滤波辨识（7）：类多变量方程误差ARMA系统的滤波递阶广义增广参数辨识.pdf

针对类多变量方程误差自回归滑动平均(M-E E A RMA-l i k e)系统,利用滤波辨识理念和递阶辨识原理,研究和提出了滤波递阶广义增广随机梯度辨识方法、滤波递阶多新息广义增广随机梯度辨识方法、滤波递阶广义增广梯度辨识方法、滤波递阶多新息递推广义增广梯度辨识方法、滤波递阶递推广义增广最小二乘辨识方法、滤波递阶多新息广义增广最小二乘辨识方法。这些滤波递阶广义增广辨识方法可以推广到其他有色噪声干扰下的线性和非线性多变量随机系统中。关键词:参数估计;递推辨识;多新息辨识;递阶辨识;滤波辨识;最小二乘;多变量系统中图分类号:T P 2 7 3 文献标志码:A引用格式:丁锋,万立娟,栾小丽,等.滤波辨识(7):类多变量方程误差A RMA系统的滤波递阶广义增广参数辨识J.青岛科技大学学报(自然科学版),2 0 2 3,4 4(4):1-1 7.D I NG F e n g,WAN L i j u a n,L UAN X i a o l i,e t a l.F i l t e r i n g i d e n t i f i c a t i o n.P a r t G:F i l t e r i n g-b a s e d h i e r a r c h i c a l g e n e r a l i z e d e x t e n d e d p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n f o r m u l t i v a r i a b l e e q u a t i o n-e r-r o r A RMA-l i k e s y s t e m sJ.J o u r n a l o f Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y(N a t-u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 3,4 4(4):1-1 7.收稿日期:2 0 2 3-0 6-2 7基金项目:国家自然科学基金项目(6 2 2 7 3 1 6 7).作者简介:丁 锋(1 9 6 3),男,博士,“泰山学者”特聘教授,博士生导师.F i l t e r i n g I d e n t i f i c a t i o n.P a r t G:F i l t e r i n g-B a s e d H i e r a r c h i c a l G e n e r a l i z e d E x t e n d e d P a r a m e t e r I d e n t i f i c a t i o n f o r M u l t i v a r i a b l e E q u a t i o n-E r r o r A RMA-L i k e S y s t e m sD I N G F e n g1,2,WA N L i j u a n2,L U A N X i a o l i1,X U L i n g1,L I U X i m e i2(1.S c h o o l o f I n t e r n e t o f T h i n g s E n g i n e e r i n g,J i a n g n a n U n i v e r s i t y,W u x i 2 1 4 1 2 2,C h i n a;2.C o l l e g e o f A u t o m a t i o n a n d E l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g,Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,Q i n g d a o 2 6 6 0 6 1,C h i n a)A b s t r a c t:F o r m u l t i v a r i a b l e e q u a t i o n-e r r o r a u t o r e g r e s s i v e m o v i n g a v e r a g e(M-E E A RMA-l i k e)m o d e l s,w h i c h a r e a l s o c a l l e d m u l t i v a r i a b l e c o n t r o l l e d a u t o r e g r e s s i v e a u t o r e g r e s s i v e m o v i n g a v e r a g e(M-C A R A RMA-l i k e)m o d e l s,t h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s a n d p r o p o s e s t h e f i l-t e r e d h i e