几道中考几何应用题的剖析.doc

数学作为一门基础学科，最终必须为人们生产、生活服务，体现它的实用性。作为中考在考查学生的理论知识的同时，也必然考查学生设计方案，动手操作等实践能力。特别是近几年，各地中考加大了作为能较好考查学生的实践能力的几何应用题。
几何应用题的难度与广度，使得作为一线的师生们势必将引起高度重视。
浏览了部分地区中考中的几何应用题，略有些粗浅认识，现归类如下，以飨读者。
一、以圆与圆外切等有关知识为主线，意在考查学生方案决择问题
例1. 2010年湖北恩施第23题：（1）计算：如图（1），直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长（用含a的代数式表示）.
（2）探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图（2）所示的方案一和如图（3）所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度ha和h a′（用含n、a的代数式表示）
（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（）
[解析]（1）∵⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相切 ∴O1O2=O2O3=O1O3=a
又∵O2A=O3A ∴O1A⊥O2O3
∵
（2）
（3）方案二装运钢管最多。
理由：方案一，如图（2）所示每层可放3.1÷0.1=31根，放置总根数31×31=961根.
方案二：如图（3）所示 第一层排放31根 第二层排放30根 依次循环
设钢管的放置层数为n，可得≤3.1
解得n≤35.68 n为正整数 ∴n=35
钢管放置总数：31×18+17×30=1068根
∵1068＞961
∴方案二装运钢管最多，最多可装运1068根
[点评]选择最优方案是人们生产生活中所追求的境界，而它的本质是数学知识作核心支持的。
[类题]1. 2008年甘肃白银，第24题.①是一盒刚打开的“兰州”牌香烟，图②是它的横截面（矩形ABCD），已知每支香烟底面圆的直径是8mm.
（1）矩形ABCD的长AB=___________mm;
（2）利用图③求矩形ABCD的宽AD.（，结果精确到0.1mm）
[类题]2. 2008年江苏南通第27题。在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面.他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）.
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由.
二、以扇形、圆锥的转化关系为切入点，意在考查几何方面的最值问题。
例2. 2010年黄冈市第10题。将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图所示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆住的底面半径是________cm.
[解析]第1步，扇形转化为圆锥，设圆锥底面半径为Rcm.
∴R=2
第2步，在圆锥中截取圆柱，设圆柱底面半径为x cm.
高EF=y cm ∴CF=2-x
在Rt△COD中，
∵OD∥EF ∴即
∴
∴
∴当x=1时，S有最大值.
[点评]本题是看似简单，实则是很复杂的综合几何应用题，考查知识点广，难度大。
[类题]2010年孝感市第10题。如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（ ）
A.8 B.
C. D.
[预测题]如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6。一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬到OB的中点C.则蚂蚁爬行的最短路程是__________.
三、以台风、管道等线路问题为载体，意在考查原始几何公理，以及三角形的相关知识。
例3 2009湖北黄冈市第18题：如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为km，且位于临海市（记作点B）正西方向km处.台风中心正以72km/h的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60km的圆形区域均会受到此次强台风的侵袭.
（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由.
（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？
[解析]（1）设台风中心运行的路线为射线MN，则°
过A作AH⊥MN于H.
则△AMH为等腰直角三角形.
∵ ，∴AH=61＞60
故滨海市不受到台风影响。
过B作BH1⊥MN于H1
∵，
∴＜60
故临海市会受到台风影响。
（2）以B为圆心，60半径作圆交MN于T1，T2.
则BT1=BT2=60.
在Rt△BT1H1中，
∴，即△BT1T2为等边三角形
∴T1T2=60
∴台风中心经过线段T1T2上所用时间为
[点评]“点到直线的距离，垂线段最短”、“两点之间，线段最短”等，这两个原始几何公理是解决这类问题的法宝，也是考查热点。
[类题]1. 2010年杭州市第23题。如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P320千米处.
（1）说明本次台风会影响B市；
（2）求这次台风影响B市的时间.
[类题]2. 2010年黄冈市第23题。如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向上，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向上，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.
四、以生活中的实物为模型，意在考查学生的想象能力，解决实际问题的能力。
例4. 2010年河北省第23题。某种在同一平面进行传动的机械装置如图①，图②是它的示意图.其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并有PQ带动连杆OP绕固定点O摆动，在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动.数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4dm，PQ=3dm，OP=2dm.
（1）点Q与点O间的最小距离是_____________dm；点Q与点O之间的最大距离是___________dm；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是__________dm；
（2）如图③，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的.”你认为他的判断对吗？为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小.”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是_________dm；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数.
[解析]（1）4，5，6
（2）不对，∵OP=2， PQ=3， OQ=4 且42≠22+32
∴OQ2≠PQ2+OP2 ∴OP与PQ不垂直
∴PQ与⊙O不相切.
（3）①3；
②由①中知，在⊙O上存在点P，P′到l的距离均为3，此时OP将不能再向下转动，如图，OP在绕点O左，右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P′OP.
易求∠OPP′=∠OP′P=30°， ∴∠POP′=120°
∴所求最大圆心角的度数为120°.
[点评]在本题（3）①中，体会当连杆PQ运动到PQ⊥l时，OP再不能向下转动，是难点，也是本题的精华，意在考察学生的想象能力，解决实际问题的能力.
[类题] 2010年江西省第23题。如图（1）所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图（2），当伞收紧时，点P与点A重合.当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动，当点P到达点B时，伞张得最开.已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=20分米.设AP=x分米.
（1）求x的取值范围；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）设阳光直射下，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留π）.
几何应用是一个广义的概念，它们都是先以几何知识为界面，然后再利用几何定理、公理为依据，最后运用方程、不等式、函数等代数知识解决实际问题。几何应用涉及的题型多、知识面广，一般作为中档偏难题进行考查。以上只有笔者的一些粗浅认知，望能抛砖引玉。让几何应用题更能贴近于生产、生活，最终服务于人类生产、生活的需要