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第 40 卷第 7 期2023 年 7 月控 制 理 论 与 应 用Control Theory&ApplicationsVol.40 No.7Jul.2023具具具有有有量量量化化化输输输入入入和和和边边边界界界扰扰扰动动动的的的柔柔柔性性性臂臂臂边边边界界界振振振动动动滑滑滑模模模控控控制制制马艺飞,楼旭阳,吴 炜(江南大学 物联网工程学院,江苏 无锡 214122)摘要:本文针对量化输入和有界扰动下柔性臂系统的振动抑制和边界滑模控制器设计问题开展研究.柔性臂的动态特性由偏微分方程表示的分布参数模型描述.对于具有未知有界干扰的柔性臂系统,其主要控制目标是减小干扰的影响,使柔性臂到达期望角度并同时抑制系统的振动.首先,利用边界输出信号构造滑模函数和滑模面.其次,结合所构造的滑模面,设计一种边界滑模控制器,并利用算子半群理论证明了闭环系统的适定性.所提出的边界滑模控制策略保证了系统状态能够在有限时间内到达滑模面,并且系统状态在滑模面上是指数收敛的.最后,通过物理实验验证了所提出控制策略的有效性.关键词:柔性臂;滑模控制;边界控制;扰动;量化输入引用格式:马艺飞,楼旭阳,吴炜.具有量化输入和边界扰动的柔性臂边界振动滑模控制.控制理论与应用,2023,40(7):1190 1198DOI:10.7641/CTA.2022.20259Boundary vibration sliding mode control of a flexible arm withquantized input and boundary disturbanceMA Yi-fei,LOU Xu-yang,WU Wei(School of Internet of Things Engineering,Jiangnan University,Wuxi Jiangsu 214122,China)Abstract:In this paper,the problems of vibration suppressing and boundary sliding mode control of a flexible armsystem with quantized input and bounded disturbance are addressed.The dynamic characteristic of the flexible arm isdescribed by a distributed parameter model in the form of partial differential equations.For a flexible arm system withunknown bounded disturbance,the main control objective is to reduce the influence of the disturbance such that the flexiblearm can reach the desired angular position and suppress the vibration of the system,simultaneously.Firstly,the slidingmode function and the sliding surface are constructed by using the boundary signals.Then,a boundary sliding modecontroller is proposed and the well-posedness of the closed-loop system is proven through the operator semigroup theory.Under the proposed boundary sliding mode controller,the system state can reach the sliding surface in finite time and theexponential convergence of the system