交互作用Fock空间l2（Г,{λn}）上算子的性质.pdf

给出了交互作用 Fock 空间2,nl的随机梯度算子、适应梯度算子和投影算子的定义，讨论了这些算子的相关性质 关键词：交互作用 Fock 空间2,nl；随机梯度算子；适应梯度算子；投影算子 中图分类号：O177 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.003 Properties of the operator on the interacting Fock space 2,nl ZHAO Dandan，LIU Jianqing（School of Information Engineering，Lanzhou Petrochemical University of Vocational Technology，Lanzhou 730060，China）AbstractAbstract：The definition of the stochastic gradient operator，the adapted gradient operator and the projection operator on the interacting Fock space2,nlwas given，the relevant properties of these operators ware discussed Key wordsKey words：interacting Fock space2,nl；stochastic gradient operator；adapted gradient operator；projection operator 1 引言及预备知识 交互作用 Fock 空间1来源于量子电动力学的随机极限，是一种描述粒子系统的新结构Accardi2-4等通过 Jacobi 参数表示了交互因子，构造了交互作用 Fock 空间与平方可积函数空间的酉同构，并将该方法推广至高维和无穷维的情形 文献5给出了量子随机积分的最大算子域，其中 Fock 空间的正交投影结合适应梯度算子可以构造算子的适应性、条件期望和随机积分文献6-7将交互作用 Fock 空间应用于交互作用量子领域、中心极限定理及其非交换概率中Crismale8建立 Fock 空间的量子随机微积分理论文献9研究了离散条件下基于2()lN的交互作用 Fock 空间 2,nl上增生算子和湮灭算子，证明了增生算子和湮灭算子在不同位置具有交换关系，在相同位置具有反交换关系 本文以交互作用 Fock 空间2,nl为基础，研究基于2()lN的交互作用 Fock 空间2,nl中算子的相关性质给出该空间中随机梯度算子、适应梯度算子和投影算子的定义，讨论了这些算子所具有的性质，得到随机梯度算子和投影算子在不同位置都具有交换关系，而适应梯度算子却没有交换关系进一步地，在点态下得到投影算子和随机梯度算子的乘积等于适应梯度算子 设0,1,2,N为非负整数集，S N，则(),#()SS （其中#()表示集合的基数）为S的有限幂集 收稿日期：2022-10-10 作者简介：赵丹丹（1993-），女，甘肃民勤人，讲师，硕士，从事随机分析研究E-mail： 第 7 期 赵丹丹，等：交互作用 Fock 空间 2,nl上算子的性质 11 记,#()N，显然()0nn（其中：(),#()nn）因此，是可分的若s，则记0,ss，,ss 在文中，表示空集；用m表示 m，用m表示 m；用表示“对于任意s，任意t，都有st”，特别地，取tN，用t表示“对于任意s，都有st”引理10 设2,LM和2,LN是可分的测度空间，则存在唯一的同构关系 222,LMLNLMN 使得fg与()()f x g y对应，式中：f，g为可测函数.设2()lN是实值平方可和函数构成的 Hilbert 空间，则2()nffl，2()ngg l关于内积 1111(,),nnnnnnnnnnnxxfgfxxgxxxxN 完备化所构成的 Hilbert 空间记为2()nl，其中交互因子 nnN为：01，当1n 时，有 10,1,2,1,ijnnij ijnxxxx存在使得其他 根据交互因子的定义可知，若1,0nnxx，则111,0,1nnnxxxn 根据引理可知，1111(,),nnnnnnnnnxxfgf xg xf xg xxxN2()nl上的范数记为n 定义 19339 22()0nnll 关于内积2()0,nnnlnfgfg的完备化 Hilbert 空间称为有关交互因子 n的交互作用 Fock 空间2,nl，式中：2,nnnnffggl规定2(0)l R 注（1）交互作用 Fock 空间2,nl不是单模交互作用 Fock 空间，但是它与单模交互作用Fock 空间类似，差异主要体现在交互因子 nnN上（2）由于交互作用 Fock 空间2,nl中交互因子 nnN的限制，在集合111,1,nnnnnxxxxxxN和()n之间存在双射 若()1,nnxx，任取2()1,nnnfxxl，记 1,nnffxx 定义 2 设nN，任取2()flN，令=nnN ffn ff 个个，即nnnN ffN fn f 个，称N为交互作用 Fock 空间2,nl中的计数算子 给出交互作用 Fock 空间2,nl中随机梯度算子、适应梯度算子和投影算子的定义 定义 3 任取 2,nfl：，f是2,nlN的映射，且,fsfs，则称为随机梯度算子 注（1）随机梯度算子是线性稠定的闭算子；（2）任取，ff特别地，任取sN，sffs 定义 4 任取 2,nfl：，Df是2,nlN的映射，且,sDfsIfs，则称D为适应梯度算子这里sI（sN，）为示性函数，即1,0,ssIs 注（1）对于任意s N，用sD f表示 sDf，记()(,)sD fDfs，则,sD fDfs sIfs；（2）任取，规定 D fIf 特别地，当时，D ff（3）当1,nss时，任取，D fIf，1121(),nnnsssssD DD fDDDfs 12 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 211111111=nnnnsssnnsssssDDIfsDIIfssIIfssIf，则1nssD fDD f；根据适应梯度算子的定义，max Df max fD f 2 主要结果及证明 定理 1 任取 2,nfl，则f，Df满足：（1）220,#sfsf ；（2）2220,sDfsff 