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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件A级 课时对点练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
1．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是 ( )
A．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝0
B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
C．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
解析：若p则q的逆否命题为若綈q则綈p，又a＝b＝0实质为a＝0且b＝0，故其否定
为a≠0或b≠0.
答案：D
2．(2010·上海卷)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：x＝2kπ＋⇒tan x＝tan(2kπ＋)＝tan ＝1，
而tan x＝1⇒x＝kπ＋(k∈Z)，
当k＝2n＋1时⇒/ x＝2kπ＋.
答案：A
3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、
否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．
原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命
题为假．
又因为逆命题与否命题同真假，所以否命题为假．故选C.
答案：C
4．(2009·浙江)已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：对于“a＞0且b＞0”，可以推出“a＋b＞0且ab＞0”，反之也是成立的．
答案：C
5．ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是 ( )
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
解析：(排除法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方
程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.
答案：C
二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
6．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为________．
答案：若a≤b，则有2a≤2b－1
7．有三个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题．
其中真命题的个数为________．
解析：(1)真，(2)原命题假，所以逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题
的否命题假．
答案：1
8．“ω＝2”是“函数y＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为π”的______条件(填“充分非必要”、
“必要非充分”、“充要”)．
解析：当ω＝2⇒函数y＝sin(2x＋φ)的最小正周期为π，但函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周
期为π，则ω＝±2，故应填充分非必要条件．
答案：充分非必要
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－
a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0为真命题．
用反证法证明：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，这与题设相矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，
则a＋b＜0为真命题．
因为原命题⇔它的逆否命题，所以证明原命题为真命题即可．
∵a＋b≥0, ∴a≥－b，b≥－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
所以逆否命题为真．
10．已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1和点A(3,0)，B(0,3)，求证抛物线C与线段AB有两个
不同交点的充要条件是3＜m≤.
证明：①必要性：由已知得，线段AB的方程为
y＝－x＋3(0≤x≤3)
由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组(*)
有两个不同的实数解，
消元得：x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)．
设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4则有
解之得3＜m≤.
②充分性：
当3＜m≤时，
x1＝＞＞0，
x2＝≤＝3.
∴方程x2－(m＋1)x＋4＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2≤3，方程组(*)有两
组不同的实数解．因此，抛物线y＝－x2＋mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条
件是3＜m≤.
B级 素能提升练
(时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
1．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：据基本不等式当x＞0时，2x＋≥2＝2，故若对任意x＞0恒有2x＋
≥1，只需2≥1⇒a≥，因此a＝是2x＋≥1的充分但不必要条件．
答案：A
2．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是 ( )
A．p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f(x)＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象不过第二象限
C．p：x＝1，q：x2＝x
D．p：a＞1，q：f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数
解析：由于a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d，而a＋c＞b＋d却不一定推出a＞b，c＞d.故A中
p是q的必要不充分条件．B中，当a＞1，b＞1时，函数f(x)＝ax－b不过第二象限，当
f(x)＝ax－b不过第二象限时，有a＞1，b≥1.故B中p是q的充分不必要条件．C中，因
为x＝1时有x2＝x，但x2＝x时不一定有x＝1，故C中p是q的充分不必要条件．D中
p是q的充要条件．
答案：A
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)
3．(2010·广州模拟)设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，
则实数a的取值范围是________．
解析：p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，
∴∴0≤a≤.
答案：[0，]
4．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析：命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理，
正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂
直，错误；命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直，但l与α内的两条直
线垂直推不出直线l与α垂直，所以直线l与α垂直的必要不充分条件是l与α内两条直
线垂直．
答案：①②
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)
5．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若綈p是綈q的必要不充
分条件，求实数m的取值范围．
解：p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m＞0，
∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p⇒q且q⇒/ p.
∴[－2,10] [1－m,1＋m]．∴∴m≥9.
6．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求
实数m的取值范围．
解：由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：x＜1或x＞5.q：m－1≤x≤m＋1，
∴綈q：x＜m－1或x＞m＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴∴2≤x≤4.
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