具有交叉传播的SIMR谣言传播模型的动力学分析.pdf

第4 8卷 第8期西 南 师 范 大 学 学 报(自然科学版)2 0 2 3年8月V o l.4 8 N o.8 J o u r n a l o f S o u t h w e s tC h i n aN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n)A u g.2 0 2 3D O I:1 0.1 3 7 1 8/j.c n k i.x s x b.2 0 2 3.0 8.0 0 4具有交叉传播的S I MR谣言传播模型的动力学分析赵勇胜,侯强,张磊中北大学 数学学院,太原0 3 0 0 5 1摘要:基于谣言的传播机制建立了一个具有个体和媒介交叉传播的S I MR谣言传播动力学模型,研究了交叉传播对谣言传播的影响.首先,利用下一代矩阵法得到了基本再生数R0,证明了R01时无谣言平衡点的全局渐近稳定性;其次,证明了R01时,模型的一致持续性和谣言盛行平衡点的唯一性;最后,利用L y a p u n o v函数和图论理论,证明了谣言盛行平衡点的全局渐近稳定性.这些结果说明交叉传播会影响谣言传播的基本再生数,但不影响谣言传播的全局动力学属性.关 键 词:谣言传播;基本再生数;一致持续;全局渐近稳定性中图分类号:O 1 7 5.1 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0 5 4 7 1(2 0 2 3)0 8 0 0 2 6 0 7D y n a m i cA n a l y s i so fS I MRR u m o rS p r e a d i n gM o d e lw i t hC r o s s-T r a n s m i s s i o nZ HAOY o n g s h e n g,HOU Q i a n g,Z HANGL e iS c h o o l o fM a t h e m a t i c s,N o r t hU n i v e r s i t yo fC h i n a,T a i y u a n0 3 0 0 5 1,C h i n aA b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,aS I MRr u m o rs p r e a d i n gm o d e l i se s t a b l i s h e dw i t hi n d i v i d u a la n dm e d i u mc r o s s-t r a n s m i s s i o nb a s e do nt h er u m o rs p r e a d i n gm e c h a n i s m,a n dt h e i m p a c to f c r o s s-t r a n s m i s s i o no nt h e r u m o rs p r e a d i n g i ss t u d i e d.F i r s t l y,t h eb a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e rR0i so b t a i n e db yu s i n gt h en e x t-g e n e r a t i o nm a t r i xm e t h o d,t h eg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h er u m o r-f r e ee q u i l i b r i u mp o i n t i sp r o v e dw h e nR01.F u r t h e r,t h eu n i f o r m l yp e r s i s t e n c eo f t h em o d e la n dt h eu n i q u eo fr u m o r-p r e v a i l i n ge q u i l i b r i u mp o i n ta r ep r o v e dw h e nR01.F i n a l l y,t h eg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h er u m o r-p r e v a i l i n ge q u i l i b r i u mp o i n t i sp r o v e db yu s i n gL y a p u n o vf u n c t i o n sa n dg r a p ht h e o r i e s.T h e s er e s u l t s i n d i c a t et h a tc r o s s-t r a n s m i s s i o na