再把点 D 的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出 k【解答】解：如图，过点 B 作 BEy 轴于 E，过点 D 作 DFy 轴于 F，在正方形 ABCD 中，AB=AD，BAD=90，BAE+DAF=90，DAF+ADF=90，BAE=ADF，在ABE 和DAF 中，ABEDAF（AAS），AF=BE，DF=AE，第 15 页（共 33 页）正方形的边长为 2，B（，），BE=，AE=，OF=OE+AE+AF=+=5，点 D 的坐标为（，5），顶点 D 在反比例函数 y=（x0）的图象上，k=xy=5=8故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点 D 的坐标是解题的关键二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分）11（3 分）目前发现一种病毒直径约是 0.0000252 米，将 0.0000252 用科学记数法表示为2.52105【考点】1J：科学记数法表示较小的数菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定由此可得，此题的 a=2.52，10的指数为5【解答】解：0.0000252=2.52105米故答案为：2.52105第 16 页（共 33 页）【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定12（3 分）因式分解：a34a=a（a+2）（a2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有【专题】44：因式分解【分析】首先提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出即可【解答】解：a34a=a（a24）=a（a+2）（a2）故答案为：a（a+2）（a2）【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键13（3 分）一个数的算术平方根是 2，则这个数是4【考点】22：算术平方根菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用算术平方根的定义计算即可得到结果【解答】解：4 的算术平方根为 2，故答案为：4【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键14（3 分）在一个不透明的盒子中放入标号分别为 1，2，9 的形状、大小、质地完全相同的 9 个球，充分混合后，从中取出一个球，标号能被 3 整除的概率是【考点】X4：概率公式菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：根据题意可知，共有 9 个球，能被 3 整除的有 3 个，故标号能被 3 整除的概率为=，故答案为：第 17 页（共 33 页）【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）=15（3 分）在ABC 中，B=45，cosA=，则C 的度数是75【考点】K7：三角形内角和定理；T5：特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】由条件根据A 的余弦值求得A 的值，再根据三角形的内角和定理求C 即可【解答】解：在ABC 中，cosA=，A=60，C=180AB=1806045=75【点评】本题主要考查特殊角的余弦值以及三角形的内角和定理，属基础题16（3 分）关于 x，y 的方程组的解是，则|m+n|的值是3【考点】97：二元一次方程组的解菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】将 x 与 y 的值代入方程组计算求出 m 与 n 的值，即可确定出所求式子的值【解答】解：将 x=1，y=3 代入方程组得：，解得：m=1，n=2，则|m+n|=|12|=|3|=3故答案为：3【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值17（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0，从1，2，3 三个数中任取一个数，作为方程中 b 的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中 c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是【考点】AA：根的判别式；X6：列表法与树状图法菁优网版权所有【专题】11：计算题第 18 页（共 33 页）【分析】先利用树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当 b=2，c=1；b=3，c=1；b=3，c=2 时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算【解答】解：画树状图为：，共有 6 种等可能的结果数，因为 b24c0，所以能使该一元二次方程有实数根占 3 种，b=2，c=1；b=3，c=1；b=3，c=2，所以能使该一元二次方程有实数根的概率=故答案为：【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率也考查了根的判别式18（3 分）如图，已知AOB=90，点 A 绕点 O 顺时针旋转后的对应点 A1落在射线 OB 上，点 A 绕点 A1顺时针旋转后的对应点 A2落在射线 OB 上，点 A 绕点 A2顺时针旋转后的对应点 