资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的一个根是x＝1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y＝（c≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．帅帅收集了南街米粉店今年6月1日至6月5日每天的用水量(单位：吨)，整理并绘制成如下折线统计图．下列结论正确的是( )
A．极差是6 B．众数是7 C．中位数是5 D．方差是8
4．如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知反比例函数y=﹣，下列结论中不正确的是( )
A．图象必经过点(﹣3，2) B．图象位于第二、四象限
C．若x＜﹣2，则0＜y＜3 D．在每一个象限内，y随x值的增大而减小
6．对于二次函数的图象，下列结论错误的是( )
A．顶点为原点 B．开口向上 C．除顶点外图象都在轴上方 D．当时，有最大值
7．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．圆
8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
10．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若a、b、c、d是成比例线段，其中a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，则线段d的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．用配方法解方程x2-4x+3＝0时，原方程应变形为（ ）
A．(x+1)2＝1 B．(x-1)2＝1 C．(x+2)2＝1 D．(x-2)2＝1
二、填空题（每题4分，共24分）
13．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是1．其中正确结论的个数是______.
14．△ABC是等边三角形，点O是三条高的交点．若△ABC以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC旋转的最小角度是____________．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在格点上，则_____.
16．一个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为9，则该圆锥的侧面积为__________．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝_____．
18．已知是关于的方程的一个根，则______.
三、解答题（共78分）
19．（8分）光明中学以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨举办首届《诗词大会》，九年级2班的马小梅晋级总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选择一道题目.
第一环节：横扫千军、你说我猜、初级飞花令，（分别用）表示；
第二环节：出口成诗、飞花令、超级飞花令、诗词接龙（分别用表示）.
（1）请用画树状图或列表的方法表示马小梅参加总决赛抽取题目的所有可能结果；
（2）求马小梅参加总决赛抽取题目都是飞花令题目（初级飞花令、飞花令、超级飞花令）的概率.
20．（8分）某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A．跆拳道，B．声乐，C．足球，D．古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查．并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有 人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演．请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率．
21．（8分）对于平面直角坐标系中的点和半径为1的，定义如下：
①点的“派生点”为；
②若上存在两个点，使得，则称点为的“伴侣点”．
应用：已知点
（1）点的派生点坐标为________；在点中，的“伴侣点”是________；
（2）过点作直线交轴正半轴于点，使，若直线上的点是的“伴侣点”，求的取值范围；
（3）点的派生点在直线，求点与上任意一点距离的最小值．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点.
（1）求一次函数的表达式及点的坐标；
（2）点是第四象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标．
23．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
24．（10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
售价x（元/千克）
…
50
60
70
80
…
销售量y（千克）
…
100
90
80
70
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？
25．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，
（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点H.
（1）求抛物线的函数表达式
（2）直线与y轴交于点E，与抛物线交于点P,Q（点P在y轴左侧，点Q 在y轴右侧），连接CP，CQ，若的面积为，求点P，Q的坐标.
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得1+2﹣m＝0，然后解关于m的一次方程即可．
【详解】解：把x＝1代入x2+2x﹣m＝0得1+2﹣m＝0，解得m＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次的代入求参数,关键在于掌握基本运算方法.
2、D
【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的左侧可知b＞0，再由函数图象交y轴的负半轴可知c＜0，然后根据一次函数的性质和反比例函数的性质即可得出正确答案．
【详解】∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的负半轴
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴反比例函数y＝的图象必在二、四象限；
一次函数y＝ax﹣2b一定经过一三四象限，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查二次函数与反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数各系数与图像的关系.
3、D
【分析】根据极差、众数、中位数及方差的定义，依次计算各选项即可作出判断．
【详解】解：由图可知，6月1日至6月5日每天的用水量是：5，7，11，3，1．
A．极差，结论错误，故A不符合题意；
B．众数为5，7，11，3，1，结论错误，故B不符合题意；
C．这5个数按从小到大的顺序排列为：3，5，7，1，11，中位数为7，结论错误，故C不符合题意；
D．平均数是，方差．结论正确，故D符合题意．
故选D．
【点睛】
本题考查了折线统计图，重点考查了极差、众数、中位数及方差的定义，根据图表准确获取信息是解题的关键．
4、B
【分析】过点C作CD⊥AB，利用间接法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出AB、BC的长度，然后求出CD的长度，即可得到∠B的度数，然后得到答案.
【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，
∴，
∵，，
又∵,
∴，
在Rt△BCD中，，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，勾股定理与网格问题，解题的关键是作出辅助线正确构造直角三角形，利用三角函数值进行求解.
5、D
【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、∵（﹣3）×2=﹣6，∴图象必经过点（﹣3，2），故本选项正确；
B、∵k=﹣6＜0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故本选项正确；
C、∵x=-2时，y=3且y随x的增大而而增大，∴x＜﹣2时，0＜y＜3，故本选项正确；
D、函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，在解答此类题目时要注意其增减性限制在每一象限内，不要一概而论．
6、D
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可.