state is guaranteed on the sliding surface.Finally,the effectiveness of the proposedcontrol strategy is verified through physical experiments.Key words:flexible arm;sliding mode control;boundary control;disturbance;input quantizationCitation:MA Yifei,LOU Xuyang,WU Wei.Boundary vibration sliding mode control of a flexible arm with quantizedinput and boundary disturbance.Control Theory&Applications,2023,40(7):1190 11981引引引言言言近年来,由于柔性结构系统具有质量轻、精度高、耗能低、操作空间大等优点,被广泛应用于机器人领域1、航天领域2、工业领域3.在这些领域,对于精度的要求较高.然而,柔性系统由于本身的振动特性存在,运动过程中极易引起弹性振动,使得柔性系统在运动过程中的定位精度下降,甚至降低系统的可靠性.因此针对柔性系统的振动控制问题研究是目前研究的热点.柔性臂是一类典型的柔性结构系统.目前,越来越多的学者都参与到柔性臂系统的建模与振动控制方面的研究.关于用偏微分方程(partial differential equa-收稿日期:20220412;录用日期:20220818.通信作者.E-mail:L.本文责任编委:李世华.江苏省自然科学基金项目(BK20201340),江苏省研究生科研与实践创新计划项目(KYCX20 1768)资助.Supported by the the Natural Science Foundation of Jiangsu Province(BK20201340)and the Postgraduate Research&Practice Innovation Program ofJiangsu Province(KYCX20 1768).第 7 期马艺飞等:具有量化输入和边界扰动的柔性臂边界振动滑模控制1191tions,PDEs)描述的柔性臂系统的边界控制已有很多研究结果.在文献4中,采用自适应边界控制对具有参数不确定性的柔性臂系统进行了研究.在文献5中,考虑了柔性臂的输入非线性,并设计了一个边界控制器来处理输入齿隙.此外,还研究了移动双柔性臂的协同控制,同时文献6还讨论了输出限制和执行器故障.随后,基于神经网络78和滤波控制9的柔性臂控制方法也逐渐被探索.虽然这些研究在偏微分方程描述的柔性臂系统的振动控制方面做出了一些重要的成果,但在鲁棒边界振动控制方面还没有取得多少进展.实际应用中常常存在外部干扰,它可能会破坏系统的稳定性.对于应用精度要求很高的柔性臂来说,处理外部干扰是非常必要的.近几年,学者们提出了一些很好的方法来处理未知干扰.在文献10中,针对柔性臂系统的输入饱和和外部干扰,提出了一种边界控制器并采用扰动观测器方法估计未知边界扰动.在文献1112中,针对含有末端扰动的柔性臂系统,通过设计的干扰观测器来估计边界干扰,并且控制器也作用在末端.滑模控制作为一种有效的鲁棒控制方法,对系统不确定性和干扰抑制具有很强的鲁棒性.有关柔性系统的滑模控制已经有较多的成果1314.在文献15中,针对具有干扰的柔性梁系统,考虑了模糊滑模控制.在文献16中,分别利用干扰观测器和滑模控制研究了柔性梁系统的边界反馈控制,此时控制器仍然作用在末端.对于柔性臂的固定端控制,滑模控制也被研究了用来处理扰动13.文献17针对柔性臂系统提出了一种新的自适应滑模控制.然而,上述结果中关于柔性臂的模型是由常微分方程(ordinarydifferential equations,ODEs)所描述的.有限维模型会导致建模误差和控制溢出问题.在实际控制系统中,由于传感器和执行器的精度的限制,所采集到的信号必须通过量化才能传输到被控系统中,这就需要量化器解决以上问题.量化器可以看作是一个将连续信号转换为离散信号的算子.在量化控制系统中,需要对控制输入和测量输出进行量化.