求函数值域的方法.doc

例析求函数值域的方法
函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。
一、直接法：（从自变量的范围出发，推出的取值范围）
例1．求函数的值域。
解：因为，所以，
所以函数的值域为。
二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如的函数的值域问题，均可使用配方法）
例2．求函数（）的值域。
解：，
因为，所以，所以
所以，即
所以函数（）的值域为。
三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）
例4．求函数的值域。
解：因为，
所以，所以，
所以函数的值域为。
四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解。
例4．求函数的值域。
解：令（），则，
所以
因为当，即时，，无最小值。
所以函数的值域为。
五、判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）
例1. 求函数的值域。
解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
六、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数的值域（时为减函数；时为增函数））
例5．求函数的值域。
解：因为当增大时，随的增大而减少，随的增大而增大，
所以函数在定义域上是增函数。
所以，所以函数的值域为。
七、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)
例6求函数的值域。
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为，对函数进行变形可得
，
因为，所以（，），
所以，所以，
所以函数的值域为
八、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）
y
x
o
2
1
-1
例7．求函数的值域。
解：，，
图像如右图所示，故原函数的值域为

除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。