r a r c h i c a l g e n e r a l i z e d e x t e n d e d s t o c h a s t i c g r a d i e n t i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d,t h e f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n g e n e r a l i z e d e x t e n d e d s t o c h a s t i c g r a d i e n t i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d,t h e f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l g e n e r a l i z e d e x t e n d e d r e c u r s i v e g r a d i e n t i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d,t h e f i l-t e r e d h i e r a r c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n g e n e r a l i z e d e x t e n d e d r e c u r s i v e g r a d i e n t i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d,t h e f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l g e n e r a l i z e d e x t e n d e d l e a s t s q u a r e s i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d,青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷a n d t h e f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n g e n e r a l i z e d e x t e n d e d l e a s t s q u a r e s i d e n t i f i c a t i o n m e t h o d b y u s i n g t h e f i l t e r i n g i d e n t i f i c a t i o n i d e a a n d t h e h i e r a r c h i c a l i d e n t i f i c a t i o n p r i n c i p l e f r o m a v a i l a b l e i n p u t-o u t p u t d a t a.T h e s e f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l g e n e r a l i z e d e x t e n d e d i d e n t i f i c a-t i o n m e t h o d s c a n b e e x t e n d e d t o o t h e r l i n e a r a n d n o n l i n e a r m u l t i v a r i a b l e s t o c h a s t i c s y s t e m s w i t h c o l o r e d n o i s e s.K e y w o r d s:p a r a m e t e r e s t i m a t i o n;r e c u r s i v e i d e n t i f i c a t i o n;m u l t i-i n n o v a t i o n i d e n t i f i c a t i o n;h i e r a r c h i c a l i d e n t i f i c a t i o n;f i l t e r i n g i d e n t i f i c a t i o n;l e a s t s q u a r e s;m u l t i v a r i a b l e s y s t e m 辨识就是求解一个优化问题。优化准则函数一般定义为系统输出与模型输出之差的平方和。对于线性参数辨识问题,准则函数是参数的二次函数,直接令准则函数对参数向量或参数矩阵的梯度为零,就可以求解出最小二乘参数估计。但当系统受到有色噪声的干扰,或系统中存在不可测变量时,这时直接求解的最小二乘方法就失效了。