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任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
＋
－
＋
－
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

1．角－870°的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　C
解析　由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限．
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B．sin 2
C. D．2 sin 1
答案　C
解析　设圆的半径为r，则sin 1＝，∴r＝，
∴2弧度的圆心角所对弧长为2r＝.
3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝____________.
答案　－8
解析　因为sin θ＝＝－，
所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.
4．函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈(k∈Z)．

题型一　角及其表示
例1　(1)终边在直线y＝x上的角的集合是________．
(2)如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．
答案　(1){α|α＝kπ＋，k∈Z}
(2)第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析　(1)∵在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，
∴终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝＋kπ，k∈Z}．
(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
∴角2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．

题型二　三角函数的概念
例2　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
思维点拨　(1)由于三角函数值与选择终边上的哪个点没有关系，因此知道了终边所在的直线，可在这个直线上任取一点，然后按照三角函数的定义来计算，最后用倍角公式求值．
(2)可以根据各象限内三角函数值的符号判断．
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，
故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而角α为第二或第三象限角．
由<0可知cos α，tan α异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角．
思维升华　(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.
(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．

题型三　弧度制的应用
例3　已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
思维点拨　(1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．
解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则
α＝60°＝，R＝10，l＝×10＝ (cm)，
S弓＝S扇－S△＝××10－×102×sin
＝π－＝50 (cm2)．
(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，
∴S扇＝α·R2＝α·2
＝α·＝·≤.
当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.
思维升华　涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝|α|R2.
　典例：(1)函数y＝ 的定义域为________．
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为________．

思维点拨　(1)求函数定义域可转化为解不等式sin x≥，利用三角函数线可直观清晰地得出角x的范围．
(2)点P转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找P点坐标和三角形边长的关系．
解析　(1)∵sin x≥，作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为
{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－，所以|PB|＝sin(2－)＝－cos 2，
|CB|＝cos(2－)＝sin 2，
所以xP＝2－|CB|＝2－sin 2，yP＝1＋|PB|＝1－cos 2，
所以＝(2－sin 2,1－cos 2)．
答案　(1)[2kπ＋，2kπ＋π] ，k∈Z
(2)(2－sin 2,1－cos 2)
温馨提醒　(1)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置；(2)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系．