A3落在射线 OB 上，连接 AA1，AA2，AA3，依此作法，则AAnAn+1等于（180）度（用含 n 的代数式表示，n为正整数）【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质菁优网版权所有【专题】2A：规律型第 19 页（共 33 页）【分析】根据旋转的性质得 OA=OA1，则根据等腰三角形的性质得AA1O=，同理得到 A1A=A1A2，根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到AA2A1=AA1O=，同样得到AA3A2=，于是可推广得到AAnAn1=，然后利用邻补角的定义得到AAnAn+1=180【解答】解：点 A 绕点 O 顺时针旋转后的对应点 A1落在射线 OB 上，OA=OA1，AA1O=，点 A 绕点 A1顺时针旋转后的对应点 A2落在射线 OB 上，A1A=A1A2，AA2A1=AA1O=，点 A 绕点 A2顺时针旋转后的对应点 A3落在射线 OB 上，A2A=A2A3，AA3A2=AA2A1=，AAnAn1=，AAnAn+1=180故答案为：180【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰三角形的性质三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分）19（10 分）先化简，再求值：（），其中 x=（）1（1）0+【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂菁优网版权所有【专题】11：计算题第 20 页（共 33 页）【分析】先计算括号内的分式的减法，把分式除法转化为乘法运算进行化简最后代入求值【解答】解：原式=，=，=x=（）1（1）0+，=21+=1+则原式=+1【点评】本题考查了分式的化简求值，零指数幂和负整数指数幂在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式20（12 分）某中学对全校 1200 名学生进行“校园安全知识”的教育活动，从 1200名学生中随机抽取部分学生进行测试，成绩评定按从高分到低分排列分为 A、B、C、D 四个等级，绘制了图、图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）求本次被抽查的学生共有多少人？（2）将条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中“A”所在扇形圆心角的度数；（4）估计全校“D”等级的学生有多少人？【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图菁优网版权所有【专题】27：图表型第 21 页（共 33 页）【分析】（1）根据 A 等级有 12 人，占 20%，即可求得抽查的总人数；（2）根据百分比的定义求得 B、D 所占的百分比，以及 C、D 类的人数，即可解答；（3）利用 360乘以对应的百分比即可求解；（4）利用总人数 1200 乘以对应的百分比【解答】解：（1）1220%=60（人）；（2）B 所占的百分比是：100%=40%，D 所占的百分比是：120%40%30%=10%C 的个数是：6030%=18，D 的个数是：6010%=6（3）36020%=72；（4）120010%=120（人）答：估计全校“D”等级的学生有 120 人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分）21（12 分）晨光文具店用进货款 1620 元购进 A 品牌的文具盒 40 个，B 品牌的文具盒 60 个，其中 A 品牌文具盒的进货单价比 B 品牌文具盒的进货单价多第 22 页（共 33 页）3 元（1）求 A、B 两种文具盒的进货单价？（2）已知 A 品牌文具盒的售价为 23 元/个，若使这批文具盒全部售完后利润不低于 500 元，B 品牌文具盒的销售单价最少是多少元？【考点】8A：一元一次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用菁优网版权所有【专题】124：销售问题【分析】（1）设 A 品牌文具盒的进价为 x 元/个，根据晨光文具店用进货款 1620元，可得出方程，解出即可；（2）设 B 品牌文具盒的销售单价为 y 元，根据全部售完后利润不低于 500 元，可得出不等式，解出即可【解答】解：（1）设 A 品牌文具盒的进价为 x 元/个，依题意得：40 x+60（x3）=1620，解得：x=18，x3=15答：A 品牌文具盒的进价为 18 元/个，B 品牌文具盒的进价为 15 元/个（2）设 B 品牌文具盒的销售单价为 y 元，依题意得：（2318）40+60（y15）500，解得：y20答：B 品牌文具盒的销售单价最少为 20 元【点评】本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的知识，解答本题的关键是仔细审题，找到不等关系及等量关系，难度一般22（12 分）如图，已知在 RtABC 中，B=30，ACB=90，延长 CA 到 O，使 AO=AC，以 O 为圆心，OA 长为半径作O 交 BA 延长线于点 D，连接CD（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若 AB=4，求图中阴影部分的面积第 23 页（共 33 页）【考点】KM：等边三角形的判定与性质；KO：含 30 度角的直角三角形；KQ：勾股定理；MD：切线的判定；MO：扇形面积的计算菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）连接 