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,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,12 当代数学选论,第1页,19,世纪末到,20,世纪初，数学迎来了一个激烈变革时期首先人们开始接收康托尔集合论作为统一数学基础，但很快又在其中发觉有悖论，从而出现了严重数学危机另首先，作为未来数学主要方法,公理化方法由希尔伯特所奠定，他在,1899,年发表,几何学基础,对于二十世纪数学给予很大启示在他推进下，形成了一个小小公理化热潮,第2页,20,世纪数学有以下特点：,1,数学不再只是数论、代数、几何、分析几个相对独立部分，而是伴随集合论出现涌现出大量新学科、新分支、新理论,比如：数学基础与数理逻辑，抽象代数学，普通拓扑学、代数群理论、测度与积分论、泛函分析、随机过程论等等,第3页,2,数学不再像过去那样只是处理特殊问题、寻求特殊算法学科，而是在结构概念下有统一对象、统一方法、有本身独立问题独立学科，它不但研究数与形，而主要是研究各种结构，其中尤其是代数结构、拓扑结构、序结构，以及这些结构相互混合产生各种多重结构,第4页,3,数学内容越来越复杂、越抽象,但没有使得它脱离实际，而且以数学本身发展出来许多观念给物理学、化学、生物科学等提供了有力工具，比如黎曼几何学对于广义相对论，泛函分析对于量子力学，群表示论对于原子结构都好像是定做工具,第5页,4,伴随电子计算机创造，不论是纯粹数学还是应用数学都受到电子计算机强烈影响，许多应用数学问题能够进行计算机试验，而逐步得到处理许多纯粹数学问题也在计算机帮助之下得到证实，其中最突出就是,1976,年阿佩尔及哈肯籍助计算机证实四色猜测,第6页,12.1 泛函分析诞生,关于泛函理论在,19,世纪末,20,世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉 和法国数学家阿达马在变分法研究中开创“泛函”这个名称就是由阿达马首先采取，伏尔泰拉称之为线函数，即曲线函数,变分法经典问题是求积分,极值，其中,y(,x),本身是一个可变函数，这么,J(,y,),就能够看作是“函数函数”,(,对每一个函数,y,有一个,J(y),值相对应,),，也就是所谓“泛函”,第7页,泛函分析发展可分三个时期：,第一阶段是创始时期，大约从,19,世纪,80,年代到,20,世纪,20,年代开始是意大利一些数学家引进泛函演算，尤其是他们引线性算子概念以后法国数学家发展了泛函演算阿达马为了研究偏微分方程而考虑了闭区间,0,，,1,上全体连续函数所组成族，发觉这些函数组成一个无穷维线性空间，并于,1903,年定义了这个空间上函数，即泛函,第8页,第二阶段泛函分析正式发展成为一门学科，对泛函分析贡献最出色是巴拿赫他深入把希尔伯特空间推广成巴拿赫空间，用公理加以刻划，形成了系统理论他在,1932,年出版,线性算子论,一书统一了当初泛函分析众多结果，成为泛函分析第一本经典著作,第9页,第三阶段是泛函分析成熟阶段从,40,年代起泛函分析在各方面取得突飞猛进发展施瓦兹系统地发展了广义函数论，它现在已成为数学中不可缺乏主要工具,第10页,12.2 抽象代数学确实立,德国女数学家,E,诺特,(E,Noether,，,18821935),被公认为“近世代数学之母”在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这么或那样贡献，戴德金不但引进大多数抽象代数概念,如理想、模、环、格等，而且初步研究它们结构及分类,第11页,身为女性，她在,18,岁那年无缘进入大学校园深造。,1900,年，德国还没有大学愿意接收女学生。因为父亲在爱尔兰根大学担任数学教授，在他努力下，诺特获准在爱尔兰根大学旁听语言、历史和数学课程。