当控制输入信号经过量化器时,相当于在控制器的设计中引入了强非线性,这不利于系统性能,甚至可能导致系统不稳定.因此许多研究者对控制系统各种不同量化方法分析和设计进行了研究.值得注意的是,近年来,针对具有量化输入的柔性臂系统已存在较多的研究成果.文献18针对具有量化输入的双连杆柔性臂的稳定性问题进行了研究.文献19进一步与事件触发控制结合,研究了柔性臂的事件触发量化控制问题,并保证了系统状态是一致有界的.文献20针对具有输入信号量化的三维柔性梁系统,设计了一种自适应边界控制方案,以抑制梁的振动.在以上针对柔性臂系统的研究中,文献1920未考虑边界扰动的影响,同时虽然考虑了自由端负载,但固定端与自由端同时施加控制力,尤其是文献20,控制力仅仅作用在自由端.在实际应用中,自由端施加控制力是较难实现的.受上述研究成果的启发,本文的目的是针对具有量化输入和边界扰动的柔性臂系统设计边界滑模控制器,以抑制具有未知有界干扰的柔性臂的振动.本文的贡献包括以下3点:1)针对具有量化输入和边界扰动的柔性臂系统,提出了边界滑模控制器来处理量化误差和边界扰动;2)在所设计的边界滑模控制器下,证明了滑模面的可达性,并分别通过算子半群理论和Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统的适定性以及指数收敛;3)所设计的边界滑模控制器是基于PDE模型并不是有限维ODE模型,只需测量边界信号,与文献2,9相比,模型更精确,并且控制力不是作用于自由端,与文献1920相比,更实用.符符符号号号说说说明明明:为了描述方便,本文用()t=()t和()x=()x分别表示对时间t和位置x的偏导;Hn()表示一类Sobolev空间并且函数本身及其n阶导数在区域是平方可积的;Lp(0,L)表示一类Lebesgue可测空间范数定义为gLp=(w0|g|pdt)1p;Rn表示n维Euclidean空间;C(0,+);X)表示从0,+)到X的连续函数空间;此外,R和R+分别表示实数集和正实数集.2问问问题题题描描描述述述图1展示的是柔性臂的简单示意图,由图可以看出,柔性臂的左端是固定的,右端可以自由振动.柔性臂的横向位移(x,t)由两部分组成:在t时刻轮毂的角位置(t)和在位置x处,t时刻柔性臂的弹性挠度z(x,t).当角度(t)相对较小时,柔性臂总横向位移表达为(x,t)=x(t)+z(x,t).?(?)?(?)?(?)(?)(?)=?(?)+?(?)图 1 柔性臂简单示意图Fig.1 A simplified diagram of a flexible arm柔性臂系统被建模为一个四阶PDE方程以及对应的固定端和自由端边界条件5.具有边界扰动的柔性臂系统方程及边界条件表达如下:tt(x,t)+EIxxxx(x,t)+czt(x,t)=0,(1)1192控 制 理 论 与 应 用第 40 卷EIxx(0,t)Ih(t)+v(t)+d(t)=0,(2)z(0,t)=zx(0,t)=xx(L,t)=xxx(L,t)=0,(3)其中:(x,t)(0,L)(0,+),L,EI,Ih,c分别表示柔性臂的长度、密度、弯曲刚度、轮毂的转动惯量以及阻尼系数,v(t)表示期望的连续控制输入,d(t)表示柔性臂轮毂端的边界扰动.经过量化器后的控制输入表达为v(t)=Q(u(t).定义量化误差为e(t)=Q(u(t)u(t).(4)本文所考虑的边界扰动是连续且光滑的并根据能量有限原则,对边界扰动d(t)做如下假设:假假假设设设 111,2122考虑受到边界扰动的柔性臂系统,假设边界扰动d(t)R是可积的并且存在一个正常数d R+,对于任意t 0,),使得|d(t)|6d成立.进一步假设边界扰动d(t)是可导的并且其导数是有界的.对于量化误差e(t)文章做出如下假设:假假假设设设 223假设量化误差e(t)是有界的,即存在一个正常数,对于任意的t 0,),使得|e(t)|6成立.为了方便之后的分析和推导,文章给出以下引理:引引引理理理 124考虑微分方程形式如下:(t)+(t)=f(t)+g(t)s(t),其中:为常数,(t),f(t),s(t)表示n维向量.如果下列条件成立:1)函数f(t)和g(t)属于H1(0,),也就是函数本身及其一阶导数都是有界的;2)若s(t)满足s(t)6,为正常数,则可得到lim0/0(t)=f(t).