初中数学-角.docx

§4.6 角
1. 角
观察下面的图形，你发现什么共同的特点吗?

这些图形都给了我们角的形象.
在小学里，我们以学习过角(angle)的概念。角是由两条有公共端点的射线组成的图形。郊野可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形(如图4.6.2).射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.

图4.6.2
角有以下几种表示方法(如图4.6.3)

图4.6.3
在图4.6.4中可以观察到两种特殊情况：第一种情况是绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线，这时所成的角叫做平角(straight angle)；第二种情况是绕着端点旋转到终边和始边重合，这时所成的角叫做周角(perigon).

图4.6.4
我们已经知道如果把周角分成360等份，每一份就是一度，记作1°.但是一个角并不正好是整数度数，与长度单位一样，考虑用更小一些的单位.把一度分成60等份，每一份就是1分，记作1′；而把一分再分成60等份，每一份就是1秒，记作1".这样，角的度量单位度、分、秒有如下关系：1°=60′ ，1′=60"
例1 （1）把18°15′化为用度表示的角.
（2）把93.2°化成用度、分、秒表示的角。
解 （1）先把15′化成度，即
15′=（15/60）°=0.25°，
所以 18°15′=18.25°
还记得图4.6.5八个方向吗?但在日常生活中，八个方向是不够用的，这只是一种大致的方向.如果要准确地表示方向，那就要借用角度的表示方式

图4.6.5
例2 如图4.6.6， OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：

图4.6.6
(1) 南偏东25°；
(2) 北偏西60°；
解 如图4.6.7所示。

图4.6.7
(1) 以正南方向的射线为始边，向东方向旋转25°所成的角，即为所求.
(2)以正北方向的射线为始边，向西方向旋转60°所成的角，即为所求.
练习
1.由图4.6.6填空：
(1) 正东和正西方向所成的角是_______度；
(2) 正南和西南方向所成的角是_______度；
(3) 西北和东北方向所成的角是_______度；
(4) 正西和东南方向所成的角是_______度；
2.只用一根直尺作出等于30°、45°、60°、120°的角.随后用量角器测一测，
比一比谁最为接近.
3. 请估计下面角的大小，然后再用量角器测量.

2.角的比较和运算
角是有大小的，如何比较两个角的大小呢?
观察如图4.6.7的三个角，哪一个最大?

图4.6.7
从上图我们可以发现，∠DEF明显比∠AOB和∠CBA小，但∠AOB和∠CBA的大小关系不太明显.如果想得到准确的结果的话，可以采用下面的方法：

图4.6.8
如图4.6.9所示，把一个角放到另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，这两个角的另一边都在这一条边的同侧。
这时，角的大小关系就比较明显了，可以简单的记为
∠AOB>∠DEF，或∠DEF<∠AOB.
比较角的大小，也可以用两脚曲分别量出角的度数，然后加以比较。如我们用量角器可以量出图4.6.8种三个角的度数分别为
∠AOB=60°30′，∠DEF=36°，∠CGH=65°，
所以 ∠CGH＞∠AOB＞∠DEF
一副三角板上的角是一些常用的角，除了可以用它们直接作出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以作出其它一些特殊的角.
想一想：
如图4.6.10所示，用两种方法放置一副三角板，可以画出75°和15°的角.

图4.6.10
我们可以对角进行简单的加减运算，如：
(1) 34°34′+21°51′=55°85′=56°25′
(2) 180°-52°31′=179°60′-52°31′=127°29′
做一做：
用量角器和直尺在纸上画一个角∠AOB=84°，如图4.6.10，然后沿O点对折，使边OB和OA重合，那么这条折痕把这个角分成了大小相等的两部分.

图4.6.13
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
练习
1.先观察下列各对角,其中哪一个角较大?然后用量角器量一量各对角.看看你的观察结果是否正确.

(1) (2)
2. 请用三角板中各角来估计下列角的度数，并按大小次序用“>”符号连结这四个角.

3.角的特殊关系
在我们所用的三角板中，有一个角是90°，其它两个角，一块是30°与60°，另一块都是45°，它们的和都是90°.
在图4.6.11中，用量角器量一量如下两组图中各角的大小，发现也有这样的特殊关系.

(1) (2)
图4.6.14
两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余(complementary angle).
另外，如果∠1+∠2=90°，也可以说∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角.
如果两个角互余，把两个角粘在一起的话，就构成一个直角.如图4.6.12

图4.6.15
同样，如果两个角的和等于一平角(180°)，就说这两个角互为补角，简称互补(supplementary angle).

图4.6.16
如图4.6.16，∠3+∠4=180°，所以∠3，∠4互为补角.∠3是∠4的补角，∠4也是∠3的补角
例3 已知∠α=50°17'，求∠α的余角和补角.
解：∠α的余角=90°-50°17'=39°43'，
∠α的补角=180°-50°17'=129°43'，
两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4(如图4.6.14)，我们把其中的∠1和∠3叫做对顶角，∠2和∠4也是对顶角.

图4.6.14
例4在图4.6.18中，∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?
解

图4.6.15
因为　∠2=180°-∠1=180°-30°=150°，
∠3=180°-∠2=180°-150°=30°，
∠4=180°-∠3=180°-30°=150°，
由这一例，我们可以发现　　∠1=∠3，∠2=∠4.
其实，任意两个对顶角，由于它们都有一个相同的补角，如上图中∠1和∠3都和∠2互补，所以它们是相等的.这也可以简单的说成：
对顶角相等.
练习
1.已知∠AOB，用直尺和量角器画出∠AOB的余角，∠AOB的补角及∠AOB的角平分线.