,3,年之后，旁听生经过了国家毕业考试。直到爱尔兰根大学改变招生政策后，诺特才在,1904,年成为数学系全日制学生。全系,47,个学生，她是唯一女生。,第12页,1908,年,26,岁诺特被授予数学博士。她成为德国第一个取得博士学位女性，她论文第二年发表在,纯粹和应用数学,杂志上。,即便如此，诺特在德国大学也找不到一个职位谋生。爱尔兰根大学接纳了她，不过是作为“非正式、无工资”组员。在父亲生病时，诺特会替父亲代课。更多时候是跟同事们讨论数学问题。她发表相关不变量论论文，很快便为她赢得了声名。,第13页,1915,年，希尔伯特邀请诺特加入哥廷根大学研究小组，研究广义相对论。希尔伯特试图为诺特争取一个正式职位。遭到了一些教授反对。,“这里是学堂而不是澡堂！”在他看来，能否成为教师依据是一个人能力，而非性别。希尔伯特没能为诺特争取到正式职位。不过，教育部门同意诺特能够作为希尔伯特助手教授一些课程，不过“没有工资”。,第14页,在哥廷根十几年里，她发表了多篇论文，经过研究群、环、域、理想和模等抽象结构，深刻地改变了代数学研究重心，被誉为抽象代数奠基人。,在她简陋寓所里，诺特不但为那些数学天分突出学生煮饭，还先后指导多名学生完成博士论文，其中包含中国最早从事抽象代数研究数学家曾炯。这些被称作“诺特孩子”博士，有十几位以后成为著名数学家。,第15页,直到,1923,年，已担任副教授达,3,年之久诺特，在同事们极力争取下，才有了一份微薄工资。而在,5,年之前，诺特就在自己发表里程碑式论文中，提出了“诺特定理”，这被视为奠定广义相对论一块基石，为爱因斯坦理论提供了坚实数学基础。,第16页,数学界同行们，在,1932,年给了这个女人尤其荣耀。这一年,9,月，国际数学大会在瑞士召开，诺特受到尤其邀请，向与会,800,多名数学家作了一个小时学术汇报。,第17页,回到德国很快，犹太人诺特发觉自己已无容身之地。,1933,年,4,月,26,日，纳粹政府在报纸上发表通告，哥廷根大学,6,名犹太教授被勒令离开，诺特是其中之一。她教书许可证，被政府部门收回。然而，在她寓所里，她学生还是前来找他们老师诺特请教和讨论问题，直至这年,9,月诺特移居美国，继续她数学研究。,第18页,一场手术让这个非凡女人在,1935,年,4,月停顿了前进脚步。她意外离世，引来数学界众声惋惜。,数年报,杂志不顾纳粹政府干涉，刊载长篇文章，对诺特一生和工作给予了赞赏。,爱因斯坦则在,纽约时报,上称诺特为“有史以来最伟大女数学家”。,第19页,抽象代数学研究对象与研究目标与经典代数学有着根本不一样：经典代数学主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学目标则是研究含有代数结构性质，这些对象是用公理定义,第20页,1,域论,从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们运算,加法和乘法这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素,(0),对乘法有逆元素,(,倒数,),全部有理数集合是人们最早认识域，以后也知道实数集合、复数集协议样满足上述公理，它们也是域到,19,世纪末，人们知道其它域例子还有有理函数域及代数函数域,第21页,2,环论,环概念原始雏型是整数集合它与域不一样之处于于对于乘法不一定有逆元素整数推广,代数整数含有整数许多性质，也有许多不一样之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这造成理想数概念产生戴德金在,1871,年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中一些特殊子环这开始了理想理论研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