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万有引力专题复习

[知识点析]
一、万有引力定律的内容和公式
宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，这一规律叫万有引力定律。其数学表达式为：

式中G= 6.67×10-11Nm2/kg2 ,叫万有引力常量。这个定律适用的条件是：质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
万有引力和重力的关系是：重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。 物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可以认为二者大小相等，即
mg0 =G式中g0为地球表面附近的加速度，R0为地球半径。
[例题析思]
[例析1] 两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F。若两个
半径2倍于小铁球的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为：（ ）
A、2F B、4F C、8F D、16F
[解与析]小铁球之间的万有引力F==，小铁球的质量与半径关系是：
，大铁球质量M与r的关系是：
M=。故两大铁球间的万有引力
，由此可得选项D是正确的。
[思考1] 用m表示地球同步卫星的质量，h表示它距地面的高度，R0表示地球半径，g0表示地球表面的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小是：（ ）
A、等于零 B、等于 C、等于 D、以上均不对
[提示] 由万有引力公式知：卫星受的万有引力为，由得，代入上式有：。因此，选项B是正确的。再由=得，把它代入F中得：=，故选项C也是正确。综合上述分析本题应选B、C项为正确的。
二、应用万有引力定律分析天体的运动
1、 1、  基本方法：
把天体的运动近似看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。
①=mg g=(或GM=gR2),要注意g与R的对应关系,如当R是地球半径时,对应的g是地球表面的重力加速度.
②==mω2R=m()2R=m(2πf)2R,应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析.
卫星运行速度v、角速度ω、周期T与轨道半径R的关系：
①由=有v=即v∝,故R越大,运行速度v越小;
②由=mω2R有ω=,即v∝,故R越大,角速度ω越小;
③由=m()2R有T=,即T∝,故R越大,周期T越大.
[例析2] 两颗人造地球卫星，甲的质量是乙的质量的2倍，同样时间内，甲的转数是乙的转数的4倍，则甲受向心力是乙受向心力的 。
[解与析] 甲和乙均为地球人造卫星。所以它们的向心力均由地球对它们的吸引力来提供。由卫星运动规律可得出：
…… ①
…… ②
又因为转数n∝ω,所以①÷②有：
…… ③
又因为Fn=Mω2R，所以由题设条件和③式得出：

解本题需注意的是：不能把卫星的半径看成不变，殊不知。半径是和卫星旋转速度、周期相联系的。V和T一变，R必然要变，变化规律应满足万有引力提供的向心力。
[思考2] 设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比r : R = 。
[提示] 由万有引力定律和牛顿第二运动定律列出：……①
……②
①②两式之比可得出1：9的结论。
2、估算天体质量M，密度。只要测出卫星绕天体作匀速圆周运动的半径R和周期T，再根据得出：
M=

当卫星沿天体表面绕天体运动时，R=R0，则=。
[例析3] 某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运转。若引力恒量G为已知，则计算该行星的密度，唯一需要测出的物理量是：（ ）
A、行星的半径 B、卫星轨道的半径 C、卫星运行的线速度 D、卫星运行的周期。
[解与析]： 由于卫星轨道靠近行星，则R卫=R行，A、B两选项相同。假设行星半径为R，密度为，则：

= ……………………①
令 　……………………②
①式和②式两式相等,欲求,需测线速度和半径,又由于,所以,消去m和R得=。由此可见，欲求该行星的密度，只需测出卫星的运行周期即可。为此，选项D是正确。
[思考3] 一物体在某星球表面时受到的吸引力是在同地球表面所受吸引力的n倍，该星球半径是地球半径的m倍，若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的 几倍。
[提示] 抓住万有引力定律可得出。
3、卫星的环绕速度、角速度、周期与半径R的关系见下表：
表达形式
速度、角速度、周期与半径R的关系

