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离散数学离散数学II群、环、域、格与布尔代数群、环、域、格与布尔代数群、环、域、格与布尔代数群、环、域、格与布尔代数李占山李占山李占山李占山计算机楼计算机楼计算机楼计算机楼B522B522E-mail:E-mail: 1/77课程安排课程安排总课时：总课时：64讲课课时：讲课课时：64(1-16周周,每七天每七天4课时课时)教材：离散数学孙吉贵等教材：离散数学孙吉贵等 -高等教育出版社高等教育出版社 参考教材参考教材:1离散数学离散数学-学习指导与习题解答孙吉贵等学习指导与习题解答孙吉贵等 -高等教育出版社高等教育出版社2代数结构与组合数学屈婉玲编著代数结构与组合数学屈婉玲编著-北京大学出版北京大学出版社社3 离散数学习题集离散数学习题集(抽象代数分册抽象代数分册)张立昂编著张立昂编著-北京大学出版社北京大学出版社4应用近世代数胡冠章编著应用近世代数胡冠章编著 -清华大学出版清华大学出版社社2/77课程主要性课程主要性v离散思想离散思想v考研课程考研课程v计算机等级考试课程计算机等级考试课程v程序员考试课程程序员考试课程v抽象思维能力培养抽象思维能力培养3/77第一讲第一讲 内容提要内容提要 I.群群论论出出现现及及其其创创始始者者Galois、Abel,环论、域论与布尔代数环论、域论与布尔代数II.近世代数应用近世代数应用III.代数运算及其性质代数运算及其性质IV.代数系统代数系统4/77I.群论出现群论出现 群论是当代数学非常主要分支群论是当代数学非常主要分支,群论产生开群论产生开端非常平凡端非常平凡,不过群论创建者却充满了传奇不过群论创建者却充满了传奇.这要从代数方程求解方法谈起。代数方程根这要从代数方程求解方法谈起。代数方程根式解法研究有很悠久历史。大家知道，一个式解法研究有很悠久历史。大家知道，一个实系数代数多项式在实数域中只要能分解成实系数代数多项式在实数域中只要能分解成一些实系数一次因式与二次因式乘积，则利一些实系数一次因式与二次因式乘积，则利用我们熟知二次方程用我们熟知二次方程:5/77与一次方程解得到原方程解。为此，与一次方程解得到原方程解。为此，人们人们试图对次数更高方程得到类似求解公式试图对次数更高方程得到类似求解公式.不过，因为普通三次方程相对于二次方程不过，因为普通三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所以古代数学家在求根公式要复杂得多，所以古代数学家在这方面努力都未能取得成功。这方面努力都未能取得成功。二次方程求根公式二次方程求根公式6/77直至直至16世纪形如世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0三次方程求三次方程求根公式才被意大利数学家费罗根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和塔和塔尔塔里亚尔塔里亚(Tartalia)彼此独立发觉。彼此独立发觉。以后，意大利数学和物理学家卡尔达塔以后，意大利数学和物理学家卡尔达塔(Cardano)在得知塔氏创造后，央求塔氏将在得知塔氏创造后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密条求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密条件下同意了。不过卡尔达塔却背弃诺言，件下同意了。不过卡尔达塔却背弃诺言，1545年将塔氏关于三次方程解法发表在自己年将塔氏关于三次方程解法发表在自己著作大术著作大术(Ars Magna)一书中一书中.在三次方在三次方程求解问题处理后，普通四次方程很快被意程求解问题处理后，普通四次方程很快被意大利数学家费拉里大利数学家费拉里(Ferrari)所处理，也发表所处理，也发表在这部书中。在这部书中。7/77当普通二、三、四次方程求根公式在不一样时代被处理当普通二、三、四次方程求根公式在不一样时代被处理当普通二、三、四次方程求根公式在不一样时代被处理当普通二、三、四次方程求根公式在不一样时代被处理之后，人们毫不犹豫地继续寻求普通五次及以上方程求之后，人们毫不犹豫地继续寻求普通五次及以上方程求之后，人们毫不犹豫地继续寻求普通五次及以上方程求之后，人们毫不犹豫地继续寻求普通五次及以上方程求根公式。根公式。根公式。根公式。但事情发展似乎突然停了下来但事情发展似乎突然停了下来但事情发展似乎突然停了下来但事情发展似乎突然停了下来.即使有很多数学家作出了努力即使有很多数学家作出了努力即使有很多数学家作出了努力即使有很多数学家作出了努力,其中包含其中包含其中包含其中包含1818世纪中叶伟世纪中叶伟世纪中叶伟世纪中叶伟大瑞士数学家欧拉大瑞士数学家欧拉大瑞士数学家欧拉大瑞士数学家欧拉(Euler),(Euler),经过三个世纪之久依然没经过三个世纪之久依然没经过三个世纪之久依然没经过三个世纪之久依然没有一个人能找出五次方程求根公式有一个人能找出五次方程求根公式有一个人能找出五次方程求根公式有一个人能找出五次方程求根公式.