引引引 理理理 225令1(x,t),2(x,t)R,(x,t)0,L 0,+),则存在以下不等式:1(x,t)2(x,t)6|1(x,t)|2(x,t)|6221(x,t)+1222(x,t),其中为正数.引引引 理理理 326令(x,t)R,(x,t)0,L 0,+),并满足(0,t)=0,t 0,+),则以下不等式成立:2(x,t)6LwL0 x(x,t)2dx,wL0(x,t)2dx64L22wL0 x(x,t)2dx.本文中,控制目标是通过构造滑模面和边界滑模控制器,减少边界扰动对系统的影响,在量化输入下使得柔性臂系统能够达到期望的角度同时抑制振动.3主主主要要要结结结果果果本节中,为了处理边界扰动d(t),提出了边界滑模控制策略,控制目标是使柔性臂达到期望的角度并抑制振动.具体的控制策略如图2所示.图 2 边界滑模控制框图Fig.2 Block diagram of sliding mode boundary control首先,利用边界信号构造滑模函数和滑模面,即s(t)=Ih(t)+a1(t)d)+wt0a2(t)d)dt,(5)其中:a1和a2是正常数.滑模面表示为s(t)=0.边界滑模控制器设计为u(t)=a1(t)a2(t)d)EIxx(0,t)ass(t)(D|(t)|+a)sgns(t),(6)其中:as,a为正常数,D=d+,d表示边界扰动d(t)的上界满足假设1,表示量化误差e(t)的上界满足假设2,(t)为低通滤波器的输出,形式如下:(t)+(t)=sgns(t),(7)其中为给定的一个较小的正常数,并且给定滤波器输出的初始值为(0)=sgns(0).首先,讨论在边界滑模控制器(6)下闭环系统的适定性.闭环系统可写成tt(x,t)+EIxxxx(x,t)+czt(x,t)=0,Ih(t)+e(t)a1(t)a2(t)d)ass(t)(D|(t)|+a)sgns(t)+d(t)=0,s(t)=Ih(t)+a1(t)+a2(t)d),(t)+(t)=sgns(t),z(0,t)=zx(0,t)=xx(L,t)=xxx(L,t)=0,(8)求解上述闭环系统的低通滤波器部分可得(t)=et(0)+1etwt0esgns()d,(9)其中是一个给定的正常数.从式(9)可以看出(t)的解与滑模函数s(t)有关,也就是说当滑模函数s(t)存在唯一解时,低通滤波器的输出(t)也存在唯一解.因第 7 期马艺飞等:具有量化输入和边界扰动的柔性臂边界振动滑模控制1193此,接下来文章主要讨论以下闭环系统的适定性:tt(x,t)+EIxxxx(x,t)+czt(x,t)=0,Ih(t)+e(t)a1(t)a2(t)d)ass(t)(D|(t)|+a)sgns(t)+d(t)=0,s(t)=Ih(t)+a1(t)+a2(t)d),z(0,t)=zx(0,t)=xx(L,t)=xxx(L,t)=0.(10)定义Hilbert空间为X:=H2(0,L)L2(0,L)R3,在此空间下的内积定义为P1,P2X=EIwL01(x)2(x)dx+wL01(x)2(x)dx+1wL01(x)2(x)dx+1wL01(x)2(x)dx+Ih1(0)2(0)+a2p1p2+q1q2,(11)其中Pi=(i(x)i(x)i(0)piqi)TX,i=1,2.定义一个算子A为Al(x)(x)(0)pq=(x)x(0)EI(x)c(x)x(0)1Iha1(0)a2p asq(0)asq,(12)及其定义域为D(A)=(x)(x)(0)p q)TH4(0,L)H2(0,L)R3,(0)=(0)=(0)=(L)=(L)=0,(13)可以看出算子A是一个线性算子并且D(A)X.在线性算子A的作用下,可以把闭环系统(10)重新表达为以下发展方程的形式:Y(t)=AY(t)+B(t),(14)其中:Y(t)=(z(,t)t(,t)(t)(t)d)s(t)TX,B(t)=(0,0,e(t)+d(t)(D|(t)|+a)sgns(t),0,e(t)+d(t)(D|(t)|+a)sgns(t)T.下面利用算子半群理论讨论闭环系统(10)的适定性.定定定理理理 1考虑存在边界扰动的柔性臂系统(1)(3),在假设1和假设2成立的条件下,基于边界滑模控制器(6),若控制器参数满足如下限制条件:(EI8cL424)1EI2 11EI+2as2+cL3126,a2,a,as,1,2为正常数,则算子A在Hilbert空间上能产生一个C0压缩半群.