【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-课后作业(三十九)直接证明与间接证明-文.doc

课后作业(三十九) 直接证明与间接证明

一、 选择题
1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　)
A．a，b，c中至少有两个偶数
B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数
D．a，b，c都是偶数
2．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
3．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是(　　)
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若mα，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
5．已知函数f(x)＝()x，a，b是正实数，A＝f()，B＝f()，C＝f()，则A、B、C的大小关系为(　　)
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
二、填空题
6．下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．
7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：
①当x＞0时，2x＋的最小值为2；
②若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且其一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的离心率为2.
③在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆半径r＝.
类比到空间，若三棱锥S—ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S—ABC的外接球的半径R＝.
其中错误命题的序号为________．
8．凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有≤f()，已知函数y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值为________．
三、解答题
9．(1)设x是正实数，
求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明＞c.
11．(2013·珠海模拟)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若＋＝，试问A、B、C是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．

解析及答案
一、 选择题
1．【解析】　“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”．
【答案】　B
2．【解析】　a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】　D
3．【解析】　∵P2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，
Q2＝2a＋7＋2＝2a＋7＋2，
∴P2＜Q2，∴P＜Q.
【答案】　C
4．【解析】　对于平面α和共面直线m、n.
设m，n确定的平面为β，
对于C，若mα，则m＝α∩β，
从而n∥α可得m∥n，因此C正确．
【答案】　C
5．【解析】　∵≥≥，又f(x)＝()x在R上是减函数，∴f()≤f()≤f()，即A≤B≤C.
【答案】　A
二、填空题
6．【解析】　要使＋≥2，只要＞0且＞0，
所以a，b不为0且同号即可，故有3个．
【答案】　3
7．【解析】　对于①，2x＋取得最小值为2的条件是x＝0，这与x＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．
【答案】　①
8．【解析】　∵f(x)＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，
且A、B、C∈(0，π)，
∴≤f()＝f()，
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝，
所以sin A＋sin B＋sin C的最大值为.
【答案】　
三、解答题
9．【证明】　(1)x是正实数，由基本不等式知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2，
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．
由(1)知，当x＞0时，不等式成立．
当x≤0时，8x3≤0，
又(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0，
此时不等式仍然成立．
10．【证明】　(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根．即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设<c，又>0，
由0<x<c时，f(x)>0，
知f()>0与f()＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
11．【解】　A、B、C成等差数列，下面用综合法给出证明：
∵＋＝，∴＋＝3，
∴＋＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
∴b2＝a2＋c2－ac.
在△ABC中，由余弦定理，得
cos B＝＝＝，
∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.
∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．
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