因为在漫长岁月里久久找不到普通五次方程根式解法，因为在漫长岁月里久久找不到普通五次方程根式解法，于是数学家们开始进行反思。于是数学家们开始进行反思。拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)在在在在17701770年年年年猜测猜测猜测猜测:“这么求根公式不存在这么求根公式不存在这么求根公式不存在这么求根公式不存在.他预见到普通方程可解性问他预见到普通方程可解性问他预见到普通方程可解性问他预见到普通方程可解性问题最终将归结到关于诸根一些排列置换问题题最终将归结到关于诸根一些排列置换问题题最终将归结到关于诸根一些排列置换问题题最终将归结到关于诸根一些排列置换问题”。8/77群论创始人伽罗华和阿贝尔群论创始人伽罗华和阿贝尔Lagrange洞察力启发了年轻洞察力启发了年轻Abel与与Galois，他们，他们在继承了在继承了Lagrange留下宝贵遗产基础上，各自作留下宝贵遗产基础上，各自作出了主要贡献。出了主要贡献。Abel（N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代，挪威数学家，近代数学发展先驱者。数学发展先驱者。1802年年8月月5日出生于一个牧师日出生于一个牧师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。他岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学名著，中课时被誉为岁自学数学名著，中课时被誉为“数学迷数学迷”。他数学老师霍尔姆博发觉了阿贝尔数学天赋，不他数学老师霍尔姆博发觉了阿贝尔数学天赋，不停给予指导与资助。停给予指导与资助。9/77阿贝尔1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究工作。做研究工作。1825年大学毕业后，取得奖年大学毕业后，取得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。学金前往柏林和巴黎留学并谋职。在柏林他认识了数学家克雷尔（在柏林他认识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并成为好朋友，他勉励克雷尔创办了著，并成为好朋友，他勉励克雷尔创办了著名数学刊物纯粹与应用数学杂志，名数学刊物纯粹与应用数学杂志，1826年出第一卷登载了阿贝尔年出第一卷登载了阿贝尔7篇文章，其篇文章，其中就相关于普通五次方程不能用根式求解中就相关于普通五次方程不能用根式求解文章，以后各卷也有他很多文章。文章，以后各卷也有他很多文章。10/77阿贝尔当阿贝尔著作发表时，引发了全部数学家惊当阿贝尔著作发表时，引发了全部数学家惊奇。在这个著作中阿贝尔证实了这么一个定奇。在这个著作中阿贝尔证实了这么一个定理：理：“假如方程次数假如方程次数n 5，而且系数被看成，而且系数被看成字母，那么任何一个由这些系数所组成根式字母，那么任何一个由这些系数所组成根式都不可能是该方程解。原来在三个世纪以来都不可能是该方程解。原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成功，只因用根式去解这种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有解。为这个问题就没有解。1826年阿贝尔又到了巴黎，碰到了当初著名年阿贝尔又到了巴黎，碰到了当初著名数学家勒让德和柯西。当初他写了一篇关于数学家勒让德和柯西。当初他写了一篇关于椭圆积分论文，提交给法国科学院，但不幸椭圆积分论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只好又返回柏林。没有得到重视，只好又返回柏林。11/77阿贝尔克雷尔为他谋讨教授职务，没有成功。克雷尔为他谋讨教授职务，没有成功。1827年年5月阿贝月阿贝尔贫病交加地回到挪威。第二年尔贫病交加地回到挪威。第二年4月月6日患结核病不幸日患结核病不幸逝世，年仅逝世，年仅27岁。就在他逝世后两天后，克雷尔来信岁。就在他逝世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接收这一职务了。阿贝尔已无法前往接收这一职务了。阿贝尔逝世前很快，人们才认识到他价值。阿贝尔逝世前很快，人们才认识到他价值。1828年，年，有有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供适当科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿供适当科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面成就是多方面，除贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面成就是多方面，除五次方程外，他还研究了更广泛一类代数方程，后人五次方程外，他还研究了更广泛一类代数方程，后人发觉这就是含有交换伽罗华群方程。