因此,必须采用递推方案或迭代方案求准则函数的最小值,采用典型的梯度搜索和牛顿搜索,就得到梯度辨识方法和牛顿辨识方法。对于线性参数辨识问题,牛顿辨识方法退化为最小二乘辨识方法。当辅助模型辨识思想、多新息辨识理论、递阶辨识原理、耦合辨识概念等1-7与梯度方法、最小二乘方法、牛顿方法相结合,可以提出许多不同辨识方法,如辅助模型梯度辨识方法、多新息最小二乘辨识方法、递阶牛顿辨识方法、耦合最小二乘辨识方法等。最近,青岛科技大学学报(自然科学版)上的连载论文将滤波辨识理念与梯度方法和最小二乘方法相结合,研究了有限脉冲响应滑动平均系统,方程误差自回归系统和输出误差自回归滑动平均系统滤波递推辨识方法和滤波迭代辨识方法8-1 4。本研究利用滤波辨识理念,研究类多变量方程误差自回归滑动平均(M-E E A RMA-l i k e)系统的滤波递阶广义增广递推辨识方法,即类多变量受控自回归滑动平均(M-C A R A RMA-l i k e)系统的滤波递阶广义增广随机梯度(F-HG E S G)辨识方法、滤波递阶多新息广义增广随机梯度(F-HM I-G E S G)辨识方法、滤波递阶广义增广递推梯度(F-HG E R G)辨识方法、滤波递 阶多 新 息 广 义 增 广 递 推 梯 度(F-HM I-G E R G)辨识方法、滤波递阶广义增广最小二乘(F-HG E L S)辨识方法、滤波递阶多新息广义增广最小二乘(F-HM I-G E L S)辨识方法等。相关工作参见文献2,7,1 5-2 5。1 类多变量方程误差A RMA系统考虑类多变量方程误差自回归滑动平均模型(m u l t i v a r i a b l e e q u a t i o n-e r r o r A RMA-l i k e m o d e l,M-E E A RMA-l i k e模型)描述的多变量系统:(z)y(t)=Q(z)u(t)+N(z)(z)v(t),(1)其中y(t)=y1(t),y2(t),ym(t)Tm为m维观测输出向量,u(t)r为r维观测输入向量,v(t)=v1(t),v2(t),vm(t)Tm,为m维白噪声向量,(z)和(z)为单位后移算子z-1的多项式,Q(z)和N(z)为单位后移算子z-1的多项式矩阵,它们定义为(z)=1+1z-1+2z-2+nz-n,(z)=1+1z-1+2z-2+nz-n,Q(z)=Q1z-1+Q2z-2+Qnz-nmr,N(z)=Im+N1z-1+N2z-2+Nnnz-nnmm。定义模型参数向量和参数矩阵如下:=n0,n0=n+n,=1,2,nTn,=1,2,nTn,T=Q,Nmn1,n1=r n+m nn,Q=Q1,Q2,Qnm(r n),N=N1,N2,Nnnm(m nn)。定义输出信息矩阵y(t),输入信息矩阵u(t)和噪声向量v(t)如下:y(t)=y(t-1),y(t-n)mn,(2)u(t)=u(t-1),u(t-n)rn,(3)v(t)=vT(t-1),vT(t-nn)Tm nn。(4)用(z)作为滤波器,定义滤波输出向量yf(t)和滤波输入向量uf(t)如下:yf(t)=(z)y(t),2 第4期 丁 锋等:滤波辨识(7):类多变量方程误差A RMA系统的滤波递阶广义增广参数辨识uf(t)=(z)u(t)。进一步可以等价写为yf(t)=y(t)+y(t),(5)uf(t)=u(t)+u(t)。(6)定义滤波输出信息矩阵yf(t)和滤波输入信息向量uf(t)如下:yf(t)=yf(t-1),yf(t-n)mn,(7)uf(t)=uTf(t-1),uTf(t-n)Tr n。(8)式(1)两边乘以(z)可得(z)yf(t)=Q(z)uf(t)+N(z)v(t)。进一步可以表示为yf(t)+yf(t)=Q uf(t)+N v(t)+v(t)。(9)将式(5)代入上式得到y(t)+y(t)+yf(t)=Q uf(t)+Nv(t)+v(t)。由此可以得到类多变量方程误差A RMA系统(1)的滤波递阶辨识模型:y(t)+(t)=T(t)+v(t),(1 0)其中信息矩阵(t)和信息向量(t)定义如下:(t)=yf(t),y(t)mn0,(1 1)(t)=uft vt n1。(1 2)对于类多变量方程误差A RMA系统(1),可得到的只有系统输入输出数据u(t),y(t),在对应的滤波递阶辨识模型(1 0)中,只有信息矩阵(t)中的输出信息矩阵y(t)是已知的,而滤波输出信息矩阵yf(t)是未知的,信息向量(t)中滤波输入信息向量uf(t)和噪声向量v(t)都是未知的。这是辨识的困难所在。因此必须借助于滤波辨识理念和递阶辨识原理,利用系统的观测数据u(t),y(t):t=1,2,3,通过对未知滤波输入向量uf(t),滤波输出向量yf(t)和噪声向量v(t)进行估算,研究M-E E-A RMA-l i k e系统的滤波递阶(多新息)广义增广随机梯度辨识方法、滤波递阶(多新息)广义增广递推梯度辨识方法、滤波递阶(多新息)广义增广最小二乘辨识方法,来估计系统参数向量和参数矩阵。因为辨识模型涉及到未知滤波输入向量uf(t),滤波输出向量yf(t)和噪声向量v(t),所以必须采用递推方法或迭代方法交替这些未知量,以及系统参数向量和参数矩阵。