【详解】根据二次函数的性质，可得：
二次函数顶点坐标为（0，0），开口向上，故除顶点外图象都在x轴上方，
故A、B、C正确；当x=0时，y有最小值为0，故D错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标，开口方向，最值与系数之间的关系是解题的关键.
7、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、圆是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
8、C
【解析】试题分析：连结CD，可得CD为直径，在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，根据勾股定理求得OD=4
所以tan∠CDO=，由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO，则tan∠OBC=，故答案选C．
考点：圆周角定理；锐角三角函数的定义．
9、A
【解析】试题解析：
∵点C是 的中点，
故选A.
点睛：垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧.
10、A
【解析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】∵是关于x的一元二次方程，
∴，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
11、C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得：ad=cb，
代入a=5cm，b=2.5cm，c=10cm，
解得：d=5.
故线段d的长为5cm.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查成比例线段，解题突破口是根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入计算.
12、D
【分析】根据配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可．
【详解】移项，得 x2-4x=-3，
配方，得 x2-2x+4=-3+4，
即（x-2）2=1 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】由，和坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【详解】解：①∵，和坐标都满足函数，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故答案是：1
【点睛】
理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.
14、120°．
【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．
考点：旋转对称图形．
15、2
【分析】如图，取格点E，连接EC．利用勾股定理的逆定理证明∠AEC=90°即可解决问题．
【详解】解：如图，取格点E，连接EC．
易知AE=，
∴AC2=AE2+EC2，
∴∠AEC=90°，
∴tan∠BAC=.
【点睛】
本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16、
【分析】先求出底面圆的周长，然后根据扇形的面积公式：即可求出该圆锥的侧面积．
【详解】解：底面圆的周长为，即圆锥的侧面展开后的弧长为，
∵母线长为9，
∴圆锥的侧面展开后的半径为9，
∴圆锥的侧面积
故答案为：
【点睛】
此题考查的是求圆锥的侧面积，掌握扇形的面积公式：是解决此题的关键．
17、 ．
【解析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【详解】解：由∠C=90°，若sinA=，
得cosB=sinA=，
故答案为．
【点睛】
本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
18、9
【分析】根据一元二次方程根的定义得，整体代入计算即可.
【详解】∵是关于的方程的一个根，
∴，即，
∴
故答案为：．
【点睛】
考查了一元二次方程的解的定义以及整体思想的运用．
三、解答题（共78分）
19、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据题意画树状图写出所有可能的结果即可；
（2）找到抽取题目都是飞花令题目的情况数，再除以总的情况数即可得出概率．
【详解】解：（1）画树状图如下
共有12种可能的结果：T1S1，T1S2，T1S3，T1S1，T2S1，T2S2，T2S3，T2S1，T3S1，T3S2，T3S3，T3S1．
（2）马小梅参加总决赛抽取题目都是飞花令题目的有T3S2，T3S3两种情况，由（1）知总共有12种情况，所以所求概率为．
【点睛】
本题考查概率的计算，熟练掌握树状图法或列表法是解题的关键．
20、（1）200、144；（2）补全图形见解析；（3）被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【分析】（1）由A活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B活动人数所占比例即可得；
（2）用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）本次调查的学生共有30÷15%＝200（人），
扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是360°× ＝144°，
故答案为200、144；
（2）C活动人数为200﹣（30+80+20）＝70（人），
补全图形如下：
（3）画树状图为：
或列表如下：
男
女1
女2
女3
男
﹣﹣﹣
（女，男）
（女，男）
（女，男）
女1
（男，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
（女，女）
女2
（男，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
（女，女）
女3
（男，女）
（女，女）
（女，女）
﹣﹣﹣
∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，
∴被选中的2人恰好是1男1女的概率．
【点睛】
本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
21、（1）（1,0），E、D、；（2）；（3）
【分析】（1）根据定义即可得到点的坐标，过点E作的切线EM，连接OM，利用三角函数求出∠MEO=30°，即可得到点E是的“伴侣点”；根据点F、D、的坐标得到线段长度与线段OE比较即可判定是否是的“伴侣点”；
（2）根据题意求出，∠OGF=60°，由点是的“伴侣点”，过点P作的切线PA、PB，连接OP，OB，证明△OPG是等边三角形，得到点P应在线段PG上，过点P作PH⊥x轴于H，求出点P的横坐标是-，由此即可得到点P的横坐标m的取值范围；
（3）设点(x，-2x+6)，P（m，n），根据派生点的定义得到3m+n=6，由此得到点P在直线y=-3x+6上，设直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作OH⊥AB于H，交于点C，求出AB的长，再根据面积公式求出OH即可得到答案.
