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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法正确的是( )
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．如图，中，，，.将沿图示中的虚线剪开，按下面四种方式剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①② D．④
3．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
4．若点在抛物线上，则的值（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
5．如图，在中，， 将绕点逆时针旋转得到，其中点与 点是对应点，且点在同一条直线上；则的长为( )
A． B． C． D．
6．二次函数图象如图，下列结论正确的是（ ）
A． B．若且，则
C． D．当时，
7．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为( )
A． B． C． D．
9．如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
10．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，网格中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB′上，则的长为（ ）
A．π B． C．7π D．6π
12．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点(1,3)，则的值可以为
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=30°，BC=4，则⊙O的直径为___．
14．如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B'位置,A点落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC的度数是__.
15．如图，用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是___________．(中间横框所占的面积忽略不计)
16．当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2﹣1可取到的最大值为3，则m＝_____．
17．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是___________．
18．如图，某景区想在一个长，宽的矩形湖面上种植荷花，为了便于游客观赏，准备沿平行于湖面两边的纵、横方向各修建一座小桥（桥下不种植荷花）．已知修建的纵向小桥的宽度是横向小桥宽度的2倍，荷花的种植面积为，如果横向小桥的宽为，那么可列出关于的方程为__________．（方程不用整理）
三、解答题（共78分）
19．（8分）箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
20．（8分）如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧与弦所围阴影图形的面积；
（3）若，，求的长.
21．（8分）某商品的进价为每件10元，现在的售价为每件15元，每周可卖出100件，市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于20元），那么每周少卖10件.设每件涨价元（为非负整数），每周的销量为件.
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是多少元？
22．（10分）计算：
（1）sin30°-（5- tan75°）0 ； （2） 3 tan230°-sin45°＋sin60°．
23．（10分）正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
24．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．
（Ⅰ）若花园的面积是252m2，求AB的长；
（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
25．（12分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；
若k为负整数，求此时方程的根．
26．如图，取△ABC的边AB的中点O，以O为圆心AB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，若DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若DE=1，∠BAC=120°，则的长为 ．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可．
【详解】等弧所对的圆心角相等，A正确；
平分弦的直径垂直于这条弦(此弦不能是直径)，B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选A.
【点睛】
此题考查圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于掌握以及圆心角、弧、弦的关系
2、A
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项进行逐项判断即可．
【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②剪下的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，故两三角形相似；④剪下的三角形与原三角形对应边不成比例，故两三角形不相似；
综上所述，①②③剪下的三角形与原三角形相似．
故选：A．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键．
3、C
【分析】利用抛物线与x轴的交点问题确定方程ax2＋bx＋c＝0的解．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4、B
【分析】将P点代入抛物线解析式得到等式，对等式进行适当变形即可．
【详解】解：将代入中得
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数上点的坐标特征，等式的性质．能根据等式的性质进行适当变形是解决此题的关键．
5、A
【分析】根据旋转的性质说明△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，理由勾股定理求出CC′值，最后利用B′C=CC′-C′B′即可．
【详解】解：根据旋转的性质可知AC=AC′，∠ACB=∠AC′B′=45°，BC=B′C′=1，
∴△ACC′是等腰直角三角形，且∠CAC′=90°，
∴CC′=＝4，
∴B′C=4-1=1．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，在解决旋转问题时，要借助旋转的性质找到旋转角和旋转后对应的量．
6、D
【分析】根据二次函数的图象得到相关信息并依次判断即可得到答案.
【详解】由图象知：a<0，b>0，c>0，，∴abc<0，故A选项错误；
若且，∴对称轴为，故B选项错误；
∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点的横坐标小于3，
∴与x轴的另一个交点的横坐标大于-1，
当x=-1时，得出y=a-b+c<0，故C选项错误；
∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴函数的最大值为y=a+b+c，
∴，
∴，故D选项正确，
故选：D.
【点睛】
此题考查二次函数的图象，根据函数图象得到对应系数的符号，并判断代数式的符号，正确理解二次函数图象与系数的关系是解题的关键.
7、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.
8、B
【分析】用黄色小球的个数除以总个数可得．
【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为
故答案为B．
【点睛】
本题考查了概率公式,解答的关键在于确定发生事件的总发生数和所求事件发生数.
9、C
【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数．
【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图：
∵，
∴
∴
∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心
∴，
∵
∴
∴．
故选：C
【点睛】
本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．
10、D
【分析】将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.
【详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，
∴，
，
.
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．
11、A
【分析】根据图示知∠BAB′＝45°，所以根据弧长公式l＝求得的长．
【详解】根据图示知，∠BAB′＝45°，
的长l＝＝π，
故选：A．
【点睛】
此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．
12、B
【分析】把点(1,3)代入中即可求得k值.
【详解】解：把x=1，y=3代入中得
，
∴k=3.
