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初三数学培优检测题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1． （2014年烟台）关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是【　　】
　 A．－1或5 B． 1 C． 5 D． －1
2．（黄石）设一元二次方程（x－1）（x－2）＝m(m＞0)的两实根分别为α，β，则α，β满足【　　】
A. 1＜α＜β＜2 B. 1＜α＜2 ＜β C. α＜1＜β＜2 D.α＜1且β＞2
3． Rt△ABC三边的长都是正整数，其中一条直角边的长是方程2x2－23x＋11＝0的根，这个三角形的面积是【　　】
(A) (B)121 (C)330 (D)660
4． （泰安）设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为【　　】
　　A．　　B．　　C．　　D．
5． (镇江)已知二次函数，当自变量取时对应的值大于0，当自变量分别取、时对应的函数值为、，则、必须满足【　　】
A．＞0、＞0 B．＜0、＜0
C．＜0、＞0 D．＞0、＜0
6．（2013资阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点（1，0）和点（0，－2），且顶点在第三象限，设P＝a－b＋c，则P的取值范围是【　　】
A．－4＜P＜0 B．－4＜P＜－2
C．－2＜P＜0 D．－1＜P＜0
7．(2014年资阳)二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：
①4ac－b2＜0；②4a＋c＜2b；③3b＋2c＜0；④m（am＋b）＋b＜a（m≠－1），
其中正确结论的个数是【　　】
A． 4个 B．3个 C． 2个 D．1个
8．(2014孝感)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D（－1，2），与x轴的一个交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝2；④方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为【　　】
A． 1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2014济宁）“如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1－（x－a）（x－b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是【　　】
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
10．（2014泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，
∠DAB＝90°，AC⊥BC，AC＝BC，∠ABC的平分线分
别交AD、AC于点E，F，则的值是【　　】
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（兰州）关于x的方程的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是 ．
12．（2014扬州）已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式2a3＋b2＋3a2－11a－b＋5的值为　 　．
13．（2014湖州）已知当x1＝a，x2＝b，x3＝c时，二次函数y＝x2＋mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是　 　．
14．在△ABC中，∠A＝80°，若O为外心，则∠BOC＝ ，若I为内心，则∠BIC＝ ．
15．（2014武汉）如图，若双曲线y＝与边长为5的等边△AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为_________．
16．（2014苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是　 　．

17．（2014德州）如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整
数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：
①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．
则顶点M2014的坐标为（　 　，　 　）．
18．（2014泸州）如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k＝4，则△OEF的面积为；
②若，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG＝，则k＝1．
其中正确的命题的序号是　 　（写出所有正确命题的序号）．
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．(2014北京，8分)已知关于的方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值.

20．(8分)学校有A、B两个餐厅，学生可以随机选择其中之一用餐．现有甲、乙、丙三名学生分别前往这两个餐厅就餐．求三个人恰在同一餐厅就餐的概率．

21．(2014年资阳，8分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1＝－20x1＋1500（0＜x1≤20，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2＝－10x2＋1300（0＜x2≤20，x2为整数）．
（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？
（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

22．（2014舟山，8分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y＝（k＞0）刻画（如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．

23．(8分)如图1，在平面上，给定了半径为r的⊙O，对于任意点P，在射线OP上取一点，使得，这种把点P变为的变换叫做反演变换，点P与点叫做互为反演点。

（1）如图2，⊙O内外各有一点A和B，它们的反演点分别为和，
求证：∠＝∠B；

（2）如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形。
① 选择：如果不经过点O的直线与⊙O相交，那么它关于⊙O的反演图形是 ( )
（A）一个圆 （B）一条直线 （C）一条线段 （D）两条射线
② 填空：如果直线与⊙O相切，那么它关于⊙O的反演图形是________，该图形与⊙O的位置关系是_________________。
24．（2014无锡，10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图象交于另一点C，且C点的横坐标为－1，AC：BC＝3：1．
（1）求点A的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．

25．（2014武汉，10分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

26．（2014四川自贡，12分）如图，已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A、B两点，并与直线y＝x－2交于B、C两点，其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

27．（2014株洲，12分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ＝QB＝1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC．
（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；
（2）设∠AOB＝α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；
（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．

28．(2014年资阳，12分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

初三数学期末测试题参考答案
一、选择题
1． D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7．B 8．C 9．A 10．C
二、填空题
11．－4，－1； 12．23； 13．m＞﹣； 14．160°，130°；
15．； 16．2； 17．（4027，4027）； 18． ②④．
三、解答题
19．（2）1，2
20．
21．（1）5种进货方案；
（2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
22．（1）①∴喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；
②k=xy=45×5=225；
（2）不能驾车上班；
23．（1）略；
（2）①（A）
② 圆，内切 ．
24．（1）（－4，0）；（2）y=－x2－4x．
25．（1）t=1或；（2）t=；
26．（1）y=x2﹣x﹣2；
（2）略；
（3）△ABC内部能截出面积最大的矩形，面积是；
27．（1）；（2）0°≤α≤60°；（3）
28．（1）y=﹣x2+2x+3．
（2）点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．
（3）当0＜m≤时，S=﹣m2+3m；当＜m＜3时，S=m2﹣3m+．
初三数学期末测试卷 第 9 页