七年级数学一元一次方程的解法及其应用华东师大版知识精讲.doc

七年级数学一元一次方程的解法及其应用华东师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
一元一次方程的解法及其应用

［教学目标］
1. 经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2. 了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3. 会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。
4. 会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5. 通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。

【典型例题】
例1. 已知是关于的一元一次方程，求m的值。
解：由一元一次方程的定义可知：

由
又由
∴
小结：方程是关于x的一元一次方程，这里包含有（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。（2）未知数的系数合并后不能为零。（3）它必须是等式。

例2. 已知是一元一次方程的解，则m的值是多少？
解：因为是方程的解，
所以
即
解得
小结：方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，是原方程的解，则把原方程中的x换成后等式仍然成立。从而可以得到另一个关于m的方程求解。

例3. 解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
解：（1）
移项得：
合并同类项得：
∴
（2）由方程两边同时乘以10得：

（3）
方程两边都乘以100得：

（4）
去中括号得：

（5）

（6）

（7）

例4. 如果关于x的方程的解相同，求的值。
解法（1）：由方程可得：

由题意可知是方程的解
则：

当
即
解法（2）：解方程
解方程

∴
又因为两个方程的解相同
所以：

∴。

例5. 已知关于x的方程的解为整数，求整数k的取值。
解：由可知，当k＝0时，原方程无解，不符合题意，所以k≠0
则由，得：

因为原方程的解为整数，故整数k为4的约数，所以k＝±1，±2，±4都满足题意。
即：k＝±1，±2，±4

例6. 已知，不解方程求代数式的值，
解法（1）：因为
所以

即
解法（2）：因为
所以

解法（3）：由得

所以

例7. 解关于x的方程：
分析：对于方程
（1）当a≠0时，方程有唯一解：。
（2）当a＝0，且b≠0时，方程无解。
（3）当a＝0，且b＝0时，方程有无数个解。
解：由可得：

当。
当时，方程无解。
当时，方程有无数解。
综上所述：当时，方程有唯一解：
当，时，方程无解。
当时，方程有无数解。

例8. 某校初一年级甲、乙两个班，决定到市森林公园去搞一次野外写生活动，森林公园的门票价格如下表：
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
每人门票价
5元
4.5元
4元
甲、乙两班共103人，（其中甲班人数多于乙班人数），如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元
（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可节约多少钱？
（2）两班各有多少学生？
解：（1）∵103＞100
∴两班联合购票的门票价为4元
∴总票额为103×4＝412元，可节省486－412＝74（元）
即可节约74元钱。
（2）∵甲、乙两班共103人，甲班人数多于乙班人数
∴甲班人数多于50人
乙班人数有两种情况：
①若乙班少于或等于50人，设乙班有x名学生，
则甲班有名学生，则

解得，∴
经检验，符合题意
∴甲班有58人，乙班有45人。
②若乙班人数超过50人，设乙班有y人，则甲班有人，则：

∵此等式不成立
∴这种情况不存在，
∴甲班有58人，乙班有45人。

例9. 如果是恒等式，那么必有
求b、c的值，使下面的恒等式成立：

解：因为是恒等式
所以对x的任意数值，等式都成立，
设代入恒等式，得

解得
再设代入恒等式，得

即
又因为
即

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、细心填一填
1. 若的解，则a的值等于____________。
2. “某数的与某数的的差等于9”，设某数为x，根据题意可列出方程____________。
3. 方程的解是____________。
4. 已知代数式的值与互为倒数，则____________。
5. 已知方程是关于x的一元一次方程，则____________。
6. 若关于x的方程和方程有相同的解，则____________。
7. 关于x的方程的解为正整数，则k所取的整数值为____________。
8. 若，则____________。
9. 已知x、y互为相反数，且，则x＝____________。
10. 一项工程，甲单独做m天完成，乙单独做比甲晚3天才能完成，甲、乙二人合作需要____________天完成。（用含m、n的式子表示）

二、精心选一选
1. 下列各方程中，属于一元一次方程的是：
A. B.
C. D.
2. 下列x的值是方程的解的是：
A. B.
C. D.
3. 如果单项式是同类项，则m、n的值是：
A. B.
C. D.
4. 若代数式的值比的值大5，则x等于：
A. 13 B.
C. 3 D.
5. 若方程与方程的解相同，则a的值是：
A. B.
C. D.

6. 将方程的分母化为整数，得：
A.
B.
C.
D.
7. 已知：当b＝1，c＝－2时，代数式，则a的值是____________
A. 12 B. 6
C. －6 D. －12
8. 已知的解为正整数，则整数a的值有____________
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
9. 某工厂原计划每天生产a个零件，现实际每天多生产b个零件，则生产m个零件提前的天数为____________
A. B.
C. D.
10. 关于x的方程有无数多个解，则a、b的值应为____________
A. B.
C. D. a、b可取任意数

三、用心做一做
1. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2. 已知，求的值。

3. 列方程解应用题
（1）某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间的人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数。
（2）某商场门口沿马路向东是公园，向西是某中学，该校两名学生从商场出来准备去公园，他们商议了两种方案：

I. 先步行回学校取自行车，然后骑车去公园。
II. 直接从商场步行去公园
已知他们骑车的速度是他们步行速度的4倍，从商场到学校的距离为3千米，若两种方案所用的时间相同，则商场到公园有多远？
【试题答案】
一、细心填一填：
1. 1 2.
3. 4. 3
5. 6. 4
7. 1，3，9 8. －2
9. 2 10.
二、精心选一选
1. B 2. A 3. A 4. B 5. A
6. C 7. D 8. D 9. B 10. B

三、用心做一做
1. 解下列方程
（1）
（2）
（3）
（4），
（5）

2. 解：由可得：
则

3. 列方程解应用题
（1）设第二车间原有x人，则第一车间原有人，
根据题意得：
解此方程得：
则
经检验符合题意
答：第一车间有170人，第二车间有250人。
（2）设商场到公园的距离为x千米，由题意可列方程

经检验，符合题意
答：商场到公园的距离为5千米。