进一步,对于任意给定的初始条件(z(,0)t(,0)(0)(0)d)s(0)TX,闭环系统(10)存在唯一的解(z(,t)t(,t)(t)(t)d)s(t)TC(0,+);X).证证证分3步来证明定理.步步步骤骤骤 1讨论算子A的耗散性.P,APX=EIwL0(x)(x)dx+wL0(x)EI(x)c(x)x(0)dx+wL0(x)EI(x)c(x)x(0)dx+wL0(x)(x)x(0)dx+(0)(a1(0)a2p asq)+p(0)asq26(c 1 c122)wL02(x)dx as22q2(1EIEI218cL4124)wL02(x)dx(a11EI22as2cL3126)2(0).(15)当满足定理 1 中给出的参数限制条件时,可以得到P,APX60.因此,算子A是耗散的.步步步骤骤骤 2证明算子A的逆算子存在且是紧算子.令1=(f(x)g(x)h v w)T X,通过求解方程AP=1可解得唯一解P.从而方程AP=1的解是存在且唯一的.因此,算子A1存在,进一步通过Sobolev嵌入定理可知算子A1在X是紧算子.步步步骤骤骤 3证明存在0 0使得算子0IA的值域是X.任意给定2 X,证明存在唯一的解使下式成立:(0I A)Y=2.(16)回顾步骤2可知算子A1是存在的并且是紧的.因此可以将式(16)重新表达为(0I A)Y=A(0A1I)Y=2,当0满足00A11时,可得到0A1 0,B(t)=(0 0 e(t)+d(t)(D|(t)|+a)sgns(t)0 e(t)+d(t)(D|(t)|+a)sgns(t)T Lp(0,);根据文献29,定理5.1.10,闭环系统(10)存在唯一的解Y(t)C(0,+);X).证毕.1194控 制 理 论 与 应 用第 40 卷下面讨论边界滑模控制器下系统的稳定性.首先给出下述结果说明在所设计的滑模边界控制器下,系统状态能够在有限时间内到达滑模面.定定定理理理 2考虑存在边界扰动的柔性臂系统(1)(3),在假设1成立的条件下,在所设计的边界滑模控制器下,滑模函数s(t)是单调的并且是指数衰减的,存在一个时间t0=1aslnas|s(0)|a+1使得当tt0时,系统状态达到滑模面上并且会一直维持在滑模面上.证证证构造Lyapunov函数如下:Vs(t)=12s2(t),(17)对Lyapunov函数Vs(t)沿时间t求导并代入边界条件(2)可得Vs(t)=s(t)EIxx(0,t)+Q(u(t)+d(t)+a1(t)+a2(t)d).(18)根据量化误差e(t)的定义(4),并代入边界滑模控制器(6)可得Vs(t)=s(t)ass(t)(D|(t)|+a)sgns(t)+d(t)+e(t)=ass2(t)(D|(t)|+a)|s(t)|+(d(t)+e(t)s(t),(19)其中D=d+.从上式可看出,当滑模函数s(t)=0时,Lyapunov函数Vs(t)是呈指数衰减的,也就是说滑模函数s(t)也是单调并且呈指数衰减的.根据低通滤 波 器(7)以 及 设 置 的 初 始 值(0)=sgns(0)可知,在系统状态到达滑模面之前,滤波器的输出值|(t)|=1.结合假设1中的|d(t)|6d和假设2中的|e(t)|6,进一步可得Vs(t)6ass2(t)a|s(t)|,(20)当s(t)=0时,对上式两边同时除以|s(t)|可得sgns(t)s(t)6ass(t)sgns(t)a.(21)对上式两边同时乘以east,并移项可得sgns(t)s(t)eastass(t)sgns(t)east6aeast,(22)两边同时从0到t对时间积分,之后不等式两边同时乘以east可得|s(t)|6aas+(aas+|s(0)|)east,(23)通过计算可得,当tt0=1aslnas|s(0)|a+1时,可以实现s(t)=0,也就是系统状态能够在有限时间到达滑模面.当系统到达滑模面后,即s(t)=0,此时,s(t)=(D|(t)|+a)sgns(t)+d(t)+e(t),(24)移项并代入低通滤波器(7)可得 (t)+(t)=(D|(t)|+a)1(s(t)d(t)e(t).