f-f e c t s t h eb a s i c r e p r o d u c t i o nn u m b e rb u tn o t a f f e c t s t h eg l o b a l d y n a m i ca t t r i b u t eo f r u m o rs p r e a d i n g.K e yw o r d s:r u m o rs p r e a d i n g;b a s i c r e p r o d u c t i o nn u m b e r;u n i f o r mp e r s i s t e n t;g l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t y谣言是指没有事实根据的传闻,它常常伴随一些重要的事件产生,谣言歪曲事件的实际情况,可能会引起心理恐慌,造成经济损失,甚至引起社会动荡1.随着互联网的发展,信息在社交网络的传播已经成为常态,人们之间的信息交流变得更加频繁,这无疑加速了谣言的传播.为了减少谣言带来的负面影响,促进社会健康发展,研究谣言的传播机制是十分有必要的.收稿日期:2 0 2 2 1 0 2 9基金项目:山西省基础研究计划资助项目(2 0 2 1 0 3 0 2 1 2 3 0 3 1,2 0 2 1 0 3 0 2 1 2 3 0 1 9,2 0 2 2 0 3 0 2 1 2 1 1 0 9 1).作者简介:赵勇胜,硕士研究生,主要从事动力系统及其应用研究.通信作者:侯强,副教授.由于传播机制的相似性,大多数谣言的传播都是基于传染病模型,其中:文献2 研究了遗忘机制对谣言传播的影响;文献3研究了犹豫机制对谣言传播的影响;文献4研究了不同态度对谣言传播的影响.特别是随着翻译软件的发展和人们教育程度的提高,导致了多种语言的谣言传播5-7.本文基于文献7,考虑了在多语言环境下,人际传播与网络媒体传播相结合对谣言传播的影响.1 模型的建立假设将人群分为两组,第一组通过语言1传播谣言,第二组通过语言2传播谣言.考虑到有人掌握多种语言或者会使用翻译软件,使得信息可以在不同的群体之间交换,因此谣言的交叉传播机制是存在的.将每组分为4类:从未听过谣言,但易受谣言影响的人Si(t),传播谣言的人Ii(t),网络上的谣言信息量Mi(t)(Ii(t)在网络上产生的谣言信息量),知道谣言但不传播的人Ri(t),i=1,2.建立模型如下:dS1dt=A1-2j=11jS1Ij-2j=11jS1Mj-1S1dI1dt=2j=11jS1Ij+2j=11jS1Mj-1I1R1-1I1-1I1dM1dt=1I1-d1M1dR1dt=1I1+1I1R1-1R1dS2dt=A2-2j=12jS2Ij-2j=12jS2Mj-2S2dI2dt=2j=12jS2Ij+2j=12jS2Mj-2I2R2-2I2-2I2dM2dt=2I2-d2M2dR2dt=2I2+2I2R2-2R2(1)模型中所有的参数都是正的,并且A=(i j)2 2,B=(i j)2 2是不可约的,i,j=1,2.在谣言传播过程中,易受谣言影响的人与传播谣言的人相遇后,可能产生传播谣言的兴趣,以i j的传播率变为传播谣言的人,i i表示Si和Ii的接触传播率,i j表示Si和Ij的交叉接触传播率(ij);易受谣言影响的人看到网络谣言信息后,可能产生传播谣言的兴趣,以i j的传播率变为传播谣言的人,i i表示Si和Mi的接触传播率,i j表示Si和Mj的交叉接触传播率(ij);传播谣言的人与知道谣言但不传播的人相遇后,可能失去传播谣言的兴趣,以i的传播率变为知道谣言但不传播的人;Ai表示Si的输入率;i表示自然死亡率;i表示Ii的自然遗忘率;i表示单位时间内一个谣言传播者在网络上产生的谣言量;di表示网络谣言信息的自然消除率.2 基本再生数模型(1)存在无谣言平衡点E0=(S01,0,0,0,S02,0,0,0),S0i=Aii,i=1,2.模型(1)的可行域为X=S1,I1,M1,R1,S2,I2,M2,R2 R8+|Si+Ii+RiAii,0MiAiiidi,i=1,2.根据下一代矩阵法8,得到F=1 1S011 2S011 1S011 2S012 1S022 2S022 1S022 2S0200000000,V=1+100002+200-10d100-20d272第8期 赵勇胜,等:具有交叉传播的S I MR谣言传播模型的动力学分析计算 模 型(1)的 基 本 再 生 数 为R0=(F V-1)=i j+i jjdjS0ij+j 2 2,i,j=1,2.令M(S0)=i j+i jjdjS0ii+i 2 2,其中S0=(S01,S02),易验证R0=(M(S0).3 无谣言平衡点的稳定性定理1 当R01s(W)0,R01s(W)0 计算J4的特征根,可知1=2=-10,3=4=-20.如果R01,则s(W)0,所以s(J|E0)0,条件(A 5)成立.