指数函数性质与题型.doc

指数函数

1．根式：
(1) 定义：若，则称为的次方根
① 当为奇数时，次方根记作__________；
② 当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作________(a>0).
(2) 性质：
① ；
② 当为奇数时，；
③ 当为偶数时，_______＝
2．指数：
(1) 规定：
① a0＝ (a≠0)；
② a-p＝ ；
③ .
(2) 运算性质：
① (a>0, r、Q)
② (a>0, r、Q)
③ (a>0, r、Q)
注：上述性质对r、R均适用.
3．指数函数：
① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数.
② 函数图像：
1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当时，图象向 无限接近轴，当时，图象向 无限接近x轴)；3)函数的图象关于 对称.
③ 函数值的变化特征：

①
②
③
①
②
③

典型例题

例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.

解：（1）原式=.÷［a·］= =a.
∵a=，∴原式=3.
（2）方法一 化去负指数后解.
∵a=∴a+b=
方法二 利用运算性质解.

∵a=∴a+b=

变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）

解：（1）原式=
（2）原式=-
例2. 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 （ ）
A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)＞f(cx) D.大小关系随x的不同而不同

解：A
变式训练2：已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个  B.2个 C.3个 D.4个

解：B
例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：
（1） f(x)=3;（2）g(x)=-(.

解：（1）依题意x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥30=1,
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，
f（x）=3在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.
（2）由g(x)=-(
∴函数的定义域为R，令t=(x (t＞0),∴g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2+9≤9,等号成立的条件是t=2,
即g(x)≤9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)2+9 (t＞0),而t=(是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，
由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.
变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.

解：（1）函数的定义域为R.
令u=6+x-2x2,则y=(.
∵二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,
在区间［，+∞）上，u=6+x-2x2是减函数，
又函数y=(u是减函数，
∴函数y=(在［，+∞）上是增函数.
故y=(单调递增区间为［，+∞）.
（2）令u=x2-x-6,则y=2u,
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,
在区间［，+∞）上u=x2-x-6是增函数.
又函数y=2u为增函数，
∴函数y=2在区间［，+∞）上是增函数.
故函数y=2的单调递增区间是［，+∞）.
例4．设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

（1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴
∴（a-=0对一切x均成立，
∴a-=0，而a＞0,∴a=1.
（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2,
则f(x1)-f(x2)= +--
= (
∵x1＜x2,∴有
∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴＞1,
-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
故f(x)在（0,+∞）上是增函数.
变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=.
（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；
（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.

（1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-
由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有f（x）=
(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=
设0＜x1＜x2＜1,
则f(x1)-f(x2)=
∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),
故f(x)在（0，1）上单调递减.

小结归纳

1． ＝a，ab＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.
2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.
4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的
函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.