数学建模--村庄救火.doc

村庄救火最佳选择方案模型
摘要
本文建立一个村庄失火，隔山的另一村庄该如何做出选择的模型，该模型主要通过比较火势从失火地蔓延至隔山的另一村庄的最短时间与该村庄劳动力构建防火隔离带的时间大小，从而确定该选择放弃村庄还是选择构建防火隔离带。
针对如何求火势蔓延的总时间，我们把蔓延时间分为三个部分，第一部分是火势从失火地蔓延到山脚的时间，这部分时间通过假设火势蔓延速度不变，测量从失火地到山脚的距离即可比较容易求得。第二部分是火势在山坡上蔓延的时间，对于此部分传播我们假设火势先沿上坡蔓延再在坡上蔓延最后沿下坡蔓延，这样比较具有普遍性。所以这一部分我们又将火势的蔓延分为三个小部分，分别求出火势上坡蔓延的时间、在坡上蔓延的时间以及火势下坡蔓延的时间，由于火势上坡蔓延的最高点和到达下坡蔓延的最高点是不定的，因此我们将此两点假设出来，同时我们取一条连续光滑且可微的曲线为其坡上的传播路径，通过泛函分析求得路径方程，再根据王正非提出的林火蔓延速度计算方法分别求到火势在上坡、坡上、下坡时的蔓延速度，从而得到火势经过山坡蔓延的总时间。第三部分是火势经过山坡后继续蔓延至防火隔离带的时间，这部分用第一部分所用的方法也可容易得到。这样我们就得到了所要优化的目标总时间并通过LINGO来求解。
针对求村庄构建防火隔离带所需要的时间，我们设定了防火隔离带的安全标准，根据每个劳动力单位时间内构建防火隔离带的速度以及村庄中能参与构建防火隔离带的劳动力人数，可以容易得到构建安全的防火隔离带所需的时间。
该模型主要引用了王正非的林火蔓延速度计算方法，忽略了风速及地表植被情况对火势蔓延的影响，采用了具有普适性的求火势蔓延到另一村庄的最短时间的方法，最终通过对火势从失火地蔓延至隔山的另一村庄的最短时间与该村庄劳动力构建防火隔离带的时间比较，从而得到村庄救火的最佳选择方案。

关键词： 王正非林火蔓延速度公式 泛函分析 LINGO 普适性

村庄救火最佳选择方案模型

一、问题的提出
某日A村庄失火，火势向四周蔓延，B村庄为与A村庄相隔一座山的另一村庄，火势极有可能经过山后蔓延至B村庄，B村庄村民可以选择放弃村庄，则会损失村庄所有的无法带走的财物，造成巨大经济损失，但能保证村民的人身安全，或者可以选择在村庄周围砍伐树木构建防火隔离带，则能保住村庄的财物不受损失，但可能面临无法在火势蔓延至村庄前构建成功安全的防火隔离带导致村民的生命安全受到威胁的风险。村民们应该选择哪种方案？

二、问题假设
1 A、B村庄间的平地上各处的干湿程度及植被类型及覆盖情况相同.
2 天气状况良好，无风无雨，即假定火在平地上蔓延的速度不变。
3 山体可以近似为规则的圆锥体,山体底部为一个半径为r的圆。

三、符号说明
P：为距A村庄较近的山脚的点；
Q：为距B村庄较近的山脚的点；
s1：A村庄距P点的距离；
s2：B村庄距Q点的距离；
r：山体底面半径；
h：山体高度；
n：B村庄能参与构建防火隔离带的劳动力人数；
S1：每个劳动力单位时间内构建的防火隔离带的面积；
v1：火势在平地上的蔓延速度；
v2：火势在上坡的蔓延速度；
v3：火势在山坡上蔓延的速度；
v4：火势在下坡的蔓延速度；
t1：火势蔓延至P所需时间；
t2：火势从P点蔓延至M点所需时间；
t3：火势从M点蔓延至N点所需时间；
t4：火势从N点蔓延至Q点所需时间；
t5：火势从Q点蔓延至达到安全标准的防火隔离带处所需时间；
T1：构建防火隔离带的时间；
pi：圆周率；
：坡度角；