因此,当R0 1时,模型是一致持续的,即存在一个正数,使得l i mi n ft(Ii(t),Mi(t)(,),i=1,2.证 定义X0:=(Si,Ii,Mi,Ri)X|Ii0,Mi0,i=1,2,X0=XX0 首先,容易验证X0是正不变集.根据模型(1)的有界性,可知模型(1)是点耗散的.令M=Si,Ii,Mi,Ri|Si,Ii,Mi,RiX0,t0,i=1,2.下面证明M=Si,0,0,Ri|Si0,Ri0,i=1,2 由 于Si(t),0,0,Ri(t)|Si(t)0,Ri(t)0,i=1,2M恒 成 立,所 以 只 需 证MSi(t),0,0,Ri(t)|Si(t)0,Ri(t)0,i=1,2 即可.假设不成立,那么存在i0,不失一般性,假设i0=2,当t00时,I2(t0)0,M2(t0)=0,则有dM2(t0)dt=2I2(t0)-d2M2(t0)2I2(t0)(2)即存在正数,当t0t0.这说明t0tS0i-1,Ii(t)1,Mi(t)1,Ri(t)1s(W)0,则当R01时,存在充分小的正数(1)使得s(W-W0)0,进而有s(W2)=s(W-1W0)s(W-W0)0,其中W0=1 1+11 21 11 22 12 2+22 12 20000000092第8期 赵勇胜,等:具有交叉传播的S I MR谣言传播模型的动力学分析这说明矩阵W2至少有一个正的特征根.因此系统(3)是不稳定的,则系统(3)的解满足下列式子(I*i(t),M*i(t)(,),t,i=1,2.通过比较定理可得(Ii(t),Mi(t)(,),t,i=1,2.这与Ii(t),Mi(t)1时,模型(1)存在唯一的一个谣言盛行平衡点E*=(S*i,I*i,M*i,R*i),i=1,2.证 首先,计算模型(1)的谣言盛行平衡点Ai-2j=1i jSiIj-2j=1i jSiMj-iSi=02j=1i jSiIj+2j=1i jSiMj-iIiRi-iIi-iIi=0iIi-diMi=0iIi+iIiRi-iRi=0 i=1,2.得到Si=Aii-Ii-iIii-iIi,Mi=iIidi,Ri=iIii-iIi,i=1,2.模型(1)的平衡点等价于Aii-Ii-iIii-iIi2j=1i j+i jjdjIj-(i+i)Ii-ii(Ii)2i-iIi=0,i=1,2.(4)根据文献1 3的方法,假设I*i=h0,I*i=k0是模型的两个常数解,如果hk,那么至少存在一个i(i=1,2),使得hiki.不失一般性,假设h1k1,进一步可设h1k1hiki对任意的i(i=1,2)成立.将h和k带入(4)式得A11-h1-1h11-1h12j=11j+1jjdjhj-(1+1)h1-11(h1)21-1h1=A11-k1-1k11-1k12j=11j+1jjdjkj-(1+1)k1-11(k1)21-1k1=0(5)进行变换得到A11-h1-1h11-1h12j=11j+1jjdjhjk1h1-11h1k11-1h1=A11-k1-1k11-1k12j=11j+1jjdjkj-11(k1)21-1k1=0(6)对任意的i(i=1,2)有kik1hih1成立,且A11-h1-1h11-1h111(k1)21-1k1进一步得到A11-h1-1h11-1h12j=11j+1jjdjhjk1h1-11h1k11-1h11时,模型(1)的谣言盛行平衡点E*是全局渐近稳定的.03西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷证 令J1(t)=Si-S*i-S*il nSiS*i+Ii-I*i-I*il nIiI*i+iR*iiR*i+iRi-R*i-R*il nRiR*i,J2(t)=2j=1i jS*iM*j1jI*jMj-M*j-M*jl nMjM*j,i=1,2.令f(x)=1-x+l nx,则对x0,f(x)0,当且仅当x=1时,f(x)=0.J1(t),J2(t)沿着模型(1)解的全导数分别为dJ1(t)dt=1-S*iSiS i+1-I*iIiI i+iR*iiR*i+i1-R*iRiR i=1-S*iSi-i(Si-S*i)-2j=1i j(SiIj-S*iI*j)-2j=1i j(SiMj-S*iM*j)+1-I*iIi2j=1i jSiIj-S*iI*jIiI*i+2j=1i jSiMj-S*iM*jIiI*i-iIiRi-I*iR*iIiI*i+iR*iiR*i+i1-R*iRiiIiRi-I*iR*iRiR*i+iIi-I*iRiR*i=iS*i2-S*iSi-SiS*i+2j=1i jS*iI*j2+IjI*j-S*iSi-IiI*i-I*iSiIjIiS*iI*j+2j=1i jS*iM*j2+MjM*j-S*iSi-IiI*i-I*iSiMjIiS*iM*j+iR*iiR*i+iiIi2-RiR*i-R*iRi2j=1i jS*iI*jIjI*j-l nIjI*j+l