后人为了纪念他，发觉这就是含有交换伽罗华群方程。后人为了纪念他，就把交换群称为就把交换群称为Abel群群12/77阿贝尔1824年年,挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔(Abel)证实了拉格证实了拉格朗日看法朗日看法.阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高斯相关方程式论著作。开始时，他利用高斯斯相关方程式论著作。开始时，他利用高斯处理二项式方程详细方法去研究五次方程，处理二项式方程详细方法去研究五次方程，曾一度认为能用根式解出五次方程，但很快曾一度认为能用根式解出五次方程，但很快他发觉其中存在问题。他发觉其中存在问题。13/77阿贝尔这时，这时，Abel敏感地猜测到普通五次方程不可敏感地猜测到普通五次方程不可能用根式求解结论。能用根式求解结论。接着，接着，Abel成功地证实了一条定理，今天称成功地证实了一条定理，今天称之为之为Abel定理。由此定理，定理。由此定理，Abel就证实了：就证实了：“高于四次普通方程不可能有普通形式根式高于四次普通方程不可能有普通形式根式解解”。这是数学史上一项主要成就。这是数学史上一项主要成就。14/77阿贝尔不过即使没有通用公式不过即使没有通用公式,有些特殊五有些特殊五 次方程有求根公式次方程有求根公式,那么自然会问那么自然会问:怎样判怎样判定一个给定五次方程是否有这么求根公式定一个给定五次方程是否有这么求根公式?对含有根式解代数方程特征问题，阿贝尔对含有根式解代数方程特征问题，阿贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸是，不幸是，1829年死神夺去了年仅年死神夺去了年仅26岁他，使他即将岁他，使他即将完成光芒事业功亏一篑。完成光芒事业功亏一篑。15/77挪威天才数学家阿贝尔(Abel)16/77伽罗华在这一时期在这一时期在这一时期在这一时期,恰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这恰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这恰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这恰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题个问题个问题个问题,而且最终取得了成功而且最终取得了成功而且最终取得了成功而且最终取得了成功,他就是伽罗华他就是伽罗华他就是伽罗华他就是伽罗华(Galois).(Galois).伽罗华伽罗华伽罗华伽罗华18111811年年年年1010月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊.只活了只活了只活了只活了2020岁，而岁，而岁，而岁，而他所留下著作总共只有他所留下著作总共只有他所留下著作总共只有他所留下著作总共只有6060页，但却以自己天才创造，页，但却以自己天才创造，页，但却以自己天才创造，页，但却以自己天才创造，如同划破黑夜长空一颗彗星如同划破黑夜长空一颗彗星如同划破黑夜长空一颗彗星如同划破黑夜长空一颗彗星GaloisGalois出现，开创了出现，开创了出现，开创了出现，开创了置换群论研究置换群论研究置换群论研究置换群论研究.可是这位年轻人取得非凡结果可是这位年轻人取得非凡结果可是这位年轻人取得非凡结果可是这位年轻人取得非凡结果,在他因决斗逝世在他因决斗逝世在他因决斗逝世在他因决斗逝世1111年年年年后才开始得到数学界认可后才开始得到数学界认可后才开始得到数学界认可后才开始得到数学界认可.伽罗华幼年受过良好教育，伽罗华幼年受过良好教育，伽罗华幼年受过良好教育，伽罗华幼年受过良好教育，1212岁上中学，岁上中学，岁上中学，岁上中学，18271827年年年年1616岁岁岁岁就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西著作。就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西著作。就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西著作。就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西著作。