OD，求出OAD=60，得出等边三角形 OAD，求出AD=OA=AC，ODA=O=60，求出ADC=ACD=OAD=30，求出ODC=90，根据切线的判定得出即可；（2）求出 OD，根据勾股定理求出 CD 长，分别求出三角形 ODC 和扇形 AOD 的面积，相减即可【解答】（1）证明：连接 OD，BCA=90，B=30，OAD=BAC=60，OD=OA，OAD 是等边三角形，AD=OA=AC，ODA=O=60，ADC=ACD=OAD=30，ODC=60+30=90，即 ODDC，OD 为半径，CD 是O 的切线；（2）解：AB=4，ACB=90，B=30，OD=OA=AC=AB=2，第 24 页（共 33 页）由勾股定理得：CD=2，S阴影=SODCS扇形AOD=22=2【点评】本题考查了扇形的面积，切线的判定，含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分）23（12 分）某海域有 A、B、C 三艘船正在捕鱼作业，C 船突然出现故障，向A、B 两船发出紧急求救信号，此时 B 船位于 A 船的北偏西 72方向，距 A 船24 海里的海域，C 船位于 A 船的北偏东 33方向，同时又位于 B 船的北偏东78方向（1）求ABC 的度数；（2）A 船以每小时 30 海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到 0.01 小时）（参考数据：1.414，1.732）【考点】TB：解直角三角形的应用方向角问题菁优网版权所有【专题】12：应用题【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得到DBA 的度数，则ABC 即可求得；第 25 页（共 33 页）（2）作 AHBC 于点 H，分别在直角ABH 和直角ACH 中，利用三角函数求得 BH 和 CH 的长，则 BC 即可求得，进而求得时间【解答】解：（1）BDAE，DBA+BAE=180，DBA=18072=108，ABC=10878=30；（2）作 AHBC，垂足为 H，C=180723330=45，ABC=30，AH=AB=12，sinC=，AC=12则 A 到出事地点的时间是：0.57 小时答：约 0.57 小时能到达出事地点【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分）24（12 分）国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进 A，B 两种型号的低排量汽车，其中 A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多 2 万元花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相同，销售中发现 A 型汽车的每周销量 yA（台）与售价 x（万元/台）满足函数关系式 yA=x+20，B 型汽车的每周销量 yB（台）与售价第 26 页（共 33 页）x（万元/台）满足函数关系式 yB=x+14（1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价；（2）已知 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 2 万元/台，设 B 型汽车售价为 t万元/台每周销售这两种车的总利润为 W 万元，求 W 与 t 的函数关系式，A、B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？【考点】B7：分式方程的应用；HE：二次函数的应用菁优网版权所有【专题】124：销售问题【分析】（1）利用花 50 万元购进 A 型汽车的数量与花 40 万元购进 B 型汽车的数量相等，进而得出等式求出即可；（2）分别表示出两种汽车的利润进而得出函数关系式求出最值即可【解答】解：（1）设 A 种型号的汽车的进货单价为 m 万元，依题意得：=，解得：m=10，检验：m=10 时，m0，m20，故 m=10 是原分式方程的解，故 m2=8答：A 种型号的汽车的进货单价为 10 万元，B 种型号的汽车的进货单价为 8 万元；（2）根据题意得出：W=（t+210）（t+2）+20+（t8）（t+14）=2t2+48t256，=2（t12）2+32，a=20，抛物线开口向下，当 t=12 时，W 有最大值为 32，12+2=14，答：A 种型号的汽车售价为 14 万元/台，B 种型号的汽车售价为 12 万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是 32 万元第 27 页（共 33 页）【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值的求法，得出 W 与 x的函数关系式是解题关键七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分）25（12 分）如图，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC+EAD=180，ABC 不动，ADE 绕点 A 旋转，连接 BE、CD，F 为 BE 的中点，连接 AF（1）如图，当BAE=90时，求证：CD=2AF；（2）当BAE90时，（1）的结论是否成立？