（第1题）
2.说出下列各图中的对顶角

（第2题）
3.有两堵围墙OA、OB，有人想测量地面上所形成的角∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量?

（第3题）

习题4.6
1.填空：
(1) 77°42＇+34°45＇= ；
(2) 108°18＇-56°23＇= ；
(3) 180°-(34°54＇+21°33＇)= .
2.时钟的分针，1分钟转了 度的角，1小时转了 度的角.
3.如图，如果∠1=65°15＇， ∠2=78°30＇，∠3是多少度?

（第3题）
4.任意画一个∠AOB，在∠AOB的内部引射线OC、OD，这时图中共有几个角?分别把它们表示出来.
5.两个相等的钝角有一个公共顶点和一条公共边，并且角的其它两边所成的角为90°，画
出该图形，并求出钝角的大小.
6.如图，OA表示北偏东40°方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线
(1)北偏东60° 
(2)北偏西70°
(3)东北方向(即北偏东45°)
7.72°20'的角的余角等于 ；25°31'的角的补角等于 .
8.在图中，EF，EG分别示∠AEB、∠BEC的平分线，求∠GEF的度数和∠BEF的余角.

（第8题）

§4.7 相交线
1．垂线
我们已经知道两条直线相交，只有一个交点(intersection Point)。例如，在图4.7.1中，直线AB与直线CD相交，交点为O。可以说成“直线AB、CD相交于点O”。

图4.7.1 图4.7.2
我们将图4.7.1中的直线CD绕着点O旋转成图4.7.2，当所构成的四个角中有一个为直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB、CD互相垂直(perpendicular)，记作“AB⊥CD”，他们的交点O叫做垂足。
在日常生活中，我们经常可以看到互相垂直的直线（如图4.7.3）。

试一试：
经过直线AB外一点P，按图4.7.4所示的方法，画出垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？

图4.7.4
在同一平面内，你能经过直线AB上一点P（如图4.7.5），画出垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？

图4.7.5
由上述操作可以看到：
在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
在图4.7.6所示的方格纸中，AB与直线BC垂直。点A与直线BC上各点的距离长短不一，我们可以发现其中最短的应该是线段AB。
线段AB的长度就是点A到直线BC的距离。请量一量线段AB的长度。

图4.7.6
做一做：
如图4.7.7，按下述口令画出图形：将位于图中点A处的小海龟向前前进3格，然后向右转90°，前进5格，然后向左转90°，前进3格，然后向左转90°，前进6格，再向右转90°，后退6格，再向右转90°，前进1格。用粗线将小海龟经过的路线描出来，看一看是什么图形。

图4.7.7
练习
1．如图，∠ABD=90°。
（1）点B在直线 上，点D在直线 外；
（2）直线 与直线 相交于点 A，点 D 是直线 与直线 的交点，也是直线 与直线 的交点，又是直线 与直线 的交点；
（3）直线 ⊥直线 ，垂足为点 ；
（4）过点D有且只有 条直线与直线AC垂直。
2．在如图所示的各个三角形中，分别画出AB边上的高，并量出三角形顶点C到直线AB的距离。

（第2题）
3．在如图所示的方格纸中，
（1）过点C作线段AB的垂线，垂足为D；
（2）该垂线是否经过格点（格点指的是画方格时的纵向和横向线段的交点）？如果经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点；
（3）量出点C到线段AB所在的直线的距离（精确到1mm）。

（第3题）
2．相交线中的角
我们知道，两条直线相交，可以得到四个角。如4.7.8，直线a、b相交，得到∠1、∠2、∠3、∠4。在这些角中，有的相等，有的是互补的。
在一个平面内，一条直线l与两条直线a、b分别相交于点P、Q，可以说成“直线l截a、b于点P、Q”。两条直线相交，可得四个角；两条直线被另一条直线所截，可得八个角。
如图4.7.9，直线l截直线a、b，得到∠1、∠2、…、∠8。那么这八个角中存在哪些关系呢？

图4.7.8
其中的∠1与∠5这样位置的一对角是同位角(corresponding angles)。在图4.7.8中，∠2与∠6也是同位角。图中除了∠1与∠5、∠2与∠6是同位角外，还有没有其他的同位角？如图4.7.8中，∠3与∠5这样位置的一对角是内错角(alternate interior angles)。图中除了∠3与∠5是内错角外，还有没有其他的内错角？
如图4.7.8中，∠4与∠5这样位置的一对角是同旁内角(interior angles on same side)。
图中除了∠4与∠5是同旁内角外，还有没有其他的同旁内角？
试一试：
在图4.7.9中，∠1是直线a、b相交所成的一个角，用量角器量出∠1的度数；画一条直线c，使直线c与直线b相交所成的角∠2与∠1为一对同位角，且这对同位角度数相等。

图4.7.9
练习
1．如图，直线a截直线b、c 所得的同位角有 对，他们是 ，内错角有 对，他们是 ，同旁内角有 对，他们是 。

（第1题）
2．如图，与∠1是同位角的角是 ，与∠1是内错角的角是 ，与∠1是同旁内角的角是 。

（第2题）
3．如图，∠1与∠3是同位角吗？∠2与∠4是同位角吗？

（第3题）