甘肃省兰州一中高考数学冲刺模拟试题(一)文-新人教A版.doc

甘肃省兰州一中2013届高考冲刺模拟题（一）
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
请将答案填在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集,，则图中阴影部分表示的集合
A． B．
C． D．
2．已知，为虚数单位，且，则的值为
A． B．
C． D．
3．如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S值为
A． B．
C．2 D．
4．设函数的最小正周期为，且则
A． 在单调递增 B． 在单调递增
C． 在单调递减 D． 在单调递减
5．下列命题正确的个数
（1）命题“∈R，+1>3x0”的否定是“x∈R，x2 +1<3x”：
（2）函数f (x)= cos2 ax－sin2 ax的最小正周期为”是“a=l”的必要不充分条件。
（3）“x∈[1,2]时x2 +2x≥ax恒成立” “（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[l，2]上恒成立”；
（4）“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“·<0”。
A． l B．2 C．3 D． 4

6．已知四棱锥的三视图如右图1所示，则四棱锥的四个侧面中的最大面积是
A．
B．
C．
D．
7．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为
A． B．
C． D．
8．已知等比数列满足，且，则当时，

A． 　 B． C． D．

9．如图，所在的平面 和四边形所在的平面互相垂直，且 ，， ，,若，则点在平面内的轨迹是
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
10．椭圆上有两个动点、，，，则·的最小值为
A． 6 B． C． 9 D．
11．若曲线f（x，y）= 0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）= 0的“自公切线”．下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
12．将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有多少种?
A．150 B．114 C．100 D．72

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用（万元）
3
4
5
6
销售额（万元）
25
30
40
45
根据上表可得回归方程中的为7．据此模型预报广告费用为10万元时销售额为
（万元）．
14．设的展开式中的常数项等于 ．
15．已知实数、满足则的最小值为 ．
16．设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的，成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若，求a＋b的最大值．

18．（本小题满分12分）
从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为甲：7.7, 7.8, 8.1, 8.6, 9.3, 9.5．乙：7.6, 8.0, 8.2, 8.5, 9.2, 9.5。
（Ⅰ）根据如右的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率；
（Ⅲ）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在f7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率．

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1。E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC上的任意一点．
（Ⅰ）若F为PC的中点，求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：平面AFD上平面PAB；
（Ⅲ）是否存在点F，使得直线AF⊥平面PCD？若存在，写出证明过程并求出线段PF的长；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）
椭圆的左、右焦点分别为、, 过的直线与椭圆交A、B两点．
（Ⅰ）如果点A在圆（为椭圆的半焦距）上,且,求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若函数的图象，无论为何值时恒过定点，求的取值范围．

21．（本小题满分12分）
已知函数，（其中）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，．（说明：e是自然对数的底数，e=2．71828…）．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，半圆O的直径AB的长为4，点C平分弧AE，过C作AB的垂线交AB于D，交AE于F．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若AE是的角平分线，求CD的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数，）．在极坐标系（以坐标原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）把曲线和的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求曲线的直角坐标方程．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围．

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