Chapter-7--随机变量的数字特征---市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,第七章 随机变量数字特征,1/77,1,第一节 数学期望,2/77,2,一、数学期望引入,例,1,分赌本问题,甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注,50,法朗，每局,无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本,100,法,朗,。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止,赌博，问这,100,法朗赌本应怎样分配才合理？,分析：假设赌博继续下去，情况以下：,乙胜,甲胜,乙胜,甲胜,甲胜概率为：,.,3/77,3,例,1,分赌本问题,甲、乙两个赌徒赌技相同，各出赌注,50,法朗，每局,无平局，且约定：先赢三局者得到全部赌本,100,法,朗。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌,博，问这,100,法朗赌本应怎样分配才合理？,设甲得到赌本为,X,，则,X,分布为,甲胜概率为：,.,甲应该取得赌本,3/4.,说明：该问题包括随机变量分布，,且含有均值意义,.,4/77,4,例,2,在,1000,次重复试验中，离散型随机变量,X,取值为,100,有,300,次，取值为,200,有,700,次。问,X,取值平均值,是多少？,X,分布为：,5/77,5,加权平均数计算：,随机变量平均值：,概率替换频率,6/77,6,二、数学期望定义,为随机变量,X,数学期望,.,7/77,7,补充说明：,加权平均数：,离散随机变量期望：,连续随机变量期望：,频率,概率,概率,注：,1),期望是均值推广或更普通形式。,2),连续随机变量期望公式可由离散随机,变量期望公式和定积分定义推出。,8/77,8,9/77,9,10/77,10,三、一维随机变量函数数学期望,11/77,11,例,4,设随机变量,X,分布为,解：,12/77,12,13/77,13,14/77,14,数学期望在处理实际问题中有着非常主要应用，见下面例子,.,15/77,15,例,8,某企业生产机器无故障工作时间,X,有密度函数,企业每售出一台机器可赢利,1600,元，若机器在售出,1.2,万小时之内出现故障，则给予更换，这时每台亏损,1200,元；若在,1.2,到,2,万小时之内出现故障，则给予维修，由企业负担维修费,400,元；若在使用,2,万小时以上出现故障，则用户自己负责。求该企业售出每台机器平均赢利。,16/77,16,处理方法：,求随机变量函数数学期望,.,关键：,17/77,17,企业每售出一台机器可赢利,1600,元,若机器在售出,1.2,万小时之内出现故障，则给予更换，每台亏损,1200,元；若在,1.2,到,2,万小时之内出现故障，则给予维修，由企业负担维修费,400,元；若在使用,2,万小时以上出现故障，则用户自己负责。,18/77,18,19/77,19,四、多维随机变量函数数学期望,20/77,20,21/77,21,1,x,2,y,0,22/77,22,五、数学期望运算性质,线性性质,23/77,23,24/77,24,例,11,将,n,个球随机放入,M,个盒子中去,设每个球放入每个盒子是等可能，求有球盒子数,X,期望。,这种方法称为分解随机变量法，是概率统计中经典、主要一个解题方法。,25/77,25,例,11,将,n,个球随机放入,M,个盒子中去,设每个球放入每个盒子是等可能，求有球盒子数,X,期望。,古典概型,26/77,26,例,12,某企业经销某种原料,依据历史资料表明,:,这种原料市场需求量,X,(,单位：吨,),服从,(300,，,500),上均匀分布,.,每售出,1,吨该原料,企业可赢利,1,.,5,千元；,若积压,1,吨,则企业损失,0.5,千元。问企业应该组织多少,货源,能够使平均收益最大？,27/77,27,例,12,某企业经销某种原料,依据历史资料表明,:,这种原料市场需求量,X,(,单位：吨,),服从,(300,，,500),上均匀分布,.,每售出,1,吨该原料,企业可赢利,1,.,5,千元；,若积压,1,吨,则企业损失,0.5,千元。问企业应该组织多少,货源,能够使平均收益最大？,28/77,28,29/77,29,第二节 方差与标准差,30/77,30,引例,比较随机变量,X,、,Y,期望,尽管有相同期望,EX,=,EY,但,Y,取值比,X,要分散，这表明仅有期望不足以完整地描述离散型随机变量分布特征，还须深入研究它离散程度,.,注：,X,、,Y,期望相同，但误差取值波动性不一样。,对产品质量稳定性,市场波动性，投资风险等问题研究，都包括到对随机变量分布分散程度研究。,31/77,31,我们最直接想法是用,X,i,-,E,(,X,),表示离散程度,X,i,-,E,(,X,),称为离差，它取值可正可负，且它数学,期望为,0,，因而不能用它均值来衡量,X,对,E,(,X,),离,散程度，为了消除离差取值符号影响，我们采取,离差平方,X,-,E,(,X,),2,均值来衡量,X,对,E,(,X,),离散,程度，由此引入“方差”概念：,32/77,32,一、方差与标准差定义,33/77,33,方差惯用计算公式：,方差定义式：,34/77,34,离散型和连续型随机变量方差计算公式,35/77,35,离散型和连续型随机变量方差计算公式,36/77,36,分布列与方差大小关系：,结论,1,：取值分布集中，方差较小；,反之方差较大,.,37/77,37,密度函数与方差大小关系：,结论,2,：密度函数图形较陡峭方差较小；,反之方差较大,.,38/77,38,例,2,计算泊松分布方差。