请结合图说明理由【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；KX：三角形中位线定理；R2：旋转的性质菁优网版权所有【专题】152：几何综合题【分析】（1）因为 AF 是直角三角形 ABE 的中线，所以 BE=2AF，然后通过ABEACD 即可求得（2）延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AH=AD，证出ABHACD 从而证得BH=CD，然后根据三角形的中位线等于底边的一半，求得 BH=2AF，即可求得【解答】（1）证明：如图，BAC+EAD=180，BAE=90，DAC=90，在ABE 与ACD 中ABEACD（SAS），CD=BE，第 28 页（共 33 页）在 RtABE 中，F 为 BE 的中点，BE=2AF，CD=2AF（2）成立，证明：如图，延长 EA 交 BC 于 G，在 AG 上截取 AH=AD，BAC+EAD=180，EAB+DAC=180，EAB+BAH=180，DAC=BAH，在ABH 与ACD 中，ABHACD（SAS）BH=DC，AD=AE，AH=AD，AE=AH，EF=FB，BH=2AF，CD=2AF第 29 页（共 33 页）【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质等作出正确的辅助线是解题关键八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分）26（14 分）如图，直线 y=x4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为 C，连接 BC（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）点 M 在抛物线上，连接 MB，当MBA+CBO=45时，求点 M 的坐标；（3）点 P 从点 C 出发，沿线段 CA 由 C 向 A 运动，同时点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 由 B 向 C 运动，P、Q 的运动速度都是每秒 1 个单位长度，当 Q 点到达 C点时，P、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点 D，使 P、Q 运动过程中的某一时刻，以 C、D、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在，说明理由【考点】HF：二次函数综合题；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】（1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点 C 的坐标；（2）满足条件的点 M 有两种情形，需要分类讨论：当 BMBC 时，如答图 21 所示；当 BM 与 BC 关于 y 轴对称时，如答图 22 所示（3）CPQ 的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：第 30 页（共 33 页）若以 CQ 为菱形对角线，如答图 31此时 BQ=t，菱形边长=t；若以 PQ 为菱形对角线，如答图 32此时 BQ=t，菱形边长=t；若以 CP 为菱形对角线，如答图 33此时 BQ=t，菱形边长=5t【解答】解：（1）直线解析式 y=x4，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=4A（4，0）、B（0，4）点 A、B 在抛物线 y=x2+bx+c 上，解得，抛物线解析式为：y=x2x4令 y=x2x4=0，解得：x=3 或 x=4，C（3，0）（2）MBA+CBO=45，设 M（x，y），当 BMBC 时，如答图 21 所示ABO=45，MBA+CBO=45，故点 M 满足条件过点 M1作 M1Ey 轴于点 E，则 M1E=x，OE=y，BE=4+ytanM1BE=tanBCO=，直线 BM1的解析式为：y=x4第 31 页（共 33 页）联立 y=x4 与 y=x2x4，得：x4=x2x4，解得：x1=0，x2=，y1=4，y2=，M1（，）；当 BM 与 BC 关于 y 轴对称时，如答图 22 所示ABO=MBA+MBO=45，MBO=CBO，MBA+CBO=45，故点 M 满足条件过点 M2作 M2Ey 轴于点 E，则 M2E=x，OE=y，BE=4+ytanM2BE=tanCBO=，直线 BM2的解析式为：y=x4联立 y=x4 与 y=x2x4 得：x4=x2x4，解得：x1=0，x2=5，y1=4，y2=，第 32 页（共 33 页）M2（5，）综上所述，满足条件的点 M 的坐标为：（，）或（5，）（3）设BCO=，则 tan=，sin=，cos=假设存在满足条件的点 D，设菱形的对角线交于点 E，设运动时间为 t若以 CQ 为菱形对角线，如答图 31此时 BQ=t，菱形边长=tCE=CQ=（5t）在 RtPCE 中，cos=，解得 t=CQ=5t=过点 Q 作 QFx 轴于点 F，则 QF=CQsin=，CF=CQcos=，OF=3CF=Q（，）点 D1与点 Q 横坐标相差 t 个单位，D1（，）；若以 PQ 为菱形对角线，如答图 32此时 BQ=t，菱形边长=tBQ=CQ=t，第 33 页（共 33 页）t=，点 Q 为 BC 中点，Q（，2）点 D2与点 Q 横坐标相差 t 个单位，D2（1，2）；若以 CP 为菱形对角线，如答图 33此时 BQ=t，菱形边长=5t在 RtCEQ 中，cos=，解得 t=OE=3CE=3t=，D3E=QE=CQsin=（5）=D3（，）综上所述，存在满足条件的点 D，点 D 坐标为：（，）或（1，2）或（，）【点评】本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似）、菱形、一次函数、解方程等知识点，难度较大第（3）问为存在型与运动型的综合问题，涉及两个动点，注意按照菱形对角线进行分类讨论，做到条理清晰、不重不漏