初三数学一元二次方程组的专项培优-易错-难题练习题(含答案)及详细答案.doc

初三数学一元二次方程组的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

一、一元二次方程
1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．

2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．解方程：（2x+1）2=2x+1．
【答案】x=0或x=.
【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.
试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，
∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，
则x=0或2x+1=0，
解得：x=0或x=﹣．

4．计算题 
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）÷（1+）
=
=
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.

5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD的最大度数为 ；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.
试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，
由②知DH=3，FH=，则HC=.
在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.
∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，
∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.
而，
当时，；当时，.
∴△FCD的面积s的取值范围是.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

6．观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．
若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；
请写出第n个方程和它的根．
【答案】（1）x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n.
【解析】
【分析】
（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.
【详解】
解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.
(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.
【点睛】
本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.

7．已知关于x的一元二次方程．
若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；
若此方程的两个实数根为，，且满足，求m的值．
【答案】（1）的最小整数值为；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：

方程有两个实数根
，即

的最小整数值为
（2）由根与系数的关系得：，
由得：
，

【点睛】
本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.

8．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？
（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?
【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元
【解析】
【分析】
（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,
（2）解一元二次方程即可求解,
（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.
【详解】
解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,
设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),
(2)依题意得：
（x-40）(-10x+780)=3570,
解得：x=57,
∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.
（3）设每星期的利润为w，
W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,
∵-100,二次函数向下,函数有最大值,
当x=59时, 利润最大，为3610元.
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.

9．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣(n﹣1)＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n的取值范围；
(2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】(1)n＞0；(2)x1＝0，x2＝2．
【解析】
【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知 ，即可求出 的取值范围；
（2）根据题意得出 的值，将其代入方程，即可求得答案.
【详解】
(1)根据题意知，
解之得：；
(2)∵ 且为取值范围内的最小整数，
∴，
则方程为，
即，
解得．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程 的根与的关系（①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根）是解题关键.

10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？
（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【答案】(1)2000；(2)2米
【解析】
【分析】
（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；
（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程
【详解】
解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，
根据题意得：﹣= 4
解得：x=2000，
经检验，x=2000是原方程的解;
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．

11．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴2--2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根

12．已知：关于x的一元二次方程.
（1）若此方程有两个实数根，求没的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为，，且满足，求的值.
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
【详解】
解：（1）∵有两个实数根，
∴，
∴，
∴；
∴m的最小整数值为：；
（2）由根与系数的关系得：，，
由得：

∴，
解得：或；
∵，
∴.
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则，．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.

13．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：
∵（）2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2，当且仅当a=b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+的最小值为　 　．当x＜0时，x+的最大值为　 　；
（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．

【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．
【解析】
【分析】
（1）当x＞0时，按照公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，0，则也可以按公式a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来计算；
（2）将y的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】
（1）当x＞0时，x22；
当x＜0时，﹣x＞0，0．
∵﹣x22，∴则x（﹣x）≤﹣2，∴当x＞0时，x的最小值为 2．当x＜0时，x的最大值为﹣2．
故答案为：2，﹣2．
（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y的最小值为9．
（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9
则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四边形ABCD面积=4+9+x13+225．
当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．

14．已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围．
是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？
【答案】(1)且；(2)不存在,理由见解析
【解析】
【分析】
（1）因为方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式△＞0，可解得k的取值范围；
（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值．
【详解】
（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得：k﹣1≠0且△=﹣12k+13＞0，解得：k＜且k≠1；
（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2．
∵x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=．
又∵k＜且k≠1，∴k不存在．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】
【分析】
设每件商品涨价元，能赚得8000元的利润；销售单价为元，销售量为件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
【详解】
解：设每件商品涨价元，则销售单价为元，销售量为件．
根据题意，得．
解得，．
经检验，，都符合题意．
当时，，；
当时，，．
所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解