【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-课后作业(二十七)平面向量的数量积-文.doc

课后作业(二十七)　平面向量的数量积

一、选择题

1．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A．25 B．24 C．－25 D．－24
2．(2013·广州模拟)若向量a, b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
3．(2012·重庆高考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)
A. B. C．2 D．10
4．已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b与向量c的夹角θ的值为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．(2013·广州综合测试)已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3，4)，b＝(0，2)，则|a×b|的值为(　　)
A．－8 B．－6 C．6 D．8
二、填空题
6．(2012·湖北高考)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
7．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a方向上的投影为________．
8．(2013·湛江模拟)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．
三、解答题
9．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
11．(2013·揭阳模拟)已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sin θ，cos θ)．
(1)若||＝||，求的值；
(2)若(＋2)·＝1，其中O为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．
解析及答案
一、选择题

1．
【解析】　∵||2＋||2＝||2，
∴⊥，即·＝0，
∴·＋·＋·＝(＋)
＝·＝－2＝－25.
【答案】　C
2．
【解析】　∵a⊥c，∴a·c＝0，
又∵a∥b，则设b＝λa，
∴c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.
【答案】　D
3．
【解析】　∵a⊥b，
∴a·b＝0，∴x＝2，∴a＝(2，1)，∴a2＝5，b2＝5，
|a＋b|＝＝＝＝.
【答案】　B
4．
【解析】　∵(a＋b)·c＝a·c＋b·c
＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－，
|a＋b|＝＝
＝＝，
∴cos θ＝＝＝－，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.
【答案】　D
5．
【解析】　因为a＝(－3，4)，b＝(0，2)，所以cos θ＝＝＝，且θ∈[0，π]，则sin θ＝，故|a×b|＝|a||b|sin θ＝5×2×＝6.
【答案】　C
二、填空题
6．
【解析】　(1)∵2a＋b＝(3，1)，
∴|2a＋b|＝＝.
∴与2a＋b同向的单位向量＝(，)．
(2)∵b－3a＝(－2，1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，
(b－3a)·a＝(－2，1)·(1，0)＝－2，
∴cos〈b－3a，a〉＝＝＝－.
【答案】　(1)(，)　(2)－
7．【解析】　(a＋b)·a＝a2＋a·b＝1＋1×2×cos 60°＝2，
则a＋b在a方向上的投影为＝2.
【答案】　2
8．【解析】　由题意知＝(－2，1)，＝(4，3)，
则||＝，||＝5，
·＝－2×4＋1×3＝－5，
∴cos∠AOB＝＝＝－，
∴sin∠AOB＝，
∴S△OAB＝||||sin∠AOB
＝××5×＝5.
【答案】　5
三、解答题
9．【解】　∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，
∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－，
当a与 a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1，2)，
∴∴λ＝0，
即当λ＝0时，a与a＋λb共线．
综上可知，λ＞－且λ≠0.
10．
【解】　(1)由题设知＝(3，5)，＝(－1，1)，则
＋＝(2，6)，－＝(4，4)．
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
从而5t＝－11，所以t＝－.
11．
【解】　∵A(1，0)，B(0，1)，C(2sin θ，cos θ)，
∴＝(2sin θ－1，cos θ)，＝(2sin θ，cos θ－1)．
(1)||＝||，
∴＝，
化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝，
∴＝＝＝－5.
(2)＝(1，0)，＝(0，1)，＝(2sin θ，cos θ)，
∴＋2＝(1，2)，
∵(＋2)·＝1，
∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴(sin θ＋cos θ)2＝，
∴sin θ·cos θ＝－.

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