17/77伽罗华很快，他碰到了数学教师里查德，里查德很快就发觉了伽罗华数学才能，在他指导下，伽罗华开始研究代数方程理论，1828年17岁时高中未毕业便有重大发觉，写出了关于循环连分数尤其是五次代数解法主要论文。1829年18岁他中学毕业参加声望很高巴黎高等工科大学入学考试时,伽罗华失败了,不得不进入较普通师范学校.18/77伽罗华1829年，他把自己所写论文送交法国科年，他把自己所写论文送交法国科学院审查，同年学院审查，同年6月该科学院曾举行例会，月该科学院曾举行例会，由泊松（由泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著名数和柯西两位著名数学家审查，但因为重视不够，原稿被柯学家审查，但因为重视不够，原稿被柯西弄丢了。西弄丢了。1829年他又写了一些关于方程方面主要年他又写了一些关于方程方面主要论文。同年论文。同年7月，他在巴黎高等工科大学月，他在巴黎高等工科大学入学考试中再次失败。入学考试中再次失败。19/77伽罗华怀着沮丧之情怀着沮丧之情,伽罗华于伽罗华于1830年初又向年初又向科学院提交了另一篇论文科学院提交了另一篇论文,这次是为竞这次是为竞争一项数学大奖争一项数学大奖.科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿将其手稿 拿回家去审读拿回家去审读,不料在写出评审汇报前不料在写出评审汇报前往世了往世了,此文再也没有找到此文再也没有找到.20/77伽罗华三失手稿三失手稿,加之考巴黎高等工科大学两度失败加之考巴黎高等工科大学两度失败,伽罗华遂对科学界产生排斥情绪伽罗华遂对科学界产生排斥情绪,变成了学生变成了学生激进分子激进分子,被学校开除被学校开除.担任私人辅导教师谋生担任私人辅导教师谋生,但他数学研但他数学研 究工作依然相当活跃究工作依然相当活跃.在仔细研究了在仔细研究了Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著作基础上写出了最写出了最著名论文著名论文“关于方程可根式求解条件关于方程可根式求解条件”,并于并于1831年年1月月送交科学院送交科学院.到到3月月,科学院方面仍杳无音讯科学院方面仍杳无音讯,于是他写信给于是他写信给院长探询他文章下落院长探询他文章下落,结果又如石沉大海结果又如石沉大海.21/77伽罗华他放弃了一切希望他放弃了一切希望,参加了国民卫队参加了国民卫队.在在那里和他在数学界一样运气不佳那里和他在数学界一样运气不佳.他刚加他刚加入很快入很快,卫队即遭控告阴谋造反而被解散卫队即遭控告阴谋造反而被解散.在在1831年年5月月10日进行一次抗议聚宴上日进行一次抗议聚宴上,伽伽罗华手中举着出鞘刀提议为国王干杯罗华手中举着出鞘刀提议为国王干杯,这这一手势被同伙们解释成是要国王命；第一手势被同伙们解释成是要国王命；第2天他就被捕了天他就被捕了.以后被判无罪以后被判无罪,并于并于6月月15日获释日获释.22/77伽罗华7月月4日日,他终于探询到他给科学院那篇论文命他终于探询到他给科学院那篇论文命运运:因因“无法了解无法了解”而遭拒绝而遭拒绝.审稿人是著名数学家泊松审稿人是著名数学家泊松(Poisson)，正如当，正如当年高斯没能了解年轻阿贝尔思想一样，因为年高斯没能了解年轻阿贝尔思想一样，因为伽罗华理论太深刻以至于超出了他所在那个伽罗华理论太深刻以至于超出了他所在那个时代，从而他论文也未被当代大师所领悟，时代，从而他论文也未被当代大师所领悟，结果泊松审查意见竟是结果泊松审查意见竟是“完全不能了解完全不能了解”，不过伽罗华短暂生命使他已经没有时间再解不过伽罗华短暂生命使他已经没有时间再解释其深刻思想了释其深刻思想了.7月月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁日他又遭逮捕并被判了六个月监禁,因因为他在公共场所身着已被解散国民卫队制服为他在公共场所身着已被解散国民卫队制服.23/77伽罗华在获释很快在获释很快在获释很快在获释很快,他陷入了与斯特凡妮小姐恋情他陷入了与斯特凡妮小姐恋情他陷入了与斯特凡妮小姐恋情他陷入了与斯特凡妮小姐恋情.这造成这造成这造成这造成了他早亡了他早亡了他早亡了他早亡.这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗.18321832年年年年5 5月月月月2929日日日日,决斗前夜决斗前夜决斗前夜决斗前夜,伽罗华写了封很长信给伽罗华写了封很长信给伽罗华写了封很长信给伽罗华写了封很长信给他朋友舍瓦利耶他朋友舍瓦利耶他朋友舍瓦利耶他朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),(A.Chevalier),先大致描述了他数先大致描述了他数先大致描述了他数先大致描述了他数学理论学理论学理论学理论,从而给数学界留下了唯一一份主要手稿，从而给数学界留下了唯一一份主要手稿，从而给数学界留下了唯一一份主要手稿，从而给数学界留下了唯一一份主要手稿，奠定了近世代数理论基础，不然将使数学界乃至科奠定了近世代数理论基础，不然将使数学界乃至科奠定了近世代数理论基础，不然将使数学界乃至科奠定了近世代数理论基础，不然将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。