(25)根据引理1可知,当取值较小时,下式成立:lim0(t)=d(t)+e(t)D|(t)|+a,(26)由于D,a都为正常数,因此(t)和d(t)+e(t)的符号相同.接下来分为以下两种情况进行讨论:D2(t)+a(t)=d(t)+e(t),(t)0D2(t)+a(t)=d(t)+e(t),(t)0.(27)根据假设1和假设2可知|d(t)+e(t)|6D,通过求解微分方程可得(t)1,这也说明d(t)+e(t)D|(t)|+a d(t)+e(t).换句话说,边界滑模控制器(6)中符号函数部分的时变增益总是比d(t)+e(t)大.因此,即使到达滑模面,不等式(20)也会一直成立,说明了系统状态在到达滑模面之后会一直维持在滑模面上.证毕.注注注 1在边界滑模控制器(6)中,符号函数的增益为时变增益.与固定增益相比,相同点在于都需要扰动上界是已知的.然而,固定增益会造成系统的抖振,时变增益可以避免控制器高频切换下造成系统抖振现象.接下来,将讨论系统到达滑模面之后的稳定性并给出如下定理.定定定理理理 3考虑受边界扰动的柔性臂系统(1)(3),当边界滑模控制器(6)参数满足如下限制条件:a1Iha2+cL3126+EI1,a2 0,(EI8cL424)1EI110,as0,1为正常数,可以得到如下结论:1)柔性臂的弹性挠度z(x,t)是指数收敛的满足|z(x,t)|68L312EIV(0)et,2)柔性臂的角度误差(t)d是指数收敛的满足|(t)d|62Iha1a2V(0)et,其中:1=1 1max1,16L44EI,0.证证证构造Lyapunov候选函数为V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),(28)其中:第 7 期马艺飞等:具有量化输入和边界扰动的柔性臂边界振动滑模控制1195V1(t)=12wL02t(x,t)dx+12EIwL0z2xx(x,t)dx,V2(t)=1wL0t(x,t)z(x,t)dx,V3(t)=12Ih(t)+a2(t)d)2,V4(t)=a1a22Ih(t)d)2.首先,将讨论所构造Lyapunov候选函数的正定性.利用引理2、引理3以及边界条件z(0,t)=zx(0,t)=0,可以得到|V2(t)|612wL0(2t(x,t)+z2(x,t)dx612wL02t(x,t)dx+1216L44wL0z2xx(x,t)dx61max1,16L44EIV1(t),(29)进一步得出00成立,参数1必须满足01min1,4EI16L4.进一步可以得到0 0,再进行简单的推导可得V(t)612(t)2(t)d)23wL0t(x,t)2dx 4wL0zxx(x,t)2dx 5wL0 x(t)t(x,t)dx,(39)其中参数的具体表达如下:1:=a1Iha2cL3126EI1 0,2:=a2a2Ih 0,3:=c 1 c122 0,4:=1EI8cL4124EI1 0,5:=c12 c+1=0(40)以及1为正常数.通过简单的计算,可以得出控制器参数的限制条件为1196控 制 理 论 与 应 用第 40 卷a1Iha2+cL3126+EI1,a2 0,(EI8cL424)1EI1 1Iha2+cL3126+EI1,a2 0,(EI8cL424)1EI11 0,as 0,1为正常数,可以得到如下结论:1)系统状态在有限时间内到达滑模面上并且会一直维持在滑模面上;2)柔性臂的角度误差(t)d和弹性挠度z(x,t)是指数收敛的.注注注 6与采用低通滤波器的边界控制器(6)相比,推论1仅对边界扰动d(t)本身要求有界,摒弃了对边界扰动d(t)可导以及对导数有界的限制,适用范围更广.然而,由于控制器(49)中符号函数前的系数是固定常数,这会导致系统出现抖振.第 7 期马艺飞等:具有量化输入和边界扰动的柔性臂边界振动滑模控制11974实实实验验验验验验证证证在本节中,为了验证在第3节中所提出边界滑模控制策略的有效性,对柔性臂采用物理实验来验证.实验平台如图3所示,由24 V稳压电源供电的直流电机,长 度L=0.5m,=0.1kg/m和EI=0.157Nm2的柔性臂,电机驱动单元,Ih=0.00133kgm2和c=0.01Ns/m2的电机组成，一个紧急开关和两个应变片.实验配置方案框图如图4所示.?