思科数学第1讲集合的概念与运算.doc

高考总复习·数学理(江苏专用)第一篇　集合与常用逻辑用语

　　其中A(了解)；要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题．B(理解)：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题．C(掌握)：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．(下同)

在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质．常用逻辑用语重点考查四种命题及其相互关系、充要条件，主要出现在填空题、解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、新增加的量词近几年没有在小题中出现它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解性知识只是考查其最基本的含义．
从考纲要求及近几年的试卷分析，特提出以下几点备考策略：
1．集合主要以小题形式考查，涉及集合的表示方法、集合之间的关系和运算，常与其他知识交汇(如方程、不等式、函数等)，要学会不同数学语言之间的转换．
2．对于充要条件，要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断，对于充要条件，复习时要给已足够的重视．
3．其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求．

第1讲　集合的概念与运算

基础梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，分别用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的运算及其性质
(1)集合的并、交、补运算
并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}；
交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}；
补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．
(2)集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.

两种方法
韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
三个防范
(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．
(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
双基自测
1．(2011·南京模拟)已知全集U＝R，Z是整数集，集合A＝{x|x2－x－6≥0，x∈R}，则Z∩∁UA中元素的个数为________．
解析　∁UA＝{x|x2－x－6＜0}＝{x|－2＜x＜3}，所以Z∩∁UA＝{－1,0,1,2}，共有4个元素．
答案　4
2．(2011·镇江调研)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,3,5}，则∁U(A∩B)＝________.
解析　由A∩B＝{1,3}，得∁U(A∩B)＝{2,4,5,6}．
答案　{2,4,5,6}
3．(2011·扬州调研)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合P＝{1,2}，Q＝{2,3}，则P∩(∁UQ)＝________.

解析　∁UQ＝{1,4}，P∩(∁UQ)＝{1,2}∩{1,4}＝{1}．
答案　{1}
4．(2011·泰州调研)已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N＝________.
解析　N＝{x|log2x＞1}＝{x|x＞2}，所以M∩N＝{x|x＜3}∩{x|x＞2}＝{x|2＜x＜3}．
答案　{x|2＜x＜3}
5．(2011·南京三模)如下图，已知集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．

解析　即求属于集合A又属于集合C但不属于集合B的元素构成的集合．
答案　{2,8}　　

考向一　集合的基本概念
【例1】►设P，Q为两个非空实数集合定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．
[审题视点] 用列举法可求得集合P＋Q.
解析　P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，因此P＋Q中元素个数为8，故填8.
答案　8
集合中元素的互异性和无序性，其中互异性既是解题的依据，又可以检验结果是否正确．
【训练1】 设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P－Q＝{a|a∈P但a∉Q}，若P＝{a|a是小于10的自然数}，Q＝{b|b是不大于10的正偶数}，则P－Q中元素的个数为________．
解析　因为P＝{0,1,2,3,4,5,67,8,9}，Q＝{2,4,6,8,10}，所以P－Q＝{0,1,3,5,7,9}，故P－Q中元素个数为6.
答案　6
考向二　集合的基本运算
【例2】►(2011·山东省济宁模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜4}

和N＝{x||x－1|＜2}的关系是韦恩(venn)图如图，则阴影部分所表示的集合是________．
[审题视点] 集合的运算是用韦恩图给出，阴影部分的含义是集合M与N的交集M∩N.
解析　由2x＜22，得x＜2，所以M＝{x|x＜2}；由|x－1|＜2，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3，所以N＝{x|－1＜x＜3}．
因此，所求阴影部分表示的集合是M∩N＝{x|－1＜x＜2}，故填{x|－1＜x＜2}．
答案　{x|－1＜x＜2}
集合的运算除交集、并集与补集外，还可以用韦恩图表示集合间的关系或运算，也可以定义新的运算．
【训练2】 已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，下图中阴影部分所表示的集合为________．

解析　阴影部分表示的集合是由集合A中元素去掉属于B中元素构成的，即由A中小于2的元素构成的，故所求集合为{1}．
答案　{1}
考向三　集合间的基本关系
【例3】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
[审题视点] 若B⊆A，则B＝∅或B≠∅，故分两种情况讨论．
解　当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，得m≤2.
当B≠∅时，有解得2＜m≤4.
综上，m≤4，即m的取值范围是(－∞，4]．
已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．
【训练3】 若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为________．
解析　根据元素个数，得这样的集合为{－1}，{1}，，{－1,1}，，，，共有7个．
答案　7

难点突破1——集合问题的求解策略

集合在高考中仅出一道填空题，集合间的关系及运算是考查的重点，同时集合也可能与函数、不等式、解析几何、向量等内容进行综合考查，另外，在新情境下对集合问题进行考查，也应值得我们关注．
一、集合与解析几何的解题策略
【示例】 (2011·广东卷改编)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．

二、集合与函数、方程的解题策略
【示例】 (2011·浙江卷改编)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，
x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论：①|S|＝1且|T|＝0；②|S|＝1且|T|＝1；③|S|＝2且|T|＝2；④|S|＝2且|T|＝3，其中不可能成立的是________．