垂径定理的性质及其应用.doc

第一课时 垂直于弦的直径的性质及其应用
一、 目标要求
1、 理解圆及其有关概念，知道弧、弦、直径之间的关系。
2、 能用垂直于弦的直径的性质解决简单的计算问题。
二、 重难点
垂径定理及其推论的相关计算。
三、 教学过程
一、实验活动，提出问题：
　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
　　二、垂径定理及证明：
　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
　　求证：AE=EB， = ， = ．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．
　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论：
　　 CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .
　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，
避免学生记混.

三、应用和训练
　　例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
　　分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
　　解： 略．
　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
　　关系：r = h+d；　r2 = d2 + (a/2)2
　　例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
　　练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．
　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
四、 小结反思
五、 课后作业
六、 反馈信息