2015届全国新课标Ⅱ卷高考压轴卷文科数学试题及答案.doc

2015年 考前押题试卷
（全国新课标II卷）
文 科 数 学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．若复数是实数，则x的值为
A．-3
B．3
C．0
D．
2．设集合，，则
A．
B．
C．
D．
3．，，则的值为
A．
B．
C．
D．
（第5题图）
4．下列判断错误的是
A．“”是“a < b”的充分不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若p,q均为假命题，则为假命题
D．若，则
5．在右图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是
A．2
B．4
C．128
D．0
6．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
A．B．C．D．
7．已知等差数列中，，前7项的和，则前n项和Sn中
A．前6项和最大
B．前7项和最大
C．前6项和最小
D．前7项和最小
8．已知二项式（）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为
A．
B．
C．
D．
第9题
9．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是
A．8 + π
B．
C．12 + π
D．
10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是
A．
B．
C．
D．
b
a
A
E
F
B
D
C
11．如图，设平面，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D，若增加个一条件，就能推出BD⊥EF。现有①AC⊥β； ②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF。那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．已知是定义在上的奇函数，当0 < x < 3时，那么不等式的解集是
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．已知向量，，，，如果∥，则k = __________。
14．在等比数列中，若公比，且，，则__________。
15．已知P是抛物线上的一个动点，过点P作圆的切线，切点分别为M、N，则的最小值是__________。
16．已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为2的等边三角形，则的值为__________。
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和为Sn。已知，。
（1）设，证明数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式。
18．（本小题满分12分）
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7。
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今
年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成
绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）经过多次测试后，甲成绩在8~10米之间，乙
成绩在9.5~10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比
乙投掷远的概率.

19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥中，
点为中点；
（1）求二面角的余弦值；
（2）在直线上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分12分）
如图，是抛物线为上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA = SB。
（1）求证：直线CD的斜率为定值；
（2）延长DC交x轴于点E，若，求的值。
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若不等式 在区间内的解的个数；
（2）求证：。

请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。
22．（本小题满分10分）
选修4-1：几何证明选讲
如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。
（1）求证：是圆的切线；
（2）若，求的值。

23．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为
（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C1，C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由.

24．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式在上恒成立，求实数a的最小值；

2015年 考前押题试卷
（全国新课标II卷）
文科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
A
B
A
A
A
D
B
B
二、填空题
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．（本小题满分12分）
（1）证明：由已知得，解得，。
又有
所以，即
因此数列是首项为4，公比为2的等比数列。……6分
（2）解：由（1）得等比数列中，
所以，，
因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，， ……12分

18．解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，　　　 　
∴此次测试总人数为(人).
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)． (4分)
(2)=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为,∴～.
，，
.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(7分)
所求分布列为
X
0
1
2
P

(9分)
(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为、米，则基本事件满足的区域为
，事件“甲比乙投掷远的概率”满足
的区域为，如图所示.
由几何概型.
19．（1）∵
∴ ∴
∵ ∴ ∴平面
且两两垂直，……1分

故以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

∴
设平面的法向量
∴ ∴……3分
平面的法向量 ∴……5分
设二面角的平面角为 ，且为钝角 ∴
∴二面角的余弦值为……6分
（2）法一：存在，是中点或是中点；……7分
设 ……8分 ∴
∴ ……9分
解得 ……10分 ∴ 或
∴在直线上存在点，且是中点或是中点，使得与平面所成角的正弦值为；……12分
法二：存在，是中点或是中点；……7分
设
∴
∴ ……9分
解得 ……10分 ∴是中点或是中点；
∴在直线上存在点，且是中点或是中点，使得与平面所成角的正弦值为； ……12分
20．解：（1）将点（1，1）代入，得
抛物线方程为 ---- 1分
设，
与抛物线方程 联立得： ---- 2分

…… 3分
由题意有，
……4分
……5分
（2）设

……- 7分
----8分

同理 ----10分
…… 11分
…… 12分
21．解：（1）由，得。
令
所以，方程在区间内解的个数即为
函数的图像与直线交点的个数。

当时, . ---- 2分
当在区间内变化时, , 变化如下:

+
0
－

增

减
当时，；当时，；当时，。
…………---4分
所以，
①当或时，该方程无解；
②当或时，该方程有一个解；
③当时，该方程有两个解。　　　　　　…………- 6分
（2）由（1）知 ，∴.
∴. ……-- 8分
∴
……- 10分
∴.
∵.
∴ . …… 12分

22．

（1）连接，可得，
∴，又，∴，
又为半径，∴是圆的切线……4分
（2）过作于点，连接，
则有，
。
设，则，∴，
由可得，
又由，可得。……10分
23．（1）的普通方程为，……3分
的直角坐标方程为……5分
（2）相交，公共弦所在的直线方程，圆的圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为……10分
24．在上恒成立，设，
所以因此a的最小值为3。……10分

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