北京市第四中学2014届高三数学总复习-导数函数的综合-巩固练习-新人教A版-.doc

"北京市第四中学2014届高三数学总复习 导数函数的综合 巩固练习 新人教A版 "

【巩固练习】
1．当x>0时，f(x)=x+的单调递减区间是（ ）。
A、(2, +¥) B、(0,2) C、 D、
2．设函数f(x)=(x3-1)2+1，下列结论中正确的是（ ）。
A、x=1是函数f(x)的极小值点，x=0是极大值点
B、x=1及x=0均是f(x)的极大值点
C、函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值
D、x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值点
3．函数y=x4-2x2+5, x∈[-2,2]的最大值和最小值分别为（ ）。B
A、13，-4 B、13，4 C、-13，-4 D、-13，4
4．若函数f(x)=x3+ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）。
A、a>0 B、a<0 C、a≥0 D、a≤0
5.设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
6．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　 　。
7．证明函数在（2，4）上是减函数。
8. 设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。
(Ⅰ)求a、b的值；
(Ⅱ)若对于任意的x∈[0，3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围。
9．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？
10．已知f(x)=x3-3bx+36在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是______；
11．设a>0，求函数的单调区间。
12．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
13．已知函数,其中a , b , c是以d为公差的等差数列且a＞0,d＞0.设上，处取得最大值，在，将点依次记为A， B， C
(I)求的值；
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值。
14.已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
15.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
【参考答案与解析】
1．D； 2．D； 3．B 4．B； 5. C
6．
7．【解析】，
当2<x<4时， 0<(x-2)3<8, ∴ ,
∴, 即f＇(x)<0,
∴在（2，4）上是减函数。
8. 【答案】
（I）a=-3，b=4； (Ⅱ) c的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞)
9．【解析】设高为h,底边长为a,则所用材料为S=a2+4ah,
而a2h=256 ,a∈(0,+∞),
∴, a∈(0,+∞),
令S＇(a)=, ∴a=8.
显然当0<a<8时，S＇(a)<0；当a>8时，S＇(a)>0,
因此当a=8时，S最小，此时h=4.
10．【答案】(0，1)
11．【解析】
当a>0，x>0时，令
则
(1)当△=4-4a<0即a>1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
(2)当△=4-4a=0即a=1时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；
(3)当△=4-4a>0即0<a<1时，
解得
故上单调递增，
在上单调递减。
12．【解析】设容器底面短边为xm，则另一边长为(x+0.5)m,
高为。
由3.2-2x>0且x>0，得0<x<1.6。
设容器的容积为ym3，则有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x, (0<x<1.6)
∴y¢=-6x2+4.4x+1.6=0, 即15x2-11x-4=0，解得（不合题意，舍去）。
当x∈(0,1)时， y¢>0；当x∈(1,1.6)时，y¢<0。
∴函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1)上单调递增，在[1，1.6]上单调递减。
因此，当x=1时，ymax=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2。
故容器的高为1.2m时容器最大，最大容积为1.8m3.
13．【解析】(I)

令,得

当时, ；当时,
所以f(x)在x=-1处取得极小值即；
(II) ，
的图像的开口向上,对称轴方程为
由知
在上的最大值为，即，
又由
当时, 取得最小值为
，
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,
所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
解法二:

又c>0知在上的最大值为，即
又由
当时, 取得最小值为
，
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,
所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
14.【解析】（Ⅰ）当时，，，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（Ⅱ）．
由于，以下分两种情况讨论．
（1）当时，令，得到，．
当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极小值

极大值

所以在区间，内为减函数，
在区间内为增函数．
函数在处取得极小值，且，
函数在处取得极大值，且．
（2）当时，令，得到，
当变化时，的变化情况如下表：

0

0

极大值

极小值

所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．
函数在处取得极大值，且．
函数在处取得极小值，且．
15.【解析】（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，
由题意，．
即，
由得：，或（舍去）．
即有．
令，则．
于是当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．
（Ⅱ）设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，
即当时，．

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