,解,:,泊松分布分布律为,39/77,39,例,3,正态分布方差。,40/77,40,例,4,计算指数分布方差。,41/77,41,二、方差性质,方差不具备,线性性质,.,42/77,42,例,5,计算二项分布方差。,二项分布,可加性,注：直接利用二项分布律和级数运算也能够求出二项分布期望和方差。,43/77,43,注：本例是数理统计惯用一个主要结果，它表达了平均值稳定性。,44/77,44,例,7,某人有一笔资金,可投入两个项目,:,房产和商,业,其收益都与市场相关。若把未来市场划分为好、,中、差三个等级,其发生概率分别是,0.2,0.7,和,0.1,。,经过调查,该投资者认为投资房产收益,X,(,万元,),和投资商业收益,Y,(,万元,),分布分别为,请问：该投资者怎样投资为好？,45/77,45,第三节 协方差和相关系数,46/77,46,一、协方差,协方差也称为相关中心矩。,联合分布中分量间关系,47/77,47,48/77,48,协方差惯用性质,:,注,:,以上性质可利用定义及期望性质来证实,.,49/77,49,50/77,50,补充说明：,51/77,51,52/77,52,53/77,53,54/77,54,二、相关系数,在表示随机变量关系时,为了消除量纲影响，,引入了相关系数概念。,55/77,55,相关系数性质：,56/77,56,57/77,57,补充说明,相关系数,(,X,Y,),刻画了随机变量,X,、,Y,间线性相关程度。,=1,时，表示,X,、,Y,几乎处处含有线性关系；,=0,时，表示,X,、,Y,不含有线性关系，但能够含有其它（如曲线）关系。独立性是指两个随机变量不含有任何关系。对二元正态分布来说，独立性与不相关,=0,是等价。,与协方差相比较，相关系数是一个不带单位系数，消除了量纲影响，能够更准确地反应随机变量间关系；同时，也方便不一样类型随机变量比较。,58/77,58,0,0.5,1,1,y,=,x,59/77,59,注,:,协方差即使很小,但相关系数却比较大,.,所以协方差反应随机变量相关程度不是很准确。,60/77,60,第四节 大数定律与中心极限定理,61/77,61,事件发生频率含有稳定性，即伴随试验次数增多，事件发生频率逐步稳定于某个常数。这就充分说明事件概率是客观存在。频率稳定性，便是这一客观存在反应。人们还认识到大量测量值算术平均值也含有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨论大数定律客观背景。,在概率论中,用来说明大量平均结果稳定性一系列定理统称为大数定律,.,由大数定律,大量随机原因总和，必定造成某种不依赖于个别随机事件结果。,62/77,62,一、大数定律,63/77,63,补充说明,64/77,64,依概率收敛普通形式：,65/77,65,2,、切比雪夫大数定律,66/77,66,3,、贝努里大数定律,注,:,贝努里定理是切比雪夫定理特例,它从理论上证,明了频率稳定性,.,只要试验次数,n,足够大,事件,A,出现频率与事件,A,概率有较大偏差可能性很小,.,即能够用事件发生频率来代替事件发生概率。,67/77,67,4,、马尔可夫大数定律,马尔可夫大数定律没有任何独立、不相关、同分布,假设，是适用范围最广大数定律，也是用来证,明其它大数定律主要依据。,68/77,68,5,、辛钦大数定律,注：辛钦大数定律给出了求期望近似值方法,观察值平均,，即,且这种方法不需要考虑分布详细形式。,69/77,69,二、独立同分布下中心极限定理,70/77,70,二项分布正态近似,定理,2棣莫弗拉普拉斯,中心,极限定理,71/77,71,例,1,设一个车间里有,400,台同类型机器，每台机器需要用电为,Q,瓦。因为工艺关系，每台机器不连续开动，开动时间只占总工作时间,3/4,。问应该供给多少瓦电力才能以,99,概率确保该车间机器正常工作？,设各机器开、停是相互独立,分析：正常工作即是要求开动机器所需要总电力不超出所供给电力，这与开动机器台数相关。,因为每台机器开、停是否相互独立，且开动概率都是相同，故开动机器台数服从二项分布。,即认为是相同试验独立重复做了,400,次。,因为试验次数,400,较大，其概率计算能够近似用正态分布来替换,棣莫佛拉普拉斯中心极限定律,进而转化为标准正态分布。,72/77,72,解：令,X,表示,400,台机器中同时开动台数，则有,73/77,73,例,2,为了测量一台机床质量,把它分成,75,个部件来称量。假定每个部件称量误差服从区间,(-1,1),上均匀分布，且各个部件称量误差是相互独立，求机床质量总误差绝对值不超出,10kg,概率。,解：记各个部件称量误差为,X,i,，,则总称量误差为,74/77,74,所求概率为,总称量误差,例,2,为了测量一台机床质量,把它分成,75,个部件来称量。假定每个部件称量误差服从区间,(-1,1),上均匀分布，且各个部件称量误差是相互独立，求机床质量总误差绝对值不超出,10kg,概率。,75/77,75,作业：,76/77,76,The End,！,Thank You,！,Department of Mathematics,77/77,77,