求数列通项公式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,求数列的,通项公式,1,学习目标,在了解数列概念的基础上，掌握几种常见递推数列通项公式的求解方法,理解求通项公式的原理,体会各种方法之间的异同，感受事物与事物之间的相互联系,2,例,1,、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数。,已知数列的前几项，通常先将各项分解成几部分（如符号、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数的关系，写出通项。,一、观察法,3,1,、写出下列数列的一个通项公式,:,(1),9,99,999,9999,解：,a,n,=10,n,1,(2)1,11,111,1111,分析：注意观察各项与它的序号的关系,有,10,1,，,10,2,1,，,10,3,1,，,10,4,1,解：,a,n,=(10,n,1),这是特殊到一般的思想，也是数学上重要的思想方法，但欠严谨！,分析,:,注意与熟悉数列,9,99,999,9999,联系,练习：,4,注意,：（,1,）这种做法适用于所有数列；,（,2,）,用这种方法求通项需检验,a,1,是否满足,a,n,.,二、公式法,（利用,a,n,与,S,n,的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）,5,练习：,1.,a,n,的前项和,S,n,=2,n,2,1,，求通项,a,n,二、公式法,（利用,a,n,与,S,n,的关系 或利用等差、等比数列的通项公式）,a,n,=,S,1,(,n,=1),S,n,S,n,1,(,n,2),解：当,n,2,时，,a,n,=,S,n,S,n,1,=(2,n,2,1),2(,n,1),2,1,=4,n,2,不要遗漏,n,=1,的情形哦！,当,n,=1,时,a,1,=1,不满足上式,因此,a,n,=,1,(,n,=1),4,n,2(,n,2,),6,7,3.,已知,a,n,中，,a,1,+2,a,2,+3,a,3,+,+,na,n,=3,n,+1,求通项,a,n,解,:,a,1,+2,a,2,+3,a,3,+,na,n,=3,n,+1,(,n,1),注意,n,的范围,a,1,+2,a,2,+3,a,3,+(,n,1),a,n,1,=3,n,（,n,2,）,na,n,=3,n,+1,3,n,=23,n,2,3,n,n,a,n,=,而,n,=1,时,a,1,=9,（,n,2,）,两式相减得：,a,n,=,9 (,n,=1),2,3,n,n,（,n,2,）,8,例,3.,已知,a,n,中,a,n,+1,=,a,n,+,n,(,n,N*),a,1,=1,求通项,a,n,解,:,由,a,n,+1,=,a,n,+n,(,n,N*),得,a,2,a,1,=1,a,3,a,2,=2,a,4,a,3,=3,a,n,a,n,1,=,n,1,a,n,=(,a,n,a,n,1,)+(,a,n,1,a,n,2,)+,+(,a,2,a,1,)+,a,1,=(,n,1)+(,n,2),+,+2+1+1,三、累加法,(,递推公式,形如,a,n,+1,=,a,n,+,f,(,n,),型,的数列,),n,个等式,相加得,a,1,=1,a,n,+1,a,n,=n,(,n,N*),（,1,）注意讨,论首项,;,(2),适用于,a,n,+1,=,a,n,+,f,(,n,),型递推公式,9,求法：累加法,练习：,10,四、累乘法,(,形如,a,n,+1,=,f,(,n,),a,n,型,),例,4.,已知,a,n,是首项为,1,的正项数列,且,(,n,+1),a,n,+1,2,+,a,n,+1,a,n,na,n,2,=0,求,a,n,的通项公式,解,:(,n,+1),a,n,+1,2,+,a,n,+1,a,n,na,n,2,=0,(,a,n,+1,+,a,n,)(,n,+1),a,n,+1,na,n,=0,a,n,+1,+,a,n,0,(,n,1),a,n,=,.,注意：累乘法与累加法有些相似，但它是,n,个等式相乘所得,(,n,+1),a,n,+1,=,na,n,11,练习,1,：,类型四、,累乘法,形如 的递推式,12,四、累乘法,适用于,a,n+1,=a,n,f(n),型的递推公式,练习,2,13,五、迭代法,例,5.,已知,a,n,中,a,n,=3,n,1,+,a,n,1,(,n,2),a,1,=1,求通项,a,n,.,解,:,a,n,=3,n,1,+,a,n,1,(,n,2),a,n,=3,n,1,+,a,n,1,=3,n,1,+3,n,2,+,a,n,2,=3,n,1,+3,n,2,+3,n,3,+,a,n,3,=3,n,1,+3,n,2,+3,n,3,+,+3+,a,1,=3,n,1,+3,n,2,+3,n,3,+,+3+,1,=,3,n,1,2,特点,逐项代换,(,递推公式,形如,a,n,+1,=,a,n,+,f,(,n,),型,的数列,),14,六待定系数法（构造法）,例,6,：,解：由题意可知：,a,n,+1,+1=2(,a,n,+1),所以数列,a,n,+,1,是以,a,1,+1=2,为首项，,2,为公比,的等比数列,.,所以,a,n,+1=2,n,即,a,n,=2,n,-1,15,反思：待定系数法如何确定,x,？,待定系数法：,令,a,n+1,+x=p(a,n,+x),即,a,n+1,=pa,n,+px-x,根据已知,x=,所以数列,是等比数列,.,16,类型七、,相除法,形如 的递推式,例,8,：,17,2024/12/13 周五,18,【,变式迁移,】,已知数列,a,n,中，,a,1,5,且,a,n,2,a,n,1,2,n,1,（,n,2,且,n,N,*,）,.,（,1,）求证数列为等差数列；,（,2,）求数列,a,n,的通项公式,.,解,：,（,1,）方法,1,：（构造法）,因为,a,1,5,且,a,n,2,a,n,1,2,n,1,，,所以当,n,2,时，,a,n,1,2,（,a,n,1,1,）,2,n,，,所以,，,所以,，,19,所以是以为首项，以,1,为公差的等差数列,.,方法,2,：（代入法）,因为,a,1,5,n,2,时，,所以，,所以是以为首项，以,1,为公差的等差数列,.,（,2,）由（,1,）知,所以,a,n,（,n,1,）,2,n,1.,20,21,22,练习,.,已知数列,a,n,中,a,1,=2,，,a,n,+1,=4,a,n,+,求数列,a,n,的通项公式。,反思,23,例,9,：,八取倒法,形如 的递推式,24,练习,25,形如 的递推式,例,10,：,八取倒法,26,27,28,29,30,31,求数列的通项公式,类型,方法,1,、已知前几项,观察法,2,、已知前,n,项和,S,n,前,n,项和法,3,、形如 的递推式,累加法,4,、形如 的递推式,累乘法,5,、形如 的递推式,待定系数法,6,、形如 的递推式,取倒法,7,、形如 的递推式,相除法,构造辅助数列,32,1,：,作业,33,2,：,34,2024/12/13 周五,35,