【详解】（1）∵，
∴点的派生点坐标为（1,0），
∵E(0，-2)，
∴OE=2，
过点E作的切线EM，连接OM，
∵OM=1，OE=2，∠OME=90°，
∴sin∠MEO=,
∴∠MEO=30°，
而在的左侧也有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴点E是的“伴侣点”；
∵，
∴OF=>OE，
∴点F不可能是的“伴侣点”；
∵，（1,0），，，
∴点D、是的“伴侣点”，
∴的“伴侣点”有：E、D、，
故答案为：（1,0），E、D、；
（2）如图，直线l交y轴于点G，
∵，
∴，∠OGF=60°
∵直线上的点是的“伴侣点”，
∴过点P作的切线PA、PB，且∠APB=60°，
连接OP，OB，
∴∠BOP=30°，
∵∠OBP=90°，OB=1，
∴OP=2=OG，
∴△OPG是等边三角形，
∴若点P是的“伴侣点”，则点P应在线段PG上，
过点P作PH⊥x轴于H，
∵∠POH=90°-60°=30°，OP=2，
∴PH=1，
∴OH=，即点P的横坐标是-，
∴当直线上的点是的“伴侣点”时的取值范围是；
（3）设点(x，-2x+6)，P（m，n），
根据题意得：m+n=x，m-n=-2x+6，
∴3m+n=6，
即n=-3m+6，
∴点P坐标为（m，-3m+6），
∴点P在直线y=-3x+6上，
设直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作OH⊥AB于H，交于点C，如图，则A（2,0），B（0,6），
∴,
∴,
∴,
∴,
即点P与上任意一点距离的最小值为.
【点睛】
此题考查圆的性质，切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键.
22、（1）y=-2x，B（2，-4）；（2）或．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入一次函数即可求出一次函数表达式，由一次函数和反比例函数解析式即可求出点B的坐标；
（2）设点，m＞0，表达出PC的长度，进而表达出△POC的面积，列出方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，解得：a=-2，
∴，
代入得：，解得：k=-2，
∴y=-2x，
由，解得：x=2或x=-2，
∴点B（2，-4）；
（2）如图，设点，m＞0
∵PC∥x轴，
∴点C的纵坐标为，则=-2x，解得：x=，
∴PC=，
∴，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及反比例函数与几何问题，解题的关键是熟悉反比例函数图象上点的坐标的特点．
23、（1）y=﹣20x+1600；
（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）超市每天至少销售粽子440盒．
【解析】试题分析：（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
试题解析：（1）由题意得，==；
（2）P===，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得=6000，解得，，∵抛物线P=的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润，又∵x≤58，∴50≤x≤58，∵在中，＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒．
考点：二次函数的应用．
24、（1）y与x的函数关系式为y=-x+150；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；（3）该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为1元．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式;
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【详解】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，解得，
故y与x的函数关系式为y=-x+150；
（2）根据题意得（-x+150）（x-20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：w=（-x+150）（x-20）=-x2+170x-3000=-（x-85）2+1，
∵-1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是1．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为1元．
25、（1）见解析；（2）y=．（0＜x＜6.4）
【分析】（1）可证明△APE和△ACB都是直角三角形，还有一个公共角，从而得出：△AEP∽△ABC；
（2）由勾股定理得出BC，再由相似，求出PE＝x，，即可得出y与x的函数关系式．
【详解】（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠APE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABC；
（2）在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
又∵AP＝x，
即，
∴PE＝x， ，
∴＝．（0＜x＜6.4）
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
26、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用对称轴和A点坐标可得出，再设，代入C点坐标，求出a的值，即可得到抛物线解析式；
（2）求C点和E点坐标可得出CE的长，再联立直线与抛物线解析式，得到，设点P,Q的横坐标分别为，利用根与系数的关系求出，再根据的面积可求出k的值，将k的值代入方程求出，即可得到P、Q的坐标；
（3）先求直线AC解析式，再联立直线PQ与直线AC，求出交点G的坐标，设，,过G作MN∥y轴，过K作KN⊥MN于N，过K'作K'M⊥MN于M，然后证明△MGK'≌△NKG，推出MK'=NG，MG=NK，建立方程求出的坐标，再代入抛物线解析式求出m的值，即可得到K的坐标.
【详解】解：（1）∵抛物线对称轴，点
∴
设抛物线的解析式为
将点代入解析式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为,即
（2）当x=0时，
∴C点坐标为(0,2)，OC=2
直线与y轴交于点E，
当x=0时，
∴点，OE=1
∴
联立和得：
整理得：
设点P,Q的横坐标分别为
则是方程的两个根,
∴
∴
∴的面积
解得（舍）
将k=3代入方程得：
解得：
∴
∴
（3）存在，
设AC直线解析式为，
代入A(4,0)，C(0,2)得
，解得，
∴AC直线解析式为
联立直线PQ与直线AC得
，解得
∴
设，,
如图，过G作MN∥y轴，过K作KN⊥MN于N，过K'作K'M⊥MN于M，
∵∠KGK'=90°，
∴∠MGK'+∠NGK=90°
又∵∠NKG+∠NGK=90°
∴∠MGK'=∠NKG
在△MGK'和△NKG中，
∵∠M=∠N=90°，∠MGK'=∠NKG，GK'=GK
∴△MGK'≌△NKG（AAS）
∴MK'=NG，MG=NK
∴，解得
即K'坐标为(,)
代入得：
解得：
∴K的坐标为或
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，是中考常考的压轴题型，难度较大，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，第（3）题构造全等三角形是解题的关键.
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