下面先构造这些未知向量和未知矩阵。2 基于参数估计的未知量估算模型令(t)=(t)(t)n0为 参 数 向 量=在时 刻t的 估 计,(t)=Q(t),N(t)Tn1m为参数矩阵=Q,NT在时刻t的估计。根据式(7),用 滤 波 输 出 向 量yf(t-i)的 估 计yf(t-i)定义滤波输出信息矩阵yf(t)的估计yf(t)=yf(t-1),yf(t-n)mn。(1 3)根据式(8),用 滤 波 输 入 向 量uf(t-i)的 估 计uf(t-i)定义滤波输入信息向量uf(t)的估计uf(t)=uTf(t-1),uTf(t-n)Tr n。(1 4)根据式(4),用噪声v(t-i)的估计v(t-i)构造噪声向量v(t)的估计v(t)=vT(t-1),vT(t-nn)Tm nn。(1 5)根据式(1 1),用输出信息矩阵y(t)和滤波输出信息矩阵yf(t)的估计yf(t)定义信息矩阵(t)的估计(t)=yf(t),y(t)mn0。(1 6)根据式(1 2),用滤波输入信息向量uf(t)和噪声向量v(t)的估计uf(t)和v(t)定义信息向量(t)的估计(t)=uf(t)v(t)n1。(1 7)用 噪 声 模 型 参 数 向 量的 估 计(t)=1(t),2(t),n(t)T定义多项式(z)的估计(t,z)=1+1(t)z-1+2(t)z-2+(t)nz-n。式(5)(6)中噪声模型参数向量用其估计(t)代替,便得到滤波输出向量yf(t)和滤波输入向量uf(t)的估计:yf(t)=y(t)+y(t)(t),(1 8)uf(t)=u(t)+u(t)(t)。(1 9)3青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷由式(1 0)可得v(t)=y(t)+(t)-T(t)。一旦信息矩阵(t),参数向量,参数矩阵和信息向量(t)的估计得到,上式中右边未知量用其估计(t),(t),(t)和(t)代替,就得到噪声向量v(t)的估计:v(t)=y(t)+(t)(t)-T(t)(t)。(2 0)因为滤波递阶辨识模型中涉及一些未知变量,如噪声向量v(t-i),滤波输入向量uf(t-i),滤波输出向量yf(t-i),所以辨识方案需要采用递推算法或迭代算法来交替估计参数向量和参数矩阵,以及涉及的未知变量。这种未知量用其估计代替的方法在辨识中是极其常用的。不过这种先进方法在其它科学中是极其少见的。3 滤波递阶广义增广随机梯度辨识方法基于滤波递阶辨识模型(1 0),定义准则函数J1(,)=12y(t)+(t)-T(t)2,使用负梯度搜索,极小化准则函数J1(,),可以得到(t)=(t-1)-T(t)r(t)y(t)+(t)(t-1)-T(t-1)(t),(2 1)(t)=(t-1)+(t)r(t)y(t)+(t)(t-1)-T(t-1)(t)T,(2 2)r(t)=r(t-1)+(t)2+(t)2。(2 3)由于信息矩阵(t)和信息向量(t)中含有未知滤波 输 出 向 量yf(t-i),未 知 滤 波 输 入 向 量uf(t-i)和噪声向量v(t-i),所以式(2 1)(2 3)无法实现。因此,式(2 1)(2 3)中未知信息矩阵(t)和信息向量(t)用其估计(t)和(t)代替,得到式(2 4)(2 7),联立式(1 3)(2 0)和(2)(3),便得到辨识类多变量方程误差A RMA系统(1)对应的滤波递阶辨识模型(1 0)参数向量和参数矩阵的滤波递阶广义增广随机梯度算法(f i l t e r e d h i e r-a r c h i c a l g e n e r a l i z e d e x t e n d e d s t o c h a s t i c g r a d i e n t a l g o r i t h m,F-H G E S G算法)1 8-1 9:(t)=(t-1)-T(t)r(t)y(t)+(t)(t-1)-T(t-1)(t)=(t-1)-T(t)r(t)e(t),(2 4)e(t)=y(t)+(t)(t-1)-T(t-1)(t),(2 5)(t)=(t-1)+(t)r(t)y(t)+(t)(t-1)-T(t-1)(t)T=(t-1)+(t)r(t)eT(t),(2 6)r(t)=r(t-1)+(t)2+(t)2,(2 7)(t)=yf(t),y(t),(2 8)(t)=Tuf(t),Tv(t)T,(2 9)yf(t)=yf(t-1),yf(t-n),(3 0)uf(t)=uTf(t-1),uTf(t-n)T,(3 1)v(t)=vT(t-1),vT(t-nn)T,(3 2)y(t)=y(t-1),y(t-n),(3 3)u(t)=u(t-1),u(t-n),(3 4)yf(t)=y(t)+y(t)(t),(3 5)uf(t)=u(t)+u(t)(t),(3 6)v(t)=y(t)+(t)(t)-T(t)(t),(3 7)(t)=T(t),T(t)T,(3 8)(t)=1(t),2(t),n(t)T,(3 9)(t)=1(t),2(t),n(t)T,(4 0)T(t)=Q(t),N(t),(4 1)Q(t)=Q1(t),Q2(t),Qn(t),(4 2)N(t)=N1(t),N2(t),Nnn(t)T。