他对自己研究结果不无自信地学界蒙受重大损失。他对自己研究结果不无自信地学界蒙受重大损失。他对自己研究结果不无自信地学界蒙受重大损失。他对自己研究结果不无自信地说说说说“你能够公开地请求雅可比或高斯，请他们不是你能够公开地请求雅可比或高斯，请他们不是你能够公开地请求雅可比或高斯，请他们不是你能够公开地请求雅可比或高斯，请他们不是对这些东西正确性，而是对它们主要性发表意见，对这些东西正确性，而是对它们主要性发表意见，对这些东西正确性，而是对它们主要性发表意见，对这些东西正确性，而是对它们主要性发表意见，我期待着一定会有些人认识到，解开这个迷对他们我期待着一定会有些人认识到，解开这个迷对他们我期待着一定会有些人认识到，解开这个迷对他们我期待着一定会有些人认识到，解开这个迷对他们是有益是有益是有益是有益”。24/77伽罗华在第二天决斗中在第二天决斗中(离离25步远用手枪射击步远用手枪射击),伽伽罗华胃部中弹罗华胃部中弹,24小时后逝世小时后逝世.享年不足享年不足21岁岁.他信以后发表在他信以后发表在1832年年9月月“百科评论百科评论”上，上，但当初并未引发人们重视。但当初并未引发人们重视。14年后，法国数年后，法国数学家刘维尔从伽罗华弟弟手中搜集到一些还学家刘维尔从伽罗华弟弟手中搜集到一些还未公开发表手稿，并把它发表在自己创办数未公开发表手稿，并把它发表在自己创办数学杂志上，人们才开始对伽罗华思想有所了学杂志上，人们才开始对伽罗华思想有所了解。解。伽罗华留给世界最关键概念是伽罗华留给世界最关键概念是(置换置换)群群,他他成了群论创始人成了群论创始人.25/7726/77环论环论起源于环论起源于19世纪关于实数域扩张与分类，以及戴世纪关于实数域扩张与分类，以及戴德金、哈密顿等人对超复数系建立和研究。德金、哈密顿等人对超复数系建立和研究。环结构研究能够说是从环结构研究能够说是从1908年魏得邦著名论文有年魏得邦著名论文有限维代数结构开始。限维代数结构开始。20世纪二、三十年代，诺特世纪二、三十年代，诺特(Noether)在环中引入了左、右理想概念建立了环理在环中引入了左、右理想概念建立了环理想理论。想理论。二十世纪二十世纪40年代，环根理论快速发展，尤其是雅各年代，环根理论快速发展，尤其是雅各布森所创造普通环根概念，建立了本原环理论。布森所创造普通环根概念，建立了本原环理论。20世纪世纪50年代，阿密苏和库洛什又创建了根普通理年代，阿密苏和库洛什又创建了根普通理论，环论已趋完善。论，环论已趋完善。27/77域 论域也是代数学中最基本概念之一，有着悠久历域也是代数学中最基本概念之一，有着悠久历史。早在史。早在19世纪初，伽罗华在研究方程根式解世纪初，伽罗华在研究方程根式解时就有了域概念。以后在戴德金和克罗内克关时就有了域概念。以后在戴德金和克罗内克关于代数数著作里，即使也出现过域概念，不过于代数数著作里，即使也出现过域概念，不过那时还没有域抽象概念。那时还没有域抽象概念。域抽象概念始自韦伯，并在其影响下，德国数域抽象概念始自韦伯，并在其影响下，德国数学家施泰尼茨（学家施泰尼茨（E.Steinitz)对抽象域进行了系对抽象域进行了系统研究。统研究。1910年他发表了论文域代数理论，年他发表了论文域代数理论，第一次对域理论作了全方面和系统地阐述，奠第一次对域理论作了全方面和系统地阐述，奠定了域论基础。定了域论基础。28/77布尔代数18351835年，年，2020岁乔治岁乔治布尔创办了一所私人讲课学校。布尔创办了一所私人讲课学校。为了给学生们开设必要数学课程，他兴趣浓厚地读为了给学生们开设必要数学课程，他兴趣浓厚地读起了当初一些介绍数学知识教科书。很快，他就感起了当初一些介绍数学知识教科书。很快，他就感到诧异，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。到诧异，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学青年自学了艰深天体于是，这位只学过初级数学青年自学了艰深天体力学和很抽象分析力学。因为他对代数关系力学和很抽象分析力学。因为他对代数关系对称和美有很强感觉，在孤独研究中，他首先发觉对称和美有很强感觉，在孤独研究中，他首先发觉了不变量，并把这一结果写成论文发表。这篇高质了不变量，并把这一结果写成论文发表。这篇高质量论文发表后，布尔依然留在小学教书量论文发表后，布尔依然留在小学教书,是他开始是他开始和许多第一流英国数学家交往或通信，其中有数学和许多第一流英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德家、逻辑学家德摩根。摩根。