去,第22页,3,群论,19,世纪末抽象群开始成为独立研究对象，当初主要问题仍是以置换群为模式有限群，问题包括列举给定阶数全部群,20,世纪有限群论中心问题是有限单群分类,70,年代，在群结构研究上有了新突破，最终造成,1981,年，有限单群分类彻底完成，不过全文需要,1,万页以上，这是各国上百位群论教授通力合作结果,第23页,12.3,拓扑学起源与发展,拓扑学研究几何图形连续性质，即在连续变形下保持不变性质,(,允许拉伸、扭曲，但不能割断和粘合,),拓扑学思想萌芽能够追溯到欧拉哥尼斯堡七桥问题,(1736,，如图，要求设计一条散步路线，使河上每桥走过一次且只过一次,),研究，高斯也研究过一些与拓扑学相关问题,(,如在他关于代数基本定理第一个证实中,),，他们均称这类问题为“位置几何”,.,哥尼斯堡七桥,第24页,“拓扑学”,(Topology),这一术语则是高斯学生李斯廷,(J.B.Listing),首先引用,(1847),，源于希腊文 位置、形势但拓扑学本质上是属于,20,世纪抽象学科,庞加莱于,18951905,年间在同一主题,位置分析,下发表一组论文，开创了当代拓扑学研究庞加莱将几何图形剖分成有限个相互连接基本片，并用代数组合方法研究其性质用这么观点加以研究拓扑学叫做组合拓扑学,第25页,1926,年，,E.,诺特首先洞察到群论在组合拓扑学研究中主要意义在她影响下，,霍普夫,(H.Hopf)1928,年定义了同调群,;,1940,年左右，科尔莫戈罗夫和亚历山大,(J.W.Alexander),又定义了上同调群,同调群,(,包含与之对偶上同调群,),引进就将拓扑问题转化为代数问题,第26页,1942,年，美国数学家莱夫谢茨,(S.Lefschetz),代数拓扑学,一书出版，标志着代数拓扑学这一分支学科正式形成,在采取组合与代数观点同时，数学家们早就认识到点集论也是连续性研究中基本路径，从而建立了所谓“点集拓扑学”或“普通拓扑学”,第27页,12.4 应用数学崛起,第二次世界大战前后，纯粹数学、应用数学及计算数学和它们之间关系有了巨大改变，这表现在：,1,应用数学领域大大扩展了,2,伴随电子计算机出现，从而使应用数学取得越来越多结果,第28页,12.4.1,运筹学,运筹学,(Operations Research),原意为“作战研究”例田忌赛马,.,第二次世界大战中英国空军发觉防空雷达送来信息需要加以协调，才能使雷达、战斗机系统在配合上到达满意作战效果当初负责英国海岸雷达系统罗,(A,P,Rowe),提议进行这方面研究并起名为“,Operational Research”,，英国空军还成立了专门运筹小组很快美国军队也开展了类似研究并改称“,Operations Research”,（运筹一词，出自,汉书,高帝本纪,：“运筹帷幄之中，决胜千里之外。”）,第29页,运筹研究在,1940,年英国对付德军空袭战斗中建有奇功，在搜寻潜艇、深水炸弹投放方案、兵力分配等方面也都发挥了功效到二战结束时，在英、美等国军队中服务运筹学工作者已超出,700,人。战后因为这些人提倡，运筹学被引入民用部门，研究内容不停扩充而形成为一门蓬勃发展新兴应用学科当前，它已包含有数学规划论、博奕论、排队论、决议分析、图论、等许多分支,数学规划论是运筹学中一个基本而又庞大领域，其中线性规划论则是发展最早和比较成熟分支,第30页,有一类实际问题需要将一些对象最大化,(,如利润、安全等,),或最小化,(,如支出、风险等,),，数学规划就是为这类实际问题提供数学模型一个方法，详细地说，数学规划寻求函数,在要求 必须满足一定条件时极小,(,或极大,),值 