【三维设计】(江苏专版)2013高中数学二轮专题-第一部分-专题15配套专题检测.doc

【三维设计】（江苏专版）2013高中数学二轮专题 第一部分 专题15配套专题检测

1.(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2.
答案：2
2．(2012·江西高考)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______________．
解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1|·|BF1|，即4c2＝(a－c)·(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，得e＝＝.
答案：
3.(2012·湖北高考)如图，双曲线－＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则
(1)双曲线的离心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.
解析：(1)由题意可得a＝bc，则a4－3a2c2＋c4＝0，
即e4－3e2＋1＝0，解得e2＝，故e＝.
(2)设∠B2F1A2＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，
＝＝＝＝e2－＝.
答案：(1)　(2)
4．(2012·北京高考)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．
解析：直线l的方程为y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入抛物线方程，得y2－y－4＝0，
解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，
故△OAF的面积为×1×2＝.
答案：
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2 ·＋≥0，则该椭圆离心率的取值范围为________．
解析：由题意得A(－a,0)，B(0，b)，M，F(c,0)，则＝，＝.
由2 ·＋2≥0可得c2＋2ac－2a2≤0，
解得e∈[－1－，－1＋ ]．
又e∈(0,1)，所以椭圆离心率的取值范围为(0，－1]．
答案：(0，－1]
6．若三角形三边所在直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为________．
解析：由已知条件可得三角形的三个顶点是(1,2)，(2,2)和(3,1)，作出图形可知该三角形为钝角三角形．而能够覆盖钝角三角形的面积最小的圆是以钝角的对边(最长边)为直径的圆，而最长边的两个端点坐标分别为(1,2)，(3,1)，故圆心坐标为，半径为，则所求圆的方程为(x－2)2＋2＝.
答案：(x－2)2＋2＝
7．(2011·浙江高考)设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)，(，0)，可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)．∵＝5，∴c＝，d＝.
∵点A、B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．
答案：(0，±1)
8．已知F1、F2分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，AM为∠F1AF2的平分线，则AF2＝________.
解析：根据角平分线的性质，＝＝.
又AF1－AF2＝6，故AF2＝6.
答案：6
9．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AF＋BF＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
解析：如图，过A，B分别作准线l的垂线AD，BC，垂足分别为D，C，M是线段AB的中点，MN垂直准线l于N，由于MN是梯形ABCD的中位线，所以MN＝.由抛物线的定义知AD＋BC＝AF＋BF＝3，所以MN＝，又由于准线l的方程为x＝－，所以线段AB中点到y轴的距离为－＝.
答案：
10．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，AB＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为________．
解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则焦点F，A，B，
所以AB＝2p＝12，所以p＝6.
又点P到AB边的距离为p＝6，
所以S△ABP＝×12×6＝36.
答案：36
11．(2012·陕西高考)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
由＝2，得x＝，y＝.
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，　
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
12．给定椭圆C：＋＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(，0)，且其短轴上的一个端点到F的距离为.
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．
解：(1)由题意可知c＝，b2＋c2＝()2，
则a＝，b＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
易知准圆半径为＝2，
则准圆方程为x2＋y2＝4.
(2)①当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设l1的斜率不存在，
因为l1与椭圆只有一个公共点，
则其方程为x＝±，
当l1的方程为x＝时，
此时l1与准圆交于点(，1)，(，－1)，
此时经过点(，1)或(，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1或y＝－1，
即l2为y＝1或y＝－1，显然直线l1，l2垂直；
同理可证直线l1的方程为x＝－时，直线l1，l2也垂直．
②当l1，l2的斜率都存在时，设点P(x0，y0)，
其中x＋y＝4.
设经过点P(x0，y0)与椭圆只有一个公共点的直线为y＝t(x－x0)＋y0，
由消去y，得
(1＋3t2)x2＋6t(y0－tx0)x＋3(y0－tx0)2－3＝0.
由Δ＝0化简整理得，(3－x)t2＋2x0y0t＋1－y＝0.
因为x＋y＝4，
所以有(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0.
设直线l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆只有一个公共点，
所以t1，t2满足方程(3－x)t2＋2x0y0t＋x－3＝0，
所以t1·t2＝－1，即l1，l2垂直．
综合①②知，l1，l2垂直．
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