29/77布尔代数摩根在摩根在1919世纪前半叶卷入了一场著名争论，布尔知道世纪前半叶卷入了一场著名争论，布尔知道摩根是正确，于是在摩根是正确，于是在18481848年出版了一本薄薄小册子来年出版了一本薄薄小册子来为朋友辩护。这本书是他为朋友辩护。这本书是他6 6年后更伟大东西预告，它年后更伟大东西预告，它一问世，马上激起了摩根赞扬，必定他开辟了新、棘一问世，马上激起了摩根赞扬，必定他开辟了新、棘手研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔手研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为轻易和简单一个代数。在代数。他把逻辑简化成极为轻易和简单一个代数。在这种代数中，适当材料上这种代数中，适当材料上 推理推理，成了公式初等运算，成了公式初等运算事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所利用大多数公式要简单得多。这么，就使逻辑本身受利用大多数公式要简单得多。这么，就使逻辑本身受数学支配。为了使自己研究工作趋于完善，布尔在今数学支配。为了使自己研究工作趋于完善，布尔在今后后6 6年漫长时间里，又付出了不一样寻常努力。年漫长时间里，又付出了不一样寻常努力。30/77布尔代数18541854年，他发表了思维规律这部杰作，当初他年，他发表了思维规律这部杰作，当初他已已3939岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新里程碑。几乎像全部新生事物一样，布尔代数创造里程碑。几乎像全部新生事物一样，布尔代数创造后没有受到人们重视。欧洲大陆著名数学家蔑视地后没有受到人们重视。欧洲大陆著名数学家蔑视地称它为没有数学意义哲学上稀奇古怪东西，他们怀称它为没有数学意义哲学上稀奇古怪东西，他们怀疑英伦岛国数学家能在数学上做出独特贡献。布尔疑英伦岛国数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他杰作出版后很快就逝世了。在他杰作出版后很快就逝世了。2020世纪初，罗素在世纪初，罗素在数学原理中认为，数学原理中认为，纯数学是布尔在一部他称纯数学是布尔在一部他称之为思维规律著作中发觉。之为思维规律著作中发觉。此说一出，立刻此说一出，立刻引发世人对布尔代数注意。今天，布尔创造逻辑代引发世人对布尔代数注意。今天，布尔创造逻辑代数已经发展成为纯数学一个主要分支。数已经发展成为纯数学一个主要分支。31/77近世代数应用近世代数应用1项链问题：用项链问题：用n个颜色珠子做成有个颜色珠子做成有m颗珠子项颗珠子项链，问可做成多少种不一样类型项链链，问可做成多少种不一样类型项链?2分子结构计算问题：在化学上由某几个元素可分子结构计算问题：在化学上由某几个元素可合成多少种不一样物责问题，由此指导人们在合成多少种不一样物责问题，由此指导人们在自然界寻找或人工合成这些物质。自然界寻找或人工合成这些物质。3正多面体着色问题：一个正多面体顶点和面用正多面体着色问题：一个正多面体顶点和面用n种颜色着色，问有多少种不一样方法？种颜色着色，问有多少种不一样方法？4图结构与计算问题。图结构与计算问题。32/77近世代数应用5开关电路结构与计算问题。开关电路结构与计算问题。6数字通讯可靠性问题。数字通讯可靠性问题。7几何做图问题。几何做图问题。8代数方程根求解问题。代数方程根求解问题。伴随代数学发展，象上面例子中情况一样，引入了伴随代数学发展，象上面例子中情况一样，引入了许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个详许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个详细运算系统。逐步地发觉，很多运算系统有相同运细运算系统。逐步地发觉，很多运算系统有相同运算性质。我们能够抽象出来进行讨论。抽象地讨论算性质。我们能够抽象出来进行讨论。抽象地讨论而得结果适合用于各个详细运算系统。这种抽象出而得结果适合用于各个详细运算系统。这种抽象出共同本质后进行统一处理方法是事半功倍，因而是共同本质后进行统一处理方法是事半功倍，因而是代数学研究以及数学研究中最惯用伎俩，代数学中代数学研究以及数学研究中最惯用伎俩，代数学中抽象代数运算很多，但最基本、最主要就是群、环抽象代数运算很多，但最基本、最主要就是群、环和域。和域。33/77III.代数运算及性质代数运算及性质定义定义6.1.1设设S是一个非空集合，称是一个非空集合，称SS到到S一一个映射个映射f为为S一个二元代数运算，即，对于一个二元代数运算，即，对于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，经过，经过f，唯一确定，唯一确定S中中一个元素一个元素c：f（a，b）=c，常记为，常记为a*b=c。S fa ab bc cd d34/77代数运算是闭运算。代数运算是闭运算。