称为“目标函数”，必须满足条件称为“约束条件”假如目标函数和约束条件都是线性，就叫线性规划，即,约束条件为,线性规划问题在孕育整个运筹学理论方面饰演了主要角色，而且至今仍是这门学科中心课题,第31页,线性规划先驱者是前苏联数学家康托洛维奇，他在,1938,年就给出了像寻求用,8,种型号机床完成,5,种类型产品加工最合理运行计划这么问题数学处理，,1939,年发表,生产组织与计划中数学方法,，是最早线性规划著作,第32页,1947,年，美国丹齐克又独立地发展了线性规划理论，线性规划这一名称就是他首先使用丹齐克设计了一个叫单纯形法算法，作为求解线性规划问题计算工具线性规划问题约束条件在几何上对应于一个凸多面体,(,也叫多胞形,),，单纯形法实质就是从多胞形一个顶点出发，然后在多胞形表面沿着边从一个顶点向另一个顶点移动，每抵达一个新顶点，按照一定判别方法来决定终究取哪条路线继续移动，直至抵达最大,(,小,),化顶点,第33页,单纯形算法属于指数型算法，即一个“非有效”算法因为在一些实际线性规划问题中目标函数和约束条件往往包括成千上万个变量，所以数学家们还希望能找到更加快计算方法直观上看，假如不是沿多胞形表面边前进，而是直接穿过多胞形内部去寻找最优点应该更加快所以从,1970,年代起，数学家们就开始寻找这么“内点法”,第34页,经过探讨目标函数和约束条件不一样情况，数学家们得到了线性规划论沿不一样方向推广假如目标函数或约束条件中出现非线性表示，就称为非线性规划,1951,年,美国,库恩,(H.W.Kuhn),和塔克尔,(A.W.Tucker),发表论文,非线性规划,，能够看作是这一分支学科发端,.,第35页,继线性规划和非线性规划之后建立另一个数学规划论同时也是运筹学基本分支是动态规划，其奠基人是贝尔曼,(R.Bellman,，,1920-1984),贝尔曼,1957,年发表专著,动态规划,，标志着动态规划学科建立,第36页,12.4.2,控制论,控制论也是在第二次世界大战期间新兴应用学科控制论创始人维纳,(N.Wiener,，,18941964),，在第二次世界大战中接收了一项与火力控制相关研究：设计一个能有效地指挥高射炮装置,飞机高速度使以往火力瞄准方法都显得无用为了击中目标，要使炮弹与射击目标在未来某个时刻同时抵达空间某处所以必须找到某种能预测飞机未来位置方法。这就是所谓“预报问题”,(predicting),，是维纳控制论主要起源之一,第37页,控制论另一个实际起源是通信“滤波问题”,(filtering),在通信过程中一个信息往往被外来干扰,(,噪声,),所混杂长久以来，设计一个能过滤噪声、复原信息装置,滤波器，便是通信工程师和数学家合作一个课题，维纳从,1930,年代起就对这方面问题给予关注,第38页,在维纳之前，预报问题与滤波问题一直被看作不一样问题分别讨论维纳独到之处恰恰在于他看出了这两类问题与其它一些类似问题能够用统计观点给出统一处理，从而建立起控制理论维纳注意到，一项信息，不论它是以电、机械还是神经方式传送，都能够看作时间序列预报问题，在数学上相当于用某种算符去运算某个信息过去以预测其未来；而滤波问题则相当于用某种算符作用于被混杂信息以恢复原来信息,第39页,维纳认识到，在大多数情形，完全准确预报与复原都是不可能他提出来任务，是寻求问题最优解“最优”意义是使产生结果与理论解之间误差最小，而这里“误差”是用一个均方差表示式来衡量这么维纳就将预报、滤波等问题求解归结为特定数学算符最优设计,第40页,为了建立控制论，维纳从,1940,年代初开始，与电工学家、生理学家、计算机设计家、通信工程师以及其它数学家展开了极其广泛合作,(,在这些合作者中有一位是维纳学生，来自中国滤波器设计家李郁荣,),1948,年，维纳终于出版了他名著,控制论,(Cybernetics),，宣告了控制论这门学科诞生,维纳,维纳在创造控制论以前已经是大名鼎鼎数学家了他对概率论布朗运动研究使人们经常把这类运动称为“维纳过程”，这些纯数学结果，无疑是他建立控制论坚实理论基础,第41页,维纳,(,18941964),是数学史上一名神童，他,14,岁大学毕业