R越大、v越小

R越大，ω越小

R越大，T越大
[例析4] 两个球形行星A和B各有一卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星的表面。
如果两行星质量之比MA/MB=P，两行星半径之比RA/RB=，中Ta/Tb为：（ ）
A、 B、 C、 D、
[解与析]： 根据F万=F向，即，或者。对于行星A和它的卫星a 有：；对于行星B和它的卫星b有：。综合上述可得出。选项Ａ是正确的。
[思考4] 人造地球卫星的轨道半径越大，则（　　）
　 A、速度越小，周期越小 B、速度越小，周期越大
C、速度越大，周期越小 D、速度越大，周期越大
[提示]由Ｆ万＝Ｆ向，即知，r越大，v越小，又因为，所以v越小， r 越大，Ｔ一定越大。确认选项Ｂ是正确的。
[例析5] (95年全国)两颗人造地球卫星Ａ、Ｂ绕地球作圆周运动，周期之比为ＴＡ：ＴＢ＝1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：（ ）
A、rA: rB = 4: 1、vA: vB= 1: 2 B、rA: rB = 4: 1、vA:vB=2:1
C、rA: rB = 1: 4、vA: vB= 1: 2　　 　　 D、rA: rB = 1: 4、vA:vB= 2: 1
[解与析] 地球对卫星的引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，
，由此式可知r3∝T2,则，再由 v=ωr =知V∝，则，可见选项Ｄ是正确的。
[思考5] 甲、乙两颗人造地球卫星，其线速度大小之比为，则这两颗卫星的转动半径之比为 ，转动角速度之比 ，转动周期之比为 ，向心加速度的大小之比为 。
[提示] 应用万有引力定律，线速度和角速度的关系及向心加速公式求解。依题意有
，所以R=GM/v2，故R甲：R乙= v甲2：v乙2=12:=1: 2，由ω=，则；再由得：T甲：T乙=ω乙：ω甲=1：2；再由得：。
三、地球同步卫星、三种宇宙速度
地球同步卫星是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24h,同步卫星轨道平面与地球的赤道平面重合,且必须位于赤道正上方距地面高度h≈3.59×104km处。
三种宇宙速度分别是：第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km/s，是人造地球卫星的最小发射速度；第二宇宙速度（脱离速度）， v2=11.2km/s是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；第三宇宙速度（逃逸速度），v3=16.7km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
人造地球卫星的环绕速度是指卫星绕地球作圆周运动所具备的速度，由
、两式得出，可见，环绕速度与轨道半径平方根成反比，离地越高，环绕速度越小。
人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度，速度越大，发射得越远，发射的最小速度，恰好是在地球表面附近的环绕速度，但人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面上所需要的发射速度就越大。
[例析6](93年全国)同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星：（ ）
A、它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值；
B、它可以在地面上任一点的正上方，但离地心的距离是一定的；
C、它只能在赤道的正上方，但离地心的距离可按需要选择不同值；
D、它只能在赤道的正上方，且离地心的距离是一定的。
[解与析] 非同步的人造地球卫星其轨道平面可与地轴间有任意夹角，但同步卫星的轨道平面一定与地轴垂直。当卫星绕地轴转动的角速度与地球自转的角速度相同时，卫星即相对地面不动，而与地轴垂直的平面有无限多个，由于卫星受地球的引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道平面平行的其它平面上。因此，同步卫星的轨道平面一定与赤道共面，卫星位于赤道的正上方。
设地球自转的角速度为ω，同步卫星离地心的距离为r，由牛顿第二定律有
，则，可见，同步卫星离地心的距离是一定的,且线速度v=ωr也是一定的。由此可见，选项D是正确的。
[思考6] 已知地球的半径为R，自转角速度为ω，地球表面的重力加速度为g，在赤道上空一颗相对地球静止的同步卫星离开地面的高度是 。（用以上三个量表示）
[提示]利用和讨论求解得出的结论。
[例析7] (98年上海)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步轨道3、
图4-24