该运算含有很强抽象性，不限于该运算含有很强抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。，意义很广泛。类似地，可定义类似地，可定义Sn元代数运算：元代数运算：Sn到到S映映射。射。S S中元素任意性使中元素任意性使a a，b b能够是同一个元素。能够是同一个元素。35/77例 子例例6.1.1 自然数集自然数集N上加法和乘法是上加法和乘法是N上二上二元代数运算；减法和除法不是元代数运算；减法和除法不是N上二元代上二元代数运算，因为两个自然数相减或相除可能数运算，因为两个自然数相减或相除可能得到不是自然数。得到不是自然数。另外。另外。0即使是自然数，即使是自然数，但但0不能够作除数。不能够作除数。例例6.1.2 普通加法、减法与乘法是整数集普通加法、减法与乘法是整数集Z，有理数集，有理数集Q，实数集，实数集R与复数集与复数集C上二元上二元代数运算，而除法不是这些集合上二元代代数运算，而除法不是这些集合上二元代数运算，为何？数运算，为何？36/77例 子例例6.1.3 非零实数集非零实数集R*上乘法、除法是上乘法、除法是R*上二元代数运算；加法和减法不是上二元代数运算；加法和减法不是R*上上二元代数运算，因为两个非零实数相加或二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出相减可能得出0 例例6.1.4 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，（S）是是S幂集，则集合交运算幂集，则集合交运算、并运算、并运算是是（S）上二元代数运算。）上二元代数运算。37/77III代数运算及性质代数运算及性质定定义义6.1.2 设设*是是集集合合S上上二二元元代代数数运运算算，假假如对于如对于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，等式，等式a*b=b*a都成立，则称运算都成立，则称运算“*”满足交换律。满足交换律。定定义义6.1.3 设设*是是集集合合S上上二二元元代代数数运运算算，假假如对于如对于S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，等式，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，则称运算都成立，则称运算*满足结合律。满足结合律。38/77代数运算及性质代数运算及性质定定义义6.1.4 设设*是是集集合合S上上二二元元代代数数运运算算，a是是S中元素，假如中元素，假如a*a=a则则称称a是是关关于于运运算算*幂幂等等元元。假假如如S中中每每个个元元素素都都是是关关于于*幂幂等等元元，则则称称运运算算“*”满满足足等等幂幂律。律。定定义义6.1.5 设设*和和+是是集集合合S上上两两个个二二元元代代数数运运算算，假假如如对对于于S中中任任意意三三个个元元素素a，b，c，等等式式a*（b+c）=（a*b）+（a*c），），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算都成立，则称运算*对对+满足分配律。满足分配律。39/77代数运算及性质代数运算及性质定定义义6.1.6 设设*和和+是是集集合合S上上两两个个二二元元代代数数运运算算，假假如如对对于于S中中任任意意两两个个元元素素a，b，等等式式 a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，则称运算都成立，则称运算*和和+满足吸收律满足吸收律。例例6.1.5 整整数数集集Z上上加加法法、乘乘法法都都满满足足结结合合律律和和交交换换律律，乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律，但但加加法法对对乘乘法法不不满满足足分分配配律律；减减法法不不满满足足结结合合律律，也也不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不不满满足足等等幂幂律律，也也不满足吸收律不满足吸收律。40/77例 子例例6.1.6 n阶阶实实矩矩阵阵集集合合上上加加法法满满足足结结合合律律，也也满满足足交交换换律律；乘乘法法满满足足结结合合律律，但但不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不不满满足足等等幂幂律律，也也不不满满足吸收律。足吸收律。例例6.1.7 设设S是是一一个个非非空空集集合合，（S）是是S幂幂集集，则则（S）上上交交运运算算、并并运运算算都都满满足足结结合合律律，交交换换律律，对对、对对都都满满足足分分配配律律，它它们们都都满满足足等等幂幂律律，也也满满足足吸收律。吸收律。