奥数 六年级竞赛 数论(一).教师版word.doc

第 5讲

数论(一)

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教学目标

数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视．本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.
本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.

专题回顾

【例 1】 一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数．
【分析】 现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手．
5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8．这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989．

【例 2】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_____________.
【分析】 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅为、，当时，满足是一个质数的数有，，，，，时，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合；
当，满足是一个质数的数有，，，，，，此时同时保证是一个质数与一个不为的完全平方数之积，只有符合．

专题精讲

分解质因数

【例 1】 个连续的自然数之和为，若、、、都是质数，则的最小值是多少？
【分析】 遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言．设这个连续自然数中最小的一个是，则最大的一个是(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：
，则是质数，所以的最小值是．的最小值是：.

［拓展］ 101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_______．
［分析］ 设这个自然数中最小的数为，则101个连续自然数的和为：
+(+1)+(+2)+……+(+100)
=(++100)×1012=(+50)×101
因为101是质数，所以+50必须是3个质数的乘积，要使和最小．
经检验+50=66=2×3×11最小，所以和最小为66×101=6666．

［铺垫］ 已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？
［分析］ 因为□△□△□△□△，所以在题述等式的两边同时约去□△即得△□×□〇×☆△．作质因数分解得，由此可知该数分解为个两位数乘积的方法仅有．注意到两位数△□的十位数字和个位数字分别在另外的两位数□〇和☆△中出现，所以△□=，□〇=，☆△=．即〇=，△=，□=，☆=，所求的四位数是．

【例 2】 为自然数，且，、……、与690都有大于l的公约数．的最小值为_______．
【分析】 ，连续9个数中，最多有5个是2的倍数，也有可能有4个是2的倍数，
如果有5个连续奇数，这5个连续奇数中最多有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，所以必然有一个数不是2、3、5、23的倍数，即与690没有大于l的公约数．
所以9个数中只有4个奇数，这个数中，有2个3的倍数，1个5的倍数，1个23的倍数，则、、、、是偶数，剩下的4个数中、是3的倍数（5个偶数当中只有是3的倍数），还有、一个是5的倍数，一个是23的倍数.
剩下的可以用中国剩余定理求解，是2和3的倍数，且相邻两个数中一个是23的倍数，另一个是5的倍数，显然是最小解，所以的最小值为19．

约数、倍数

【例 3】 已知，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，甲乙两数不是288和4中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?
【分析】 设甲乙两个数为，，(和都不等于1或72),则，两数互质，于是，的最小公倍数为，所以，，由于，互质，所以或不可能在，的因子中都出现，所以，一个是一个是，所以两数的乘积等于，和为.

【例 4】 有15位同学，每位同学都有编号，它们是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：⑴说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？⑵如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．
【分析】 ⑴首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对．不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合．因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除．
其次利用整除性质可知，这个数也能被2×5，3×4，2×7都整除，即编号为10，12，14的同学说的也对．从而可以断定说的不对的编号只能是8和9．
⑵这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，
由于上述十二个数的最小公倍数是60060，
因为60060是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．

［拓展］ 一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数和为10，那么此数为几？
［分析］ 最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数和是9，由于9是1个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数．于是显然的，2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．

约数个数定理：
设自然数的质因子分解式如.
那么的约数个数为
自然数的约数和为

【例 5】 两数乘积为，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，那么这两个数分别是___________、___________．
【分析】 ，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，所以这两个数中有一个数的约数为奇数个，这个数为完全平方数．故这个数只能为、、、或．经检验，只有两数分别为和时符合条件，所以这两个数分别是和．

［铺垫］ 在三位数中，恰好有个约数的数有多少个？
［分析］ ，
所以个约数的数可以表示为一个质数的次方，
或者两个不同质数的平方的乘积，
前者在三位数中只有符合条件，后者中符合条件有、、、、、,
所以符合条件的有个.

【例 6】 两个整数、的最大公约数是，最小公倍数是，并且已知不等于，也不等于或，，那么等于多少？
【分析】 最大公约数，当然是最小公倍数的约数，因此是的约数，，不等于1，只能是或者．如果，那么．和都是的约数，和不能是11，只能是22，44，88，176这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是11，由此得出不能是11．现在考虑，那么，和是170的约数，又要是17的倍数，有，，三个数，其中只有34和85的最大公约数是17，因此，和分别是34和85，．

【例 7】 已知是一个有12个约数的合数，、有24个约数，有40个约数，求有多少个约数？
【分析】 设，中不含有2、3、5因子，
那么的约数个数有①(其中为的约数个数)
的约数个数为，与①比较得到,于是，
的约数个数为，与①比较，于是，
的约数个数为，与①比较得到，于是，
将、、代入①得到，的约数个数为.

［铺垫］已知偶数不是的整数倍，它的约数的个数为，求的约数的个数.
［分析］ 将分解，，其中是奇数，它的约数的个数为，(其中为的约数个数)，则的约数个数为.