四、问题分析
两种方案都会有各自的优势及劣势，选择何种方案，主要取决于构建防火隔离带的时间与火势蔓延至B村庄的时间的大小比较，因此若能在火势蔓延至B村庄之前成功地构建出安全的防火隔离带，则选择构建防火隔离带既能保证村民财物损失最小，也能保证村民的人身安全不受威胁，相应的若火势蔓延速度过快，导致村民无法成功构建出安全的防火隔离带，则为了保证村民的人身安全必须选择放弃村庄。
构建防火隔离带的时间与村庄能参与构建防火隔离带的劳动力及每个劳动力参与构建防火隔离带的速度成正比。
而针对火势蔓延的时间，忽略风速与植被覆盖情况的影响，火势在平地蔓延的速度不变，则在平地上火势蔓延至山脚的时间及从另一侧山脚蔓延至B村庄的时间易得。而火势在山坡上的蔓延，可利用王正非提出的林火蔓延速度计算方法来得出火势在山坡上的速度的变化，假定火势传至坡上某点M后，再沿某一路径向山体另一侧传播至N点后，沿坡向下传播，此方法中由于M点与N点的不确定性，则火势在山坡上的蔓延路径具有普遍性，则火势蔓延的最快路径也一定包含在其中，因此此方法可以满足要求。图示见附录一。

五、模型的建立
设防火隔离带的安全标准为S，即在火势蔓延到之前构建的防火隔离带面积达到S，则B村庄是安全的。B村庄能参与构建防火隔离带的劳动力人数为n，而每个劳动力在单位时间能构建的防火隔离带的面积为S1，则构建防火隔离带所需时间为
。
设靠近A村庄一侧的山脚点为P点，靠近B村庄一侧的山脚点为Q点，火势从A村庄蔓延至P点所需时间为t1，火势在上坡蔓延速度v2，火势在下坡蔓延速度v4。以山体在水平面上的中心为坐标原点O，A、B村庄连线为x轴（假定该连线经过O点）建立空间直角坐标系，设M点的坐标为（0，y1，z1），N点的坐标为（0，y2，z2），则火势从P点蔓延至M点所需时间为t2，而从N点蔓延至Q点所需时间为t4，火势蔓延至Q点后沿平地继续蔓延，则蔓延至达到安全标准的防火隔离带所需时间为t5。修正王正非的林火蔓延速度计算方法，忽略风速及地表植被覆盖情况的影响后，可得
火势在平地蔓延速度：v1，
火势在上坡蔓延速度：
，
火势在下坡蔓延速度：
，
火势从A村庄蔓延至P点所需时间：
，
火势从P点蔓延至M点所需时间：
，
火势从N点蔓延至Q点所需时间：
，
火势从Q点蔓延至达到安全标准的防火隔离带处所需时间：
。
下面计算从M点至N点的火势蔓延速度及所需时间：
假设在MN阶段，火势蔓延速度不变。设在弧MN上任一点满足
，
则M点至N点的弧长为：
。
取弧MN上任一点做该弧的切线，即为该点的速度方向，与平面相交形成的夹角即令为坡度角，则火势在该弧上蔓延的速度为
，
则火势在弧MN上蔓延的时间为，整理得
。
于是，目标函数，经整理得，
其中限制条件为：

五、模型求解
略

六、模型的评价与推广
该模型的最大优点是在火势在山坡上蔓延的处理，火势在山坡上的蔓延轨迹无法确定，只能运用最普通的方法取点，这样解出最小时间值从而确定点的具体取值。所得的结论与客观事实能很好的吻合，从而进一步说明模型是合理的。由于火势在坡上的传播路径是不定的，所以我们只能假设在这过程中的传播速度是不变，可实际中速度肯定会变的，这是此模型的不足。

七、参考文献
[1] 毛贤敏，风和地形对林火蔓延速度的作用，应用气象学报，第4卷，第1期。

八、附录
简易模型图示
M
N
x
y
z
A
B
s1
s2
h
r
P
Q