(4 3)从F-HG E S G辨识算法,可以得到一些特殊的滤波递阶随机梯度辨识算法。1)当n=0和nn=0,即(z)=1和N(z)=1时,F-HG E S G辨识算法(2 4)(4 3)退化为类多变量方程误差M-E E-l i k e)系统的递阶随机梯度算法(h i e r a r c h i c a l s t o c h a s t i c g r a d i e n t a l g o r i t h m,H S G算法)2,7,1 5,1 8。2)当n=0,即(z)=1时,F-HG E S G辨识算法(2 4)(4 3)退化为类多变量方程误差滑动平均(M-E EMA-l i k e)系 统 的 递 阶 增 广 随 机 梯 度 算 法(h i e r a r c h i c a l e x t e n d e d s t o c h a s t i c g r a d i e n t a l g o-r i t h m,H E S G算法)7,1 8。3)当nn=0,即N(z)=1时,F-HG E S G辨识算法(2 4)(4 3)退化为类多变量方程误差自回归(M-E E A R-l i k e)系统的滤波递阶广义随机梯度算法(f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l g e n e r a l i z e d s t o c h a s t i c g r a d i-4 第4期 丁 锋等:滤波辨识(7):类多变量方程误差A RMA系统的滤波递阶广义增广参数辨识e n t a l g o r i t h m,F-H G S G算法)。4)读者可以写出类多变量方程误差自回归滑动平均(M-E E A RMA-l i k e)系统的加权滤波递阶广义增广随机梯度算法(W-F-H G E S G算法)或滤波加权递 阶 广 义 增 广 随 机 梯 度 算 法(F-W-H G E S G算法)、遗忘因子 滤波递阶 广义增 广 随 机 梯 度 算 法(F F-F-H G E S G算法)或滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度算法(F-F F-H G E S G算法)、加权遗忘因子滤波递阶广义增广随机梯度算法(W-F F-F-H G E S G算法)或加权滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度算法(W-F-F F-H G E S G算法)。例如,为提高参数估计精度和收敛速率,可在F-HG E S G算法(2 4)(4 3)中引入遗忘因子,即将式(2 7)修改为r(t)=r(t-1)+m a x(t)2,(t)2,r(0)=1,或(4 4)r(t)=r(t-1)+(t)2+(t)2,r(0)=1,(4 5)就得到滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度算法(f i l t e r e d f o r g e t t i n g f a c t o r HG E S G a l g o r i t h m,F-F F-H G E S G算法)。F-HG E S G算 法(2 4)(4 3)计 算 参 数 向 量(t)和参数矩阵(t)的步骤如下。1)初始化:令t=1,设定初值(0)=1n0/p0,(0)=1n1m/p0,r(0)=1,uf(t-i)=1r/p0,yf(t-i)=1m/p0,v(t-i)=1m/p0,u(t-i)=0,y(t-i)=0,i=1,2,m a xn,n,nn,p0=1 06。2)采集输 入输出数据u(t)和y(t)。用 式(3 3)(3 4)构造输出信息矩阵y(t)和输入信息矩阵u(t),用式(3 0)(3 2)构造滤波输出信息矩阵yf(t),滤 波 输 入 信 息 向 量uf(t)和 噪 声 向 量v(t),用式(2 8)(2 9)构造信息矩阵(t)和信息向量(t)。3)用式(2 7)计算r(t),用式(2 5)计算新息向量e(t),用式(2 4)刷新参数估计向量(t),用式(2 6)刷新参数估计矩阵(t)。4)从式(3 8)的(t)中读出参数估计向量(t)和(t),从式(4 1)的(t)中读出参数估计矩阵Q(t)和N(t)。用式(3 5)(3 7)计算滤波输出向量yf(t),滤波输入向量uf(t)和残差向量v(t)。5)如 果(t)-(t-1)+(t)-(t-1),t就增加1,即t=t+1,转到步骤2);否则输出参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t),终止计算过程。在F-HG E S G辨识算法(2 4)(4 3)中,e(t)m为新息向量,定义残差向量v(t)=y(t)+(t)(t)-T(t)(t)m。