证明（1）任取 2,nfl，因为2200,ssfsfs ，令s=，则 220,=#sfsf ，所以 220,#sfsf （2）任 取 2,nfl，因为2002,sssDIffss ，令s=，则 2220,()()sDfsff ，所以 2220,sDfsff 证毕 定义 5 任取sN，2,nfl：，sP f是2,nl的映射，且 ssP fIf，式中 1,0,sssI，则称sP为投影算子 特别地，当0s 时，有 00P fIff，即 0P ff，1,=0,定理 2 任取 2,nfl，,stN，且st，则（1）随机梯度算子满足不同位置的交换关系，即sttsff ；（2）投影算子满足不同位置的交换关系，即sttssPP fPP fP f 证明 任取 2,nfl，,stN，且st（1）根据随机梯度算子的定义，stsfftfts ，tstffs fst，则sttsff （2）根据投影算子的定义，ttss tsPP fP IfIIf，()ststPP fP If stIIf，由于st，则 stssIIfIfP f，故sttssPP fPP fP f 证毕 由定理 2 可以看出，交互作用 Fock 空间2,nl上的随机梯度算子和投影算子都满足不同位置的交换关系，但适应梯度算子在不同位置没有交换关系 定理 3 任取 2,nfl，,stN，且st，则（1）=0ststD D f P D f；（2）sttssD P fPD fD f 证明 任取 2,nfl，,stN，且st（1）根据适应梯度算子的定义，stssttD D fDIftID ft 0tsIIt ft，0stssttP D fPIftIPft，则 0ststD D fPD f（2）根据适应梯度算子和投影算子的定义，ttstssD P fDIfIIfs，第 7 期 赵丹丹，等：交互作用 Fock 空间 2,nl上算子的性质 13 ttstssPD fP IfsIIs fs，则sttssD P fPD fD f 因 此()()()tsssIIfsIfsD f 证毕 定理 4 对于任意sN，有sssPD 证明 任取 2,nfl，sN，由于 =ssssssP fIfIf =sssIfsIfsD f，因此sssPD 证毕 由定理 4 可以看出，交互作用 Fock 空间2,nl中，随机梯度算子与投影算子在相同位置的乘积为该位置的适应梯度算子 定义 6 任取 2,nfl，若当s时，恒有()0sf，则称f是适应的 定义 7 若f是适应的，且映射 fJ f max,max,0,是平方可和的，则称 Jf为f的Ito积分 任取 2,nfl，当时，fJDfD max,max fI f，因此适应梯度算子与积分的复合即为单位算子，式中：I是单位算子，由此得到定理 定理 5 设D是定义在交互作用 Fock 空间中的适应梯度算子，J为该空间中的Ito积分，则DJI 本文以交互作用 Fock 空间2,nl为基础，给出该空间中随机梯度算子、适应梯度算子和投影算子的定义并讨论了这些算子所具有的性质下一步将研究该空间中的算子过程等相关理论 参考文献：1 Accardi L，Lu Y G，Volovich IInteracting Fock spaces and Hilbert module extensions of the Heisenberg commutation relationsJPublications of IIAS（Kyoto），1997（3）：269-279 2 Accardi LInteracting Fock space and Gaussianization of probability measureJInfinite Dimensional Analysis，Quantum probability and Related Topics，1998，1（4）：664-670 3 Accardi L，Nahni MInteracting Fock space and orthogonal polynomials in several variablesJNon-commutativity，infinite-dimensionality and probability at the crossroads，2002（1）：192-205 4 Accardi L，Kuo H，Stan H ACharacterization of probability measures through the canonically associated interacting Fock spaceJInfinite Dimensional Analysis，Quantum probability and Related Topics，2004，7（3）：485-505 5 Stephane attal，Martin Lindsay Quantum stochastic calculus with maximal operator domainsJ The Annals of Probability，2004，32（1）：488-529 6 Accardi L，Kuo H H，Stan AMoments and commutators of probability measuresJInfinite Dimensional Analysis，Quantum Probability and Related Topics，2007，10（4）：591-612 7 Accardi L，Kuo H H，Stan A An interacting Fock space characterization of probability measuresJ Communications on Stochastic Analysis，2009，3（1）：85-99 8 Crismale V Quantum stochastic calculus on interacting Fock spaces：semiestiamtes and stochastic integralJ Communications on Stochastic Analysis，2007，1（2）：321-341 9 周玉兰，赵丹丹交互作用 Fock 空间2()l上的增生算子和湮灭算子J四川师范大学学报（自然科学版），2018，41（3）：338-342 10 黄志远，王才士量子白噪声分析M武汉：湖北科学技术出版社，2004