思科数学第1讲集合的概念与运算.doc

高考总复习·数学理(江苏专用)第一篇　集合与常用逻辑用语

　　其中A(了解)；要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．B(理解)：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．C(掌握)：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．(下同)

在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质．常用逻辑用语重点考查四种命题及其相互关系、充要条件，主要出现在填空题、解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、新增加的量词近几年没有在小题中出现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解性知识只是考查其最基本的含义．
从考纲要求及近几年的试卷分析，特提出以下几点备考策略：
1．集合主要以小题形式考查，涉及集合的表示方法、集合之间的关系和运算，常与其他知识交汇(如方程、不等式、函数等)，要学会不同数学语言之间的转换．
2．对于充要条件，要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断，对于充要条件，复习时要给已足够的重视．
3．其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求．

第1讲　集合的概念与运算

基础梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，分别用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．
(2)集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.

两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．
(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
双基自测
1．(2011·南京模拟)已知全集U＝R，Z是整数集，集合A＝{x|x2－x－6≥0，x∈R}，则Z∩∁UA中元素的个数为________．
解析　∁UA＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以Z∩∁UA＝{－1,0,1,2}，共有4个元素．
答案　4
2．(2011·镇江调研)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5}，则∁U(A∩B)＝________.
解析　由A∩B＝{1,3}，得∁U(A∩B)＝{2,4,5,6}．
答案　{2,4,5,6}
3．(2011·扬州调研)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，则P∩(∁UQ)＝________.

解析　∁UQ＝{1,4}，P∩(∁UQ)＝{1,2}∩{1,4}＝{1}．
答案　{1}
4．(2011·泰州调研)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N＝________.
解析　N＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，所以M∩N＝{x|x＜3}∩{x|x＞2}＝{x|2＜x＜3}．
答案　{x|2＜x＜3}
5．(2011·南京三模)如下图，已知集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．

解析　即求属于集合A又属于集合C但不属于集合B的元素构成的集合．
答案　{2,8}　　

考向一　集合的基本概念
【例1】►设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．
[审题视点] 用列举法可求得集合P＋Q.
解析　P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，因此P＋Q中元素个数为8，故填8.
答案　8
集合中元素的互异性和无序性，其中互异性既是解题的依据，又可以检验结果是否正确．
【训练1】 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P－Q＝{a|a∈P但a∉Q}，若P＝{a|a是小于10的自然数}，Q＝{b|b是不大于10的正偶数}，则P－Q中元素的个数为________．
解析　因为P＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，Q＝{2,4,6,8,10}，所以P－Q＝{0,1,3,5,7,9}，故P－Q中元素个数为6.
答案　6
考向二　集合的基本运算
【例2】►(2011·山东省济宁模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜4}

和N＝{x||x－1|＜2}的关系是韦恩(venn)图如图，则阴影部分所表示的集合是________．
[审题视点] 集合的运算是用韦恩图给出，阴影部分的含义是集合M与N的交集M∩N.
解析　由2x＜22，得x＜2，所以M＝{x|x＜2}；由|x－1|＜2，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3，所以N＝{x|－1＜x＜3}．
因此，所求阴影部分表示的集合是M∩N＝{x|－1＜x＜2}，故填{x|－1＜x＜2}．
答案　{x|－1＜x＜2}
集合的运算除交集、并集与补集外，还可以用韦恩图表示集合间的关系或运算，也可以定义新的运算．
【训练2】 已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，下图中阴影部分所表示的集合为________．

解析　阴影部分表示的集合是由集合A中元素去掉属于B中元素构成的，即由A中小于2的元素构成的，故所求集合为{1}．
答案　{1}
考向三　集合间的基本关系
【例3】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
[审题视点] 若B⊆A，则B＝∅或B≠∅，故分两种情况讨论．
解　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2.
当B≠∅时，有解得2＜m≤4.
综上，m≤4，即m的取值范围是(－∞，4]．
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．
【训练3】 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________．
解析　根据元素个数，得这样的集合为{－1}，{1}，，{－1,1}，，，，共有7个．
答案　7

难点突破1——集合问题的求解策略

集合在高考中仅出一道填空题，集合间的关系及运算是考查的重点，同时集合也可能与函数、不等式、解析几何、向量等内容进行综合考查，另外，在新情境下对集合问题进行考查，也应值得我们关注．
一、集合与解析几何的解题策略
【示例】 (2011·广东卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

二、集合与函数、方程的解题策略
【示例】 (2011·浙江卷改编)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，
x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论：①|S|＝1且|T|＝0；②|S|＝1且|T|＝1；③|S|＝2且|T|＝2；④|S|＝2且|T|＝3，其中不可能成立的是________．