故选：B.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，能理解把已知点的坐标代入解析式是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等边三角形，即可得到BO=CO=BC=BC=4，进而得出⊙O的直径为1．
【详解】解：如图，连接OB，OC，
∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，
又∵BC=4，
∴BO=CO=BC=BC=4，
∴⊙O的直径为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
14、70°
【解析】由旋转的角度易得∠ACA′=20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A′，即可得解．
【详解】解：由题意知：∠ACA′=20°；
若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′=90°，
得：∠A′=90°-20°=70°；
由旋转的性质知：∠BAC=∠A′=70°；
故∠BAC的度数是70°．
故答案是：70°
【点睛】
本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
15、
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【详解】解：设窗的高度为xm，宽为．
所以，即，
当x=2m时，S最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用．能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键．
16、﹣1.5或1．
【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值．
【详解】∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣(x﹣m)1+m1﹣1可取到的最大值为3，
∴当m≤﹣1时，x＝﹣1时，函数取得最大值，
即3＝﹣(﹣1﹣m)1+m1﹣1，得m＝﹣1.5；
当﹣1＜m＜3时，x＝m时，函数取得最大值，
即3＝m1﹣1，得m1＝1，m1＝﹣1（舍去）；
当m≥3时，x＝3时，函数取得最大值，
即3＝﹣(3﹣m)1+m1﹣1，得m＝（舍去）；
由上可得，m的值为﹣1.5或1，
故答案为：﹣1.5或1．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
17、70°
【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，
∴△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠ABB′=45°，
∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，
由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题考查旋转的性质，掌握旋转图像对应边相等，对应角相等是本题的解题关键．
18、
【分析】横向小桥的宽为，则纵向小桥的宽为，根据荷花的种植面积列出一元二次方程.
【详解】解：设横向小桥的宽为，则纵向小桥的宽为
根据题意，
【点睛】
本题关键是在图中，将小桥平移到长方形最边侧，将荷花池整合在一起计算.
三、解答题（共78分）
19、解：（1）见解析 （2）
【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，
由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 ．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）连接，利用圆的半径相等及已知条件证明，再根据直角三角形两锐角互余得到，再根据平角定义即可得到结论；
（2）连接，作于，根据及直角三角形的性质求出BD=2，根据垂径定理及三角函数求出，OF，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出OB，即可利用扇形面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积；
（3）先证明求出AB，再根据勾股定理求出半径，即可求得AE的长.
【详解】（1）证明：连接，如图1所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
则为的切线；
（2）连接，作于，如图2所示：
∵，，∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，∴，，
∴，
∴劣弧与弦所围阴影部分的面积
扇形的面积的面积；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，或（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴在中， ,
∴设的半径为，则，
∴,
∴,
∴.
【点睛】
此题是圆的综合题，考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角形相似的判定及性质定理，弓形面积，综合运用知识点，总结解题的方法.
21、（1），；（2）每件的售价是17元或者18元.
【分析】（1）根据“每件的售价每涨1元，那么每周少卖10件”，即可求出y与x的函数关系式，然后根据x的实际意义和售价每件不能高于20元即可求出x的取值范围；
（2）根据总利润=单件利润×件数，列方程，并解方程即可．
【详解】（1）解：与的函数关系式为
∵售价每件不能高于20元
∴
∴自变量的取值范围是；
（2）解：设每件涨价元（为非负整数），则每周的销量为件，
根据题意列方程，
解得：，
所以，每件的售价是17元或者18元．
答：如果经营该商品每周的利润是560元，求每件商品的售价是17元或者18元．
【点睛】
此题考查的是一次函数的应用和一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
22、（1）﹣（2）
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值，即可求解．
【详解】（1）sin30°-（5- tan75°）0=－1=﹣；
（2） 3 tan230°-sin45°＋sin60°
=3×（）2－×＋×
=1－1＋
=．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值和非零的数的零次幂，掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）1，详见解析．
【分析】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝41°，得到∠MDF为41°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝CF+AE；
（2）由（1）的全等得到AE＝CM＝2，正方形的边长为6，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【详解】（1）证明：
∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝41°，
∴∠FDM＝∠EDF＝41°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，
即，
解得：x＝1，
则EF＝1．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、三角形全等及勾股定理，关键是根据半角旋转得到三角形的全等，然后利用勾股定理求得线段的长．
24、（Ⅰ）13m或19m；（Ⅱ）当AB＝16时，S最大，最大值为：1．
【分析】（Ⅰ）根据题意得出长×宽=252列出方程，进一步解方程得出答案即可；
（Ⅱ）设花园的面积为S，根据矩形的面积公式得到S=x（28-x)=- ＋28x=–+196，于是得到结果．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB＝xm，则BC＝（32﹣x）m，
∴x（32﹣x）＝252，
解得：x1＝13，x2＝19，
答：x的值为13m或19m；
（Ⅱ）设花园的面积为S，
由题意得：S＝x（32﹣x）＝﹣x2+32x＝﹣（x﹣16）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝16时，S最大，最大值为：1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
25、（）；（）时，，．
【解析】试题分析：
（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可；
（2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可.
试题解析：
(1)由题意得Δ＞0，
即9－4(1－k)＞0，
解得k＞.
(2)若k为负整数，则k＝－1，
原方程为x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2.
26、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，利用等边对等角证得∠1=∠B，利用切线的性质证得OD∥AC，推出∠B=∠C，从而证明△ABC是等腰三角形；
（2）连接AD，利用等腰三角形的性质证得∠B=∠C=30，BD=CD=2，求得直径AB=，利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连结OD．
∵OB=OD，
∴∠1=∠B，
∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠C．
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90， 即AD⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120，
∴∠BAD=∠BAC=60，BD=CD，
∴∠B=∠C=30，
在Rt△CDE中，∠CED=90，DE=1，∠C=30，
∴CD=2DE=2，
∴BD=CD=2，
在Rt△ABD中，
，即，
∴AB=，
∴OA=OD=AB=，
∠AOD=2∠B=60，
∴的长为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式等知识点的综合运用．作出常用辅助线是解题的关键．
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