，同时成为哈佛大学硕士；,18,岁取得博士学位；,1933,年当选为美国国家科学院院士维纳不但是一位出色学者，他正义感和国际精神也赢得了广泛尊敬第二次世界大战期间，他竭尽全力帮助遭希特勒迫害犹太科学家到美国工作谋生；他也是美国新英伦地域中国救援委员会主动组员，做了包含募捐在内许多支援中国人民抗日战争事情,第42页,他认识到像控制论这么新科学发展，“对于为善与作恶，都有没有穷可能性”尽管他在二战期间用自己科学知识与聪明才智处理了许多与战争相关难题，但战后他却公开发表申明，不再接收美国政府下达有军事目标研究任务，这在当初引发了震动,第43页,在,20,世纪形成与数学亲密相关应用学科中，还应该提到信息论,(information theory),信息论创始人是美国人香农,(C.E.Shannon),，他,1948,年发表“通信数学理论”等论文，以概率论为基础研究信息量与通信编码信息论以后则发展成更普通关于信息加工、存放与分析理论,第44页,12.4.3,密码学发展简史,密码学应用历史能够追溯到几千年前，能够说，自从人类社会有了战争，就有了保密通信，也有了密码应。不过在,1949,年之前，密码研究与应用一直没有形成一门科学，仅是一门文字变换技术，因而只能称为密码术，,1949,年，,Shannon,发表了“保密系统通信理论,”,一文，为密码学发展奠定了坚实数学基础，于是，密码技术研究迈上了科学轨道,.,第45页,密码学发展大致分为三个阶段：,古典密码时期,近代密码时期,当代密码时期,第46页,古典密码时期,起始时间：从古代到,19,世纪末长达几千年。,密码体制,:,纸 笔或者简单器械实现代换及置换,.,技术工具：手工,.,通信伎俩：信使,.,经典密码：凯撒密码,.,第47页,近代密码时期,起始时间：从,20,世纪初到,50,年代，既一战到二战时期,.,密码体制：手工或电动机械实现复杂代换及置换,.,技术工具：机械,.,通信伎俩：电报通信,.,经典密码：转轮密码,.,第48页,当代密码时期,起始时间：从,20,世纪,50,年代至今。,密码体制：分组密码、序列密码以及公开密钥密码，有坚实数学理论基础。成为一门科学,.,技术工具：计算机。,通信伎俩：无线通信、有线通信、计算网络等,.,经典密码：,DES,、,AES,、,RSA,等。,第49页,12.4.4,含糊数学,1965,年，美国数学家扎德,(L.A.Zadeh),发表论文,含糊集合,(Fuzzy Sets),，开辟了一门新数学分支,含糊数学,含糊集合是经典集合概念推广在经典集合论,(,康托尔集合论,),中，每一个集合都必须由确定元素组成，元素对于集合隶属关系是明确这一性质能够用特征函数 来描述：,扎德将特征函数改成所谓“隶属函,数”,：，这里 称为“含糊集合”，称为 对 “隶属度”经典集合论要求隶属度只能取,0,，,1,二值，含糊集合论则突破了这一限制，表示百分之百隶属于 ；,表示不,属于,.,第50页,还能够有百分之二十隶属于 、百分之八十隶属于 ，,等等这么含糊集合对因为外延含糊而造成事物是非判断上不确定性提供了数学描述,因为集合论是当代数学主要基石，所以含糊集合概念对数学产生了广泛影响，人们将含糊集合引进数学各个分支从而出现了含糊拓扑、含糊群论、含糊测度与积分、含糊图论等等，它们一起形成通常所称含糊数学,第51页,实际上，含糊性是事物复杂性表现一个方面，伴随电子计算机发展以及它对日益复杂系统应用，处理含糊性问题要求也比以往显得突出，这是含糊数学产生背景因为人脑思维包含有准确与含糊两个方面，所以含糊数学在人工智能模拟方面含有主要意义,含糊数学已被应用于教授系统、知识工程等方面，与新型计算机研制有亲密关系,含糊数学是,20,世纪数学发展中新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将伴随计算机科学发展而深入发展,第52页,