函数y=ax+b+√c2-d2x2最值的几种求法.doc

函数y=ax＋b+最值的几种求法

侯妹粜
（武汉市京汉学校，湖北 430012）

在求函数最值的文章中，绝大多数是针对具体的函数而言，对同一类函数的一般形式的探讨较少，基于这种情况，本文谈谈函数y=ax＋b+（其中a、c、d为正实数）最值的几种求法。
求函数y=ax＋b+（其中a、c、d为正数）的最值.
解法一(用判别式求解)：
由 y=ax＋b+，得
= y －ax－b，两边平方，整理，得
（a2＋d2）x2－2a（y－b）x＋（y－b）2－c2 = 0
因为关于X的方程有实数根，所以
△= 4a2（y－b）2－4（a2＋d2）〔（y－b）2－c2〕≥ 0，
d2（y－b）2 ≤（a2＋d2）c2
即 ≤ y ≤ ①
由题意知，－，a ＞ 0.
所以 y=ax＋b+≥ax＋b≥a·(－)＋b= ②
由 ①, ②,得
ymin=，ymax=.
注:用这种方法求解，如果忽略了自变量的取值范围,就容易得出错误的答案ymin=.

解法二(用三角函数求解)
设 u=dx，v=，则x=，原函数化为
y=u＋v＋b且u2＋v2=c2（0≤v≤c） ③
再令 u=c,v=c sin,由题意知∈[0,π],则
y=+ c sin＋b
=sin()＋b (其中为锐角且=arctan)
则 ∈[arctan,π+ arctan]
当sin()=1时,y取得最大值,即
ymax=＋b=
∵sinx在区间[π/2,π+ arctan]上是减函数
∴ymin=sin(π+ arctan)＋b
=·[－sin(arctan)]＋b
=·[－]＋b
=·[－]＋b
=·(－)＋b
v

=.

解法三(构造平面向量求解):
u
由③知y=u＋v＋b且u2＋v2=c2（0≤v≤c）
令m=（，1），n=（u，v），则有
y=mn＋b=∣m∣∣n∣＋b
图1
如图1，当n= OD 时，m、n共线，此时y取得最大值.
ymax =·c＋b=
当n= OB 时，此时y取得最小值.
ymin=·c·COS∠BOD＋b
=·c·(-COS∠AOC)＋b
v

=·c·(-·)＋b
l
E
= .

G
-b

B
解法四(构造截距求解):
u
F
A
O
由③知u2＋v2=c2（0≤v≤c）, y=u＋v＋b.
点（u，v）既在圆弧u2＋v2=c2（0≤v≤c）上，
又在直线l:v=-u＋y－b上.
由图2知,直线V=-u＋y－b过点B(－c,0)时截距y－b最小 图2
即 ymin=(－c)＋b=
当直线与圆弧相切时(设切点为E) 截距y－b最大
∵ OE=c, tan=tan=

∴ sec2=1＋tan2= (为锐角)
cos==
∴ ymax =b＋=.

解法五（构造点到直线的距离求解）
记d（Q，l）为圆弧u2＋v2=c2（0≤v≤c）上任一点Q到直线
l：u＋v＋b=0的有向距离
由 d（Q，l）==（u＋v＋b），得
y=u＋v＋b=· d（Q，l）
由图2知，点B到直线l的有向距离最小，点E到直线l的有向距离最大.
∵ cos==（由解法四知）
∴ OG=－
∴ ymax=·〔c－（－）〕=

∵ cos=cos（90°－）=sin=
∴ =
∴ OF = －
∴ ymin=·〔－－（－）〕=.

参考文献：
佘军仁，陈巧红.用构造法求根式函数最值

注：高一、高二内容
作者简介：侯妹粜（1966----），女,武汉市民族中学高级教师，硕士.