41/77补充定义补充定义定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上二元代数运算，若存上二元代数运算，若存在在el S（或（或er S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有el*a=a(或或a*er=a)，则称，则称el（或（或er)是是S中关于中关于*运算运算左（或右）单位元左（或右）单位元。若。若e S关于关于*运算运算既为左单位元又为右单位元，则称既为左单位元又为右单位元，则称e为为S中关中关于于*运算运算单位元。单位元。例例6.1.8 整数集合整数集合Z中关于加法单位元是中关于加法单位元是0，关于乘法单位元是关于乘法单位元是1。42/77补充定义定义定义6.1.7设设*是集合是集合S上二元代数运算，若存上二元代数运算，若存在在 l S（或（或 r S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有 l*a=l(或或a*r=r)，则称，则称 l（或（或 r)是是S中中关于关于*运算左（或右）零元。若运算左（或右）零元。若 S关于关于*运运算既为左零元又为右零元，则称算既为左零元又为右零元，则称 为为S中关于中关于*运算零元。运算零元。例例6.1.9 n阶（阶（n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn（R)中关中关于矩阵加法单位元是于矩阵加法单位元是n阶全阶全0矩阵，没有零元，矩阵，没有零元，而关于矩阵乘法单位元是而关于矩阵乘法单位元是n阶单位矩阵，零阶单位矩阵，零元是元是n阶全阶全0矩阵。矩阵。43/77补充定义定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上二元代数运算，上二元代数运算，e S是是S中关于中关于*运算单位元。运算单位元。对于对于a S若存在若存在al S（或（或ar S)使得使得al*a=e(或或a*ar=e)，则称，则称al（或（或ar)是是a关于关于*运算左（或右）逆元。若运算左（或右）逆元。若a-1 S既是既是a关于关于*运算左逆元又为右逆元，则称运算左逆元又为右逆元，则称a-1是是a关于关于*运算逆元。运算逆元。例例6.1.10 n阶（阶（n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn（R)中中任何矩阵任何矩阵M关于矩阵加法逆元是关于矩阵加法逆元是-M;而对于乘而对于乘法只有可逆矩阵法只有可逆矩阵M有逆元有逆元M-1。44/77代数运算及性质代数运算及性质能够证实集合能够证实集合S上关于二元运算上关于二元运算*单位元，零元以单位元，零元以及若及若*满足结合律则满足结合律则S中任意元素中任意元素a逆元逆元a-1是唯一。是唯一。定定义义6.1.7 设设*是是集集合合S上上二二元元代代数数运运算算，假假如如对对于于S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，（1 1）若）若 a*b=a*c，则，则b=c，（左消去律），（左消去律）（2 2）若）若 b*a=c*a，则，则b=c，（右消去律），（右消去律）就称就称*满足消去律。满足消去律。需要说明是，有书中限制需要说明是，有书中限制a a不是关于不是关于*运算零运算零元元。45/77例例6.1.11 n(n 2)阶实矩阵集合上加法满足阶实矩阵集合上加法满足消去律，但乘法不满足消去律，比如，消去律，但乘法不满足消去律，比如，1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 =但但 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1例 子46/77IV.代数系统代数系统定定义义6.1.8 设设S是是一一个个非非空空集集合合，f1，fm是是S 上上若若干干代代数数运运算算，把把S及及其其运运算算f1，fm看看成成一一个个整整体体来来看看，叫叫做做一一个个代代数数系系统统，记记为为（S，f1，fm）例例6.1.13 6.1.13 设设Z Z为为整整数数集集，Z Z0 0为为偶偶数数集集，N N为为自自然然数数集集，+、是是数数加加法法和和乘乘法法，则则（Z Z，+）、（Z Z，）、（Z Z，+，）都都是是代代数数系系统统；（Z Z0 0，+）、（Z Z0 0，）、（Z Z0 0，+，）都都是是代代数数系系统统；（N N，+）、（N N，）、（）、（N N，+，）都是代数系统。）都是代数系统。假假如如用用、分分别别表表示示求求最最大大条条约约数数和和最最小小公公倍倍数数运运算算，那那么么（Z Z0 0，），（Z Z，）也也是是代代数系统。数系统。47/77代数到当前位置我们已经对代数系统有了基本了解，到当前位置我们已经对代数系统有了基本了解，但实际当中存在许多代数系统更为复杂，非空但实际当中存在许多代数系统更为复杂，非空S可能为一个集合族，运算也不是一个集合