图 3 实验平台Fig.3 Experimental platform图 4 实验配置方案框图Fig.4 Block diagram of experimental configuration scheme本实验使用的直流电机模型为DBM60,角位置和角速度由增量编码器产生的三相脉冲获得,两个应变片传感器分别位于柔性臂的固定点和5 mm位置.两个应变计传感器的数据通过ADS1115进行测量,STM32通过I2C协议与ADS1115通信以获得状态zx(0,t).然后，通过差分算法在线获得信号xx(0,t).在实验中,采样时间设置为10 ms,控制器的输出采用量化器Q(u(t)=0.1round(u(t)/0.1).控制目标是将柔性臂旋转到期望角度d=0.4rad,并尽可能减少振动.为了验证所提出边界滑模控制策略的有效性,分别采用PD(proportional differential)控制和边界滑模控制器(6)进行实验.PD控制:采用增量式PD控制方法,其中Kp=27.5,Kd=15.3.角度(t)与轮毂端弯曲度zx(0,t)的实验结果分别由图5和图6中的虚线表示.可以看出,最终的角度位置稳定在期望位置d=0.4rad附近.但在前2 s存在明显的正向超调与反向超调.从图6中,还可以观察到轮毂端弯曲度zx(0,t)的振幅较大,这意味着柔性臂在到达期望角度后仍存在较大的振动.图 5 角度位置的实验结果Fig.5 Experiment results of the angle position?0.10246810?/s?0.050.000.050.00.10.20.30.4PD 控制?(6)?(0?)/rad?0.2?0.3?0.48.0 8.5 9.0 9.510.0图 6 轮毂端弯曲度实验结果Fig.6 Experiment results of the hub-end bending边界滑模控制器(6):将边界滑模控制器(6)应用于实验平台,控制器参数选择为a1=0.5,a2=10,as=2,a=0.05,D=0.18,=0.002.值得注意的是,由于边界滑模控制器(6)中的符号函数sgns(t)的存在,在实际实验中会引起电机的抖动.为了防止实验中电机在高频振动造成损伤,利用一个低通滤波器(7)来滤出符号函数所引起的高频切换控制输入的等效控制力.柔性臂的角度(t)轨迹和轮毂端的弯曲度zx(0,t)分别在图5和图6中用红线表示.角度位置可以平缓地达到期望的角度.此外,由于xx(0,t)项的引入,zx(0,t)的振动明显小于PD控制下的振动.也就是说在柔性臂达到期望角度后,柔性臂的振动也得到了很好的抑制.5结结结论论论在本文中,针对具有量化输入与边界扰动的柔性臂系统,提出了一种边界滑模控制器的设计方法.基1198控 制 理 论 与 应 用第 40 卷于边界信息构造了滑模面与边界滑模控制器并采用了低通滤波器的抖振抑制策略.通过算子半群理论证明了在所设计边界滑模控制器下闭环系统的适定性,进一步通过Lyapunov稳定性理论证明了系统状态能够在有限时间内到达滑模面以及系统状态在滑模面上是指数收敛的.最后通过物理实验验证了所提出边界滑模控制策略的有效性.在之后的研究中,将进一步考虑减少边界扰动的限制条件以及柔性臂系统的最优控制问题.参参参考考考文文文献献献:1 HE W,GE S S,HOW B V E,et al.Robust adaptive boundary controlof a flexible marine riser with vessel dynamics.Automatica,2011,47(4):722 732.2 DONG K,LIU H,ZHU X,et al.Force-free control for the flexible-joint robot in human-robot interaction.Computers&Electrical Engi-neering,2019,73:9 22.3 LIU Yu,FU Yun,LIU Weidong,et al.Adaptive vibration boundarycontrol for a flexible satellite system.Control 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