一元函数的导数公式和微分.doc

一、 一元函数微分学
一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。
二、常数和基本初等函数求导公式
　　(1)　
　(2)　
　　(3)　
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　(8)　
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　(10)　
　　(11)　
　(12)　，
　　(13)　
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　　(15)　
　(16)　
　　三、函数的和、差、积、商的求导法则
　　设，都可导，则
　　（1） 　
　（2） 　（是常数）
　　（3） 　
　（4） 　
　　四、反函数求导法则
　　若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且
　　或　　　　
五、复合函数求导法则
　　设，而且及都可导，则复合函数的导数为
或
六、 高阶导数的莱布尼兹公式
七、隐函数的导数
一般地，如果变量，之间的函数关系是由某一个方程所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数.
对数求导法
根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，因此称为对数求导法.幂指函数的一般形式为，其中是的函数.
八、 由参数方程所确定的函数的导数
一般地，如果参数方程
，（为参数）
确定与之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的函数.
如果函数，都可导，且，又具有单调连续的反函数，则由参数方程所确定的函数可以看成与复合而成的函数，根据复合函数与反函数的求导法则，有
，
即 ，
也可写成 .
求方程所确定的函数的二阶导数.
解 ，

注意二阶导的求法。
九、 微分
1、定义 设函数在某区间内有定义，及在此区间内，如果函数的增量

可表示为

其中是不依赖的常数，那么称函数在点点可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作，即

2、 可微与可导关系
对一元函数而言，函数的可微性与可导性是等价的
结论 在点处可微在点处可导，且，由此。
主部的定义

即是的主部，因而

3、微分的几何意义
函数的图形是一条曲线，
）
T
N
M
P

函数是可微的，当是曲线的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上点的纵坐标的增量切线段近似代替曲线段。因而，

4、微分在近似计算中的应用
利用为微分可以把一些复杂的计算公式改用简单的公式来代替。当||很小时，有
即
或
特别地，当
常见的近似公式有（|x|很小时）：