函数y=ax+b+√c2-d2x2最值的几种求法.doc

函数y=axb+最值的几种求法侯妹粜（武汉市京汉学校，湖北 430012）在求函数最值的文章中，绝大多数是针对具体的函数而言，对同一类函数的一般形式的探讨较少，基于这种情况，本文谈谈函数y=axb+（其中a、c、d为正实数）最值的几种求法。求函数y=axb+（其中a、c、d为正数）的最值.解法一(用判别式求解)：由 y=axb+，得 = y axb，两边平方，整理，得（a2d2）x22a（yb）x（yb）2c2 = 0因为关于X的方程有实数根，所以= 4a2（yb）24（a2d2）（yb）2c2 0， d2（yb）2 （a2d2）c2即 y 由题意知，a 0.所以 y=axb+axba()b= 由 , ,得ymin=，ymax=.注:用这种方法求解，如果忽略了自变量的取值范围,就容易得出错误的答案ymin=.解法二(用三角函数求解)设 u=dx，v=，则x=，原函数化为y=uvb且u2v2=c2（0vc） 再令 u=c,v=c sin,由题意知0,则y=+ c sinb=sin()b (其中为锐角且=arctan)则 arctan,+ arctan当sin()=1时,y取得最大值,即ymax=b=sinx在区间/2,+ arctan上是减函数ymin=sin(+ arctan)b =sin(arctan)b =b=b =()bv =.解法三(构造平面向量求解):u由知y=uvb且u2v2=c2（0vc）令m=（，1），n=（u，v），则有y=mnb=mnb 图1如图1，当n= OD 时，m、n共线，此时y取得最大值.ymax =cb=当n= OB 时，此时y取得最小值.ymin=cCOSBODb=c(-COSAOC)bv=c(-)blE= .G-bB解法四(构造截距求解):uFAO由知u2v2=c2（0vc）, y=uvb. 点（u，v）既在圆弧u2v2=c2（0vc）上，又在直线l:v=-uyb上. 由图2知,直线V=-uyb过点B(c,0)时截距yb最小 图2即 ymin=(c)b= 当直线与圆弧相切时(设切点为E) 截距yb最大 OE=c, tan=tan= sec2=1tan2= (为锐角) cos= ymax =b=.解法五（构造点到直线的距离求解）记d（Q，l）为圆弧u2v2=c2（0vc）上任一点Q到直线l：uvb=0的有向距离由 d（Q，l）=（uvb），得 y=uvb= d（Q，l）由图2知，点B到直线l的有向距离最小，点E到直线l的有向距离最大. cos=（由解法四知） OG= ymax=c（）= cos=cos（90）=sin= = OF = ymin=（）=.参考文献：佘军仁，陈巧红.用构造法求根式函数最值注：高一、高二内容作者简介：侯妹粜（1966-），女,武汉市民族中学高级教师，硕士.