nIiI*i-IiI*i+2j=1i jS*iM*jMjM*j-l nMjM*j+l nIiI*i-IiI*idJ2(t)dt=2j=1i jS*iM*j1jI*j1-M*jMj(jIj-djMj)=2j=1i jS*iM*j1jI*jjI*jIjI*j-MjM*j-M*jIjMjI*j+12j=1i jS*iM*jIjI*j-l nIjI*j+l nMjM*j-MjM*j构造L y a p u n o v函数V(t)=2i=1vi(J1+J2),i=1,2.V(t)沿着模型(1)解的全导数为dV(t)dt=2i=1vi(J 1+J 2)2i=1vi2j=1i jS*iI*jIjI*j-l nIjI*j+l nIiI*i-IiI*i+2j=1i jS*iM*jMjM*j-l nMjM*j+l nIiI*i-IiI*i+2j=1i jS*iM*jIjI*j-l nIjI*j+l nMjM*j-MjM*j2i=1vi2j=1(i jS*iI*j+i jS*iM*j)IjI*j-l nIjI*j+l nIiI*i-IiI*i 由于A=(i j)2 2,B=(i j)2 2是不可约的,根据文献 1 4中的定理2.3,有2i,j=1vi(i jS*iI*j+i jS*iM*j)IjI*j-l nIjI*j=2i,j=1vi(i jS*iI*j+i jS*iM*j)IiI*i-l nIiI*i,于是得到dV(t)dt 0,当且仅当E*=(S*i,I*i,M*i,R*i),i=1,2时,dV(t)dt=0.那么,V(t)=0的最大不变集为单点集E*,根据L a S a l l e不变集原理9可知,当R01时,谣言盛行平衡点E*是全局渐近稳定的.13第8期 赵勇胜,等:具有交叉传播的S I MR谣言传播模型的动力学分析6 结论本文基于谣言传播的若干特点,考虑个体和媒介交叉传播这一风险因素,建立S I MR模型来研究交叉传播的影响.首先,通过下一代矩阵的方法定义基本再生数R0;其次,构造L y a p u n o v函数证明了当基本再生数R01时,模型的无谣言平衡点是全局渐近稳定的;然后根据持续性理论,证明了当基本再生数R01时,模型是一致持续的,且存在唯一的谣言盛行平衡点;最后,利用L y a p u n o v函数和图论知识,证明了谣言盛行平衡点是全局渐近稳定的.结果说明交叉传播会影响模型的基本再生数,但不会影响谣言传播的动力学属性.该研究丰富了谣言传播动力学的研究方法,拓展了人们对谣言传播动力学的认识,有益于谣言控制措施的制定.参考文献:1 谈谷铮.对谣言的社会学剖析 J.社会科学,1 9 8 9(1 0):3 0-3 4.2 Z HAOLJ,X I E WL,G AO H O,e t a l.AR u m o rS p r e a d i n gM o d e lw i t hV a r i a b l eF o r g e t t i n gR a t eJ.P h y s i c aA:S t a-t i s t i c a lM e c h a n i c sa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 3,3 9 2(2 3):6 1 4 6-6 1 5 4.3 X I ALL,J I AN GGP,S ONGB,e ta l.R u m o rS p r e a d i n gM o d e lC o n s i d e r i n gH e s i t a t i n gM e c h a n i s mi nC o m p l e xS o c i a lN e t w o r k sJ.P h y s i c aA:S t a t i s t i c a lM e c h a n i c sa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 5,4 3 7:2 9 5-3 0 3.4 HU Y H,P AN Q H,HOU W B,e ta l.R u m o rS p r e a d i n g M o d e lw i t ht h eD i f f e r e n tA t t i t u d e st o w a r d sR u m o r sJ.P h y s i c aA:S t a t i s t i c a lM e c h a n i c sa n dI t sA p p l i c a t i o n s,2 0 1 8,5 0 2:3 3 1-3 4 4.5 X I AY,J I AN GHJ,YUZ.G l o b a lD y n a m i c so f I L S RR u m o rS p r e a d i n gM o d e lw i t hG e n e r a lN o n l i n e a rS p r e a d i n gR a t e i nM u l