【例 8】 要使这个积是的倍数，并要使最小，则．
【分析】 分析题意，为同一个数可以由两种乘积的形式表示．关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：

则是的倍数，
则得到，使最小，则．

完全平方数

【例 9】 从到的所有自然数中，乘以后是完全平方数的数共有多少个？
【分析】 完全平方数，所有质因数必成对出现．
　　　　，所以满足条件的数必为某个完全平方数的倍，
　　　　，共个．

［铺垫］有个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最
　　　　小值为_____．
［分析］ 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧．设中间数是,则它们的和为, 中间三数的和为．是平方数，设,则．是立方数，所以至少含有和的质因数各个, 至少是,中间的数至少是．最小数的最小值为．

【例10】 志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多人，但比五六年级的学生人数少人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)
【分析】 五六年级的人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为，一二年级的学生人数为，则，而，所以，与可能为和；和；和，由这三个答案得到的和的值分别为：77和76，13和4，27和24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以，为最佳结果.此时五六年级的学生人数为人，一二年级的学生人数为576人，三四年级的学生人数为676，学校的总人数为人.

［铺垫］能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
［分析］ 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是的倍数，就是奇数，所以不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.

【例11】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_______．
【分析】 =．因为与同奇同偶，
所以“智慧数”是奇数或是4的倍数．
对于任何大于1的奇数()，当，时，都有==．
即任何大于1的奇数都是“智慧数”．
对于任何大于4的4的倍数()，当，时，都有==．
即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”．除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的偶数，“智慧数”约占全部正整数的．，为，加上1和4这两个非“智慧数”，在1～2672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672－670=2002(个)．所以第2003个“智慧数”是2673．

【例12】 （2008年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）．
【分析】 （法一）设这两个数分别是和，则与两个数的末两位相同，即与的末两位相同，所以是的倍数，个位只能是或．先设，则，当，时满足条件，但时较大的两位数大于不合题意．再设，可求得，时满足条件．
所以一共有、、三组答案．
（法二）,是的倍数，所以是
　　　　的倍数，符合条件的只有、、．

巩固精练

1． 两个连续自然数的平方和等于，又有三个连续自然数的平方和等于，则这两个连续自然数为_______，这三个连续自然数为_______．
【分析】 ， 所以这两个连续自然数为、，，所以这三个连续自然数为、、．

2． 有个自然数相加： (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么__________．
【分析】 ，，由于是个一位数，
与是两个相邻的整数，只有当，时满足题意，所以所求的为．

3． 已知有个约数，有个约数，有个约数，有多少个约数？
【分析】 设，有个约数，(为的约数个数)，于是有个约数，所以，有个约数，由此求得，，所以有个约数.

4． 、两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是18．已知有12个约数，有8个约数，那么______．
【分析】 ，、至少含有两个3和一个2．因为有12个约数，，所以可能是、或，有8个约数，，所以，于是只能是，故．

5． 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?
【分析】 本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质，相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．将题目中的数字质因数分解如下：，，，，，，，．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而、、均含质因数，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．

切忌这山看着那山高

兔子是世界上最善良的动物了，它只吃青草，什么也不伤害．可是，它却被很多动物伤害：狐狸、狼、老虎……这太不公平了！有一天，兔子就向上帝诉苦，它不想再做兔子了，要求上帝变一变．
上帝很仁慈，马上答应了兔子的要求：“好吧，你想变成什么?”兔子说：“变成一只鸟，在天上自由地飞来飞去，那些狐狸呀狼呀虎呀就再也抓不着我了．”
上帝把兔子变成了鸟．没过几天，鸟又来诉苦：“仁慈的上帝呀，我再也不想做鸟了！我们在天上飞，天上的老鹰能抓住我们；我们在树上筑巢，树上的毒蛇能咬死我们．这样的日子实在是太难过了!”
上帝问鸟：“你想怎么样呢?”鸟说：“我想变成大海里的一条鱼，海里没有老鹰，没有毒蛇，我们才能安心地过日子．”
上帝又把鸟变成了鱼．可是，鱼的处境似乎更糟，因为大海里到处都有“大鱼吃小鱼，小鱼吃虾米”的争斗．过了几天，鱼又要求上帝把它变成人……
千万不要与别人盲目攀比，不要羡慕别人所拥有的而看轻自己，不要用别人的标准来衡量自己．现在拥有的才是自己真正的财富，其实真正的强者从不在乎自己是什么，只在乎自己成功了什么．

珍惜纸张就是珍惜森林与河流

纸张需求量的猛增是木材消费增长的原因之一，全国年造纸消耗木材1000万立方米，进口木浆130多万吨，进口纸张400多万吨，这要砍伐多少树木啊！纸张的大量消费不仅造成森林毁坏，而且因生产纸浆排放污水使江河湖泊受到严重污染(造纸行业所造成的污染占整个水域污染的30%以上)．
礼节繁多的日本人近年来也在改变大量赠送贺年卡的习惯．一些大公司登广告声明不再以邮寄贺年卡表示问候．我国的大学生组织了“减卡救树”的活动，提倡把买贺卡的钱省下来种树，保护大自然．
把珍惜纸张体现在学习与生活中，是正反面都用的草稿纸、发电子贺卡、送到回收站的废纸等等细小的行为，森林会因此长青，河流会因此洁净．

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