(4 6)引理1 对 于F-HG E S G辨 识 算 法(2 4)(4 3),新息向量e(t)与残差向量v(t)有下列关系:v(t)=Im-(t)T(t)+(t)2Imr(t)e(t),(4 7)e(t)=r(t)r(t-1)Im+(t)2Im-(t)T(t)-1v(t)。(4 8)引理2 对于F-HG E S G算法(2 4)(4 3),假设存在正常数c1,c2和正整数c1,下列持续激励条件成立:(S P E 1)c1In01pp-1j=0T(t-j)(t-j)c2In0,a.s.,tp,(S P E 2)c1In11pp-1j=0(t-j)T(t-j)c2In1,a.s.。那么式(2 7)中r(t)满足(n0+n1)c1(t-p+1)+1r(t)(n0+n1)c2(t+p-1)+1,a.s.。引理3 对于F-HG E S G算法(2 4)(4 3),定义转移矩阵(t)=In0-T(t)(t)r(t)n0n0,1(t)=In1-(t)T(t)r(t)n1n1。令(t)=p-1j=0(t-j)n0n0,1t =p-1j=01(t-j)n1n1,持续激励条 件(S P E 1)和(S P E 2)成 立,那么 矩 阵T(t)(t)和T1(t)1(t)的最大特征值小于1,即t=m a xT(t)(t)1-c21(p+1)3n0c2(n0+n1)c2(t+2p-2)+1,a.s.,1,t=m a xT1(t)1(t)5青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷1-c21(p+1)3n1c2(n0+n1)c2(t+2p-2)+1,a.s。m a xX 表示矩阵X的最大特征值。这个引理可以参照文献6,2 6 证明。引理4 稳定性判据:对于时变系统x(t)=Atx(t-1)+u(t),t=1,2,3,(4 9)即使对所有t,Atnn是稳定的,即At的所有特征值都在单位圆内,也不能保证系统(4 9)是稳定的。如果ATtAt的所有特征值都在单位圆内,则系 统(4 9)是稳定的,即x(t)是收敛的。此引理的收敛性结论可以利用L y a p u n o v稳定性理论加以证明1,3。例如:取At=1809-(-1)t79+(-1)t70。At的两个特征值是12,都在单位圆内,但是系统的转移矩阵为AtAt-1A2A1=02-2t2t0,t为奇数,2t002-2t,t为偶数。因此,系统x(t)=Atx(t-1)=AtAt-1A2A1x(0)是不稳定的,因为ATtAt=18809+(-1)t79-(-1)t7009+(-1)t79-(-1)t70=16 49-(-1)t72009+(-1)t72有一个特征值在单位圆外,因为无论t为偶数还是奇数,ATtAt的两个特征值为11 6和4。引理5 稳定性判据:对于时变系统x(t)=Atx(t-1)+u(t),t=1,2,3,(5 0)对所有t,如果对称阵Atnn是稳定的,即At的所有特征值都在单位圆内,那么系统(5 0)是稳定的,即x(t)是收敛的。定理1 对于F-HG E S G算法(2 4)(4 3),假设持续激励条件(S P E 1)和(S P E 2)成立,那么参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t)是收敛的。4 滤波递阶多新息广义增广随机梯度方法 设p为新息长度。基于F-HG E S G算法(2 4)(4 3),根据多新息辨识理论6,1 5,按照式(6 1)(6 6)定 义 堆 积 输 出 向 量Y(p,t),堆 积 输 出 矩 阵Y1(p,t),堆积信息矩阵(p,t),堆 积信息向量1(p,t),堆积信息矩阵(p,t)和1(p,t),将式(2 4)中 信 息 矩 阵(t)扩 展 为 堆 积 信 息 矩 阵(p,t),新息向量e(t)扩展为一个大新息向 量E(p,t),得到(t)=(t-1)-T(p,t)r(t)E(p,t),(5 1)E(p,t)=Y(p,t)+(p,t)(t-1)-(IpT(t-1)1(p,t)m p,(5 2)将式(2 6)中信息向量(t)扩展为堆积信息矩阵(p,t),新息向量e(t)扩展为新息矩阵E1(p,t),得到(t)=(t-1)+(p,t)r(t)ET1(p,t),(5 3)E1(p,t)=Y1(p,t)+T1(p,t)(Ip(t-1)-T(t-1)(p,t)mp,(5 4)将式(2 7)中信息矩阵(t)扩展为堆积信息矩阵(p,t),信 息 向 量(t)扩 展 为 堆 积 信 息 矩 阵(p,t),得到r(t)=r(t-1)+(p,t)2+(p,t)2,r(0)=1。