t i-L i n g u a lE n v i r o n m e n tJ.C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 2 2,1 5 4:1 1 1 6 9 8.6 L I JR,J I ANG HJ,HUC,e t a l.D y n a m i c a lA n a l y s i so fR u m o rS p r e a d i n gM o d e l i nH o m o g e n e o u sC o m p l e xN e t w o r k sJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,2 0 1 9,3 5 9:3 7 4-3 8 5.7 WAN GJL,J I AN GHJ,MATL,e t a l.G l o b a lD y n a m i c s o f t h eM u l t i-L i n g u a l S I RR u m o rS p r e a d i n gM o d e lw i t hC r o s s-T r a n s m i t t e dM e c h a n i s mJ.C h a o s,S o l i t o n s&F r a c t a l s,2 0 1 9,1 2 6:1 4 8-1 5 7.8 VAND E ND R I E S S CHEP,WA TMOUGHJ.R e p r o d u c t i o nN u m b e r sa n dS u b-T h r e s h o l dE n d e m i cE q u i l i b r i af o rC o m-p a r t m e n t a lM o d e l so fD i s e a s eT r a n s m i s s i o nJ.M a t h e m a t i c a lB i o s c i e n c e s,2 0 0 2,1 8 0(1-2):2 9-4 8.9 L A S A L L EJP.N e wS t a b i l i t yR e s u l t sf o rN o n a u t o n o m o u sS y s t e m sM/D y n a m i c a lS y s t e m s.Am s t e r d a m:E l s e v i e r,1 9 7 7:1 7 5-1 8 3.1 0刘萍.具时滞与反馈控制的企业集群和第三方物流的依托型共生模型的持久性 J.云南大学学报(自然科学版),2 0 1 6,3 8(1):1-1 0.1 1TH I EMEH R.P e r s i s t e n c eu n d e rR e l a x e dP o i n t-D i s s i p a t i v i t y(w i t hA p p l i c a t i o nt oa nE n d e m i cM o d e l)J.S I AMJ o u r-n a l o nM a t h e m a t i c a lA n a l y s i s,1 9 9 3,2 4(2):4 0 7-4 3 5.1 2WANG W D,Z HAOXQ.A nE p i d e m i cM o d e l i naP a t c h yE n v i r o n m e n tJ.M a t h e m a t i c a lB i o s c i e n c e s,2 0 0 4,1 9 0(1):9 7-1 1 2.1 3L A J MANOV I CH A,YOR K EJA.AD e t e r m i n i s t i cM o d e l f o rG o n o r r h e a i naN o n h o m o g e n e o u sP o p u l a t i o nJ.M a t h e-m a t i c a lB i o s c i e n c e s,1 9 7 6,2 8(3-4):2 2 1-2 3 6.1 4L IM Y,S HUA IZS.G l o b a l-S t a b i l i t yP r o b l e mf o rC o u p l e dS y s t e m so fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n so nN e t w o r k sJ.J o u r n a lo fD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 1 0,2 4 8(1):1-2 0.责任编辑 张栒 23西南师范大学学报(自然科学版)h t t p:/x b b j b.s w u.e d u.c n 第4 8卷