轨道1、2、相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图4-24
所示。则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以
下说法正确的是：（ ）
A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率；
B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度；
C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度；
D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度。
[解与析] 在卫星绕地球的做匀速圆周运动的问题中，应明确轨道半径越大，速度越小，
周期越长，角速度越小。而要想使卫星从低轨道上升到较高的轨道，则必须提供给卫星更多的动能。高轨道和低轨道上的动能差用于克服引力做功了。因此，我们可以顺利判断出选项A错, 选项B是正确的。
卫星在运行过程中的加速度的值应该用来计算。所以可知D选项正确，在计算加速度时，不能直接应用、、、来计算。
因为P、Q两点既在图上，又在椭圆上，而上面的公式只能应用在圆周运动的问题上。
[思考7] 某一颗人造地球同步卫星距地面的高度为h,设地球半径为R，自转周期为Ｔ，
地面处的重力加速度为g，则该同步卫星的线速度的大小应该为：（ ）
Ａ、 Ｂ、　　Ｃ、 Ｄ、
[提示]Ｔ星＝Ｔ，r星＝h+R,所以；由和联系可得，由此得出选项Ｂ、Ｃ是正确的。
[例析8] （98年全国高考题）宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一
小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为Ｌ。若抛出时的初速增大到２倍，则抛出点与落地点之间的距离为Ｌ。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为Ｒ，万有引力常数为Ｑ。求该星球的质量M。
[解与析] 设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x，则有x2＋h2=L2………①
由平抛运动规律知，当初速度增大到２倍其水平射程也增大到2x，可得：(2x)2+h2=………②
由①②解得：h=
设该星球上的重力加速度为g,由平抛运动的规律，得：………③
由万有引力定律与牛顿第二定律得：………④
式中m为小球质量，联立上述各式解得：
。
[思考8] 月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8，如果以同一初速度在地球上和月球上竖直上抛一物体，则两者上升的高度之比是 ，两者从抛出到落回原处的时间之比是 。
[提示] 应用万有引力定律、竖直上抛运动等运动学公式求解。
在星球表面的重力等于万有引力：
g∝

由竖直上抛运动公式，上抛高度h=,所以，则：
由运动学公式有vt=v0 - gt上，vt=0
t=t上+t下=2t上=
又因为。
【素质训练】
1、关于万有引力定律的正确的说法是（ ）
A、天体间万有引力与它们质量成正比，与它们之间距离成反比
B、任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比
C、万有引力与质量、距离和万有引力恒量成正比
D、万有引力定律对质量大的物体可以适用，对质量小的物体可能不适用。
2、已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看做匀速圆周运动，则可判定（ ）
A、金星到太阳的距离（即轨道半径）小于地球到太阳的距离
B、金星运动的速度小于地球运动的速度
C、金星的向心加速度大于地球的向心加速度
D、金星的质量大于地球的质量
3、为估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（ ）
A、质量和运转周期 B、运转周期和轨道半径
C、轨道半径和环绕速度 D、环绕速度和质量
4、地球的第一宇宙速度约为8km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度约为：（ ）
A、4km/s B、8km/s C、16km/s D、32km/s
5、设地球表面的重力加速度g0,物体在距地心4R(R是地球半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为：（ ）
A、1 B、1/g C、1/4 D、1/16
6、(90年全国)假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则：（ ）
A、根据公式v=ωr,可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍；
B、根据公式F=,可知卫星所需的向心力将减少到原来的1/2；
C、根据公式F=,可知地球提供的向心力将减小到原来的1/4；
图4-25

D、根据上述B和C中给出的公式,可知卫星运动的线速度将减小到原来的。
7、如图4-25所示，a、b、c是环绕地球在圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是ma=mb＜mc则
A、b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B、b、c的周期相等，且小于a的周期
C、b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D、b所需向心力最小
8、打开同步卫星上的发动机使其速度加大，待它运动到距离地面的高度比原来大的位置，再定位使它绕地球做匀速圆周运动成为另一个轨道的卫星，与原来相比
A、速率增大 B、周期增大 C、机械能增大 D、动能增大
9、两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA：TB=1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）
A、RA:RB=4：1， vA:vB=1:2
B、RA:RB=4：1， vA:vB=2:1
C、RA:RB=1：4， vA:vB=1:2
D、RA:RB=1：4， vA:vB=2:1
10、如果把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约1.5×108km ,已知万有引力常量G=6.67×10-11N. m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是 kg。（结果取一位有效数字）
11、已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g,万有引力恒量为G，如果不考虑地
球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为 。
12、空中有一颗人造地球卫星到地球球心的平均距离是另一颗卫星到地球球心平均距离的，若后者绕地球运行的周期是16天，则前者绕地球运动的周期是_____天。
13、已知一颗近地卫星的周期约为5100s,今要发射一颗地球同步卫星，它的离地高度约为地球半径的多少倍？