(5 5)联立式(5 1)(5 5)和式(2 8)(4 3),就得到辨识类多变量方程误差A RMA系统(1)对应的滤波递阶辨识模型(1 0)参数向量和参数矩阵的滤波递阶多新息广义增广随机梯度算法(f i l t e r e d h i e r a r-c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n g e n e r a l i z e d e x t e n d e d s t o-c h a s t i c g r a d i e n t a l g o r i t h m,F-HM I-G E S G算法)(t)=(t-1)-T(p,t)r(t)E(p,t),(5 6)E(p,t)=Y(p,t)+(p,t)(t-1)-(IpT(t-1)1(p,t),(5 7)(t)=(t-1)+(p,t)r(t)ET1(p,t),(5 8)E1(p,t)=Y1(p,t)+T1(p,t)(Ip(t-1)-T(t-1)(p,t),(5 9)r(t)=r(t-1)+(p,t)2+(p,t)2,r(0)=1。(6 0)Y(p,t)=y(t)y(t-1)y(t-p+1),(6 1)6 第4期 丁 锋等:滤波辨识(7):类多变量方程误差A RMA系统的滤波递阶广义增广参数辨识Y1(p,t)=y(t),y(t-p+1),(6 2)(p,t)=(t),(t-p+1),(6 3)1(p,t)=(t)(t-1)(t-p+1),(6 4)(p,t)=(t)(t-1)(t-p+1),(6 5)1(p,t)=(t),(t-p+1)T,(6 6)(t)=yf(t),y(t),(6 7)(t)=Tuf(t),Tv(t)T,(6 8)yf(t)=yf(t-1),yf(t-n),(6 9)uf(t)=uTf(t-1),uTf(t-n)T,(7 0)v(t)=vT(t-1),vT(t-nn)T,(7 1)y(t)=y(t-1),y(t-n),(7 2)u(t)=u(t-1),u(t-n),(7 3)yf(t)=y(t)+y(t)(t),(7 4)uf(t)=u(t)+u(t)(t),(7 5)v(t)=y(t)+(t)(t)-T(t)(t),(7 6)(t)=T(t),T(t)T,(7 7)T(t)=Q(t),N(t)。(7 8)从F-HM I-G E S G辨识算法,可以得到一些特殊的滤波递阶多新息随机梯度辨识算法。1)当n=0和nn=0时,F-HM I-G E S G辨识算法(5 6)(7 8)退化为类多变量方程误差(M-E E-l i k e)系统的递阶多新息随机梯度算法(h i e r a r c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n s t o c h a s t i c g r a d i e n t a l g o r i t h m,HM I S G算法)7。2)当n=0时,F-HM I-G E S G辨 识 算 法(5 6)(7 8)退化为类多变量方程误差滑动平均(M-E EMA-l i k e)系统的递阶多新息增广随机梯度算法(h i e r a r c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n e x t e n d e d s t o c h a s t i c g r a d i e n t a l g o r i t h m,HM I-E S G算法)7。3)当nn=0时,F-HM I-G E S G辨 识 算 法(5 6)(7 8)退化为类多变量方程误差自回归(M-E E A R-l i k e)系统的滤波递阶多新息广义随机梯度算法(f i l t e r e d h i e r a r c h i c a l m u l t i-i n n o v a t i o n g e n e r a l-i z e d s t o c h a s t i c g r a d i e n t a l g o r i t h m,F-HM I-G S G算法)。4)可以写出类多变量方程误差自回归滑动平均(M-E E A RMA-l i k e)系统的加权滤波递阶多新息广义增广随机梯度算法(W-F-HM I-G E S G算法)或滤波加权递阶多新息广义增广随机梯度算法(F-W-HM I-G E S G算法)、遗忘因子滤波递阶多新息广义增广随机梯度算法(F F-F-HM I-G E S G算法)或滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度算法(F-F F-HM I-G E S G算法)、加权遗忘因子滤波递阶多新息广义增广随机梯度算法(W-F F-F-HM I-G E S G算法)或滤波加权遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度算法(F-W-F F-HM I-G E S G算法)。例如,为提高参数估计精度和收敛速率,可在F-HM I-G E S G算法(5 6)(7 8)中引入遗忘因子,即将式(6 0)修改为r(t)=r(t-1)+m a x(p,t)2,(p,t)2,r(0)=1,(7 9)或r(t)=r(t-1)+(p,t)2+(p,t)2,r(0)=1,(8 0)就得到滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度算法(f i l t e r e d f o r g e t t i n g f a