14、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：(1)a、b两卫星周期之比Ta:Tb是多少？(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

15、1990年3月，紫金山天之台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为32km。如该小行星的密度和地球相同，则对该小行星的第一宇宙速度是多少？已知地球半径R=6400km,地球的第一宇宙速度v1=8km/s。

16、地球质量为M，半径为R，万有引力恒量为G，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度。
（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据。
（2）若已知第一宇宙速度的大小为v=7.9km/s，地球半径R=6.4×103km，万有引力恒量×10-10N·m2/kg2，求地球质量（结果要求二位有效数字）。

17、2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g(视为常量)和光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

18、某物体在地面上受到的重力为160N，将它放置在卫星中，在卫星以α=g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N时，卫星距地球表面有多远？（R地=6.4×103km, g=10m/s2）

19、已知一颗近地卫星的周期约为5100s，今要发射一颗地球同步卫星，它的离地高度约为地球的半径的多少倍？

20、（1）简要说明地球同步卫星为什么只能在赤道平面内绕地球运转？（2）已知地球半径R=6.4×106m,月球公转周期27天,月球轨道半径为地球半径的60倍,由这些数据估算地球同步卫星离地面的高度(保留两位有效数字).

【素质训练参考答案】
一.万有引力定律
1.B 2.AC 3.BC
4.由G,V=得则V1=2V2=2×8=16km/s故选项C正确

5、根据F万=F重即得：
物体在地球表面：
物体在距地心4R处：
则：，故选取项D是正确。
6、因v=ωr中，ω是变量，F=中v也是变量，A、B不能选，由F=得：只有r是变量，选项C是正确，B、C得v=，则只有r为变量，故选项D也是正确的，综合上述该题的正确答案应为C、D选项。
7、D 8、BC
9、D 提示：G=
由此可知， R3∝T2,
则
再由 v=ωr=R,知v∝
则 .
10、由，T做已知条件（365d）求解出2×1030 kg。
11、利用。
12、
13、由人造地球卫星的周期公式得：
…………………………①
…………………………②
②/①得
所以
14、(1)由得Ta ：Tb=1:
(2)设经过时间t 两卫星相距最远，则；（n=1、2、3………）
n =1时对应时间最短，即：，则
15、由，
故
=。
16、（1）设卫星质量为m，它在地面附近作圆周运动时圆半径可取为地球半径R，
运动速度为v；作圆周运动所需向心力由向心加速度及牛顿第二定律F=ma
有F向=；又因为F万，∵F向=F万 ∴，
（2）由
17、

提示：设m为卫星质量，M为地球质量，r为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有
. ①
地心

卫星

r

R

O

α

式中G为万有引力恒量。因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有
ω= ②
因 G=,
得 GM=gR2. ③
设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理
L= ④
所求时间为 t= ⑤
由上各式得 t=
18、1．92×104m
19、5.6
20、（1）地球同步卫星与地球相对静止，所以应以地轴为转轴作圆周运动；卫星的向心力由地球对卫星的万有引力提供，所以应以地心为圆心作圆周运动；卫星以地心为圆心，以地轴为转轴的圆周运动，必是在赤道平面内的运动。
（2）地球同步卫星和月球都绕地球作匀速圆周运动，万有引力提供向心力
2R，有=恒量
即；可有R卫=·R月,代入数据得R卫=R
所以同步卫星离地面的高度h=R卫-R=(-1)R=3.6×107m