践行单元设计 指向深度学习.pdf

教法探讨深度学习是通过对核心内容的分析和教材知识的整合、以及学生高阶认知参与，通过对获得知识过程、方法、效果的深度感悟，完善和发展认知结构，形成学习能力、并能将这种能力迁移到新的情境，有效解决挑战性问题的学习方式.指向深度学习的教学强调单元整体设计，要求教师要立足于学科体系之上，选择本学科最为核心的知识内容，削枝强干进行结构化处理.在结构化的知识基础上形成“引领性学习主题”，促进师生共同对核心知识进行有深度、有宽度的加工处理，让学生对学科核心知识的价值和意义有更深刻的理解，进而全面深入地体验学科知识本质，充分领悟学科知识的功能作用应该说，在当前“减负增效”的大背景下，倡导深度学习是发展学生核心素养的有效途径和重要旨归.为深入落实单元整体教学理念、促进学生主动深度学习，笔者根据现行人教A版教材必修第二册，以“平面向量基本定理在三角形中的拓展”为微单元主题，设计一节教学课时案例，旨在引领学生积极参与有挑战性的主题探究活动、经历单元知识的再发现、再发展、再重构以及再应用的过程，综合运用知识和方法创造性地解决问题，激发学生树立良好的探究意识、整体意识、创新意识和科学的理性精神.并期待以此得到各位专家同仁的指正和共鸣.1问题引入例1已知O是ABC内部一点，满足 OA+3 OB+m OC=0，SAOBSABC=57，则实数m=（）.A.4B.6C.8D.10例 2在ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足 OA+3 OB+4 OC=0(0),则=.设计意图：“问题是数学的心脏”，旨在开门见山激励学生开动脑筋投身课堂探究活动.引导学生观察发现两个题目的共性之处，聚焦在“由一点向三角形三个顶点引发践行单元设计 指向深度学习福建省惠安第三中学 江志杰 362100摘要：本文以“平面向量基本定理在三角形中的拓展”为例，展示了作者进行单元设计的过程和意图，内容严谨、实用.关键词：单元设计；深度学习；平面向量；三角形2023年第2期河北理科教学研究 33教法探讨的向量线性运算和为零”这一模型上，并以此引发学生产生疑惑：如何以此模型确定点O位置？“三个向量线性运算和为零”背后藏何玄机？怎样控制各个向量系数达成线性运算和为零？然后，教师适时提出“三个向量线性运算和为零”这一模型可等价变形为“一个向量由另两个向量线性表示”，从而促发学生从 平面向量基本定理 这一核心知识开始回顾、追溯（问题1、2暂留作悬念），开启平面向量基本定理在三角形中拓展探索之旅.2复习回顾2.1 平面向量基本定理在 同 一 平 面 内 四 个 点O,A,B,C，若 OA,OB不共线，则 OC=OA+OB(,R).2.2 三点共线定理在 同 一 平 面 内 四 个 点O,A,B,C，若A,B,C三 点 共 线，则 OC=OA+OB且+=1.设计意图：回归本源，再现平面向量核心知识及其重要推论，夯实知识根基、感悟知识关联，为后续探究架设通道，促进核心知识纵向深入拓展.2.3 向量“爪形”定理在ABC中，D是BC上的点，若|BD:|CD=m:n，则 AD=mm+n AC+nm+n AB.当AD是中线时，|BD:|CD=1:1，AD=12(AC+AB)；当AD是高线时，|BD:|CD=|AB cosB:|AC cosC=tanC:tanB;当AD是角平分线时，|BD:|CD=|AB:|AC.当AD是 角 平 分 线 时，|BD:|CD=SABD:SACD，AD=SABDSABC AC+SACDSABC AB.设计意图：引导学生发现“向量爪形定理”是“三点共线定理”在三角形中生动再现和实用推论，其中用“爪形”描述三角形中的边、线特征，凸显形象逼真、通俗易懂，符合学生认知“口味”，有利于直观理解、深刻牢记！值得一提的是，将“爪线AD”分为中线、高线、角平分线等三种常见情形逐一展现，使得平面向量基本定理在三角形中一脉相承、焕发生机，其中三角形的边角关系、几何性质在向量表示中彼此交融、自然渗透.让学生顿悟到如何运用平面向量求解三角形中“三线”的方法策略，也感受到 解三角形 与 平面向量、平面几何 等知识之间有着密切的关联，使得 解三角形 的单元知识网络在探究回顾中得到拓展延伸.据此让学生在平凡的三角形中领略知识融汇带来的新奇别致，体验到“老树长新芽，枯木又逢春”的意境.尤其是三角形中“线段之比转为面积之比”更让学生倍感创造性、灵动性.同时也是为下一步探究埋下铺垫、顺利过渡.3研探新知如图 2 设O是ABC内一点，显然有 OC=OA+OB，但其中,是如何确定？能否用ABC中的某种数量来直观表示呢？如图 3 延长AO交BC边于点D，则BDDC=SABDSACD=SOBDSOCD=SABD-SOBDSACD-SOCD=SOABSOAC.ABCDmn图1ABCOABCOD图2图32023年第2期河北理科教学研究 34教法探讨 OD=DCBC OB+BDBC OC=SOACSOAC+SOAB OB+SOABSOAC+SOAB OC.又ODOA=SOBDSOAB=SOCDSOAC=SOBD+SOCDSOAB+SOAC=SOBCSOAB+SOAC，-SOBCSOAB+SOAC OA=SOACSOAC+SOAB OB+SOABSOAC+SOAB OC.SOBC OA+SOAC OB+SOAB OC=0.设计意图:引导学生共同参与向量结论的推导拓展，主动经历观察尝试、探索发现、归纳整理、得到结论等过程，树立科学的理性探索精神.让学生明白：若没有真正的深入探究、没有认真的归纳反思，就不会有实实在在的结果发现.同时让学生再次深刻领悟到“线段之比转为三角形面积之比”是推导结论的关键，“系数面积化”使得该向量推论模型更具鲜明的几何意义，这也就创设了平面向量与解三角形的又一联系通道.3.1 三角形中的“奔驰”定理设O是ABC内一点，则SOBC OA+SOAC OB+SOAB OC=0.本定理因图形酷似奔驰的车标而得名，如何从数学角度品赏定理模型之美？设计意图:引导学生赏析定理模型的发现之美、结构之美、简洁之美.在ABC中，点O是三个线性和为零的向量“公共起点”，如同物理中三个方向作用力合力为零的“平衡支点”，倘若我们将 OA形象地看做“箭”，对应OBC形象地看做“弓”，则该定理模型可看作是“箭”与“弓”形面积的一种“力量平衡”组合.这种从数学美的角度剖析定理模型，必定让学生耳目一新、熟记在心.3.2“奔驰”定理推论设O是ABC内一点，且x OA+y OB+z OC=0，其中x,y,zR+，则有x:y:z=SOBC:SOAC:SOAB.设计意图：深入挖掘“奔驰定理”模型中面积系数本质，三个向量系数比即为对应三角形的面积比，使得定理模型更具一般化、实用化.从而沟通了平面向量与三角形面积的转换渠道，让学生领悟到平面向量问题可转化为解三角形问题来解决，扩展了解三角形的解法空间.3.3 例题解析（课前引入）例1和例2.例1解：根据“奔驰定理”可得SBOC:SAOC:SAOB=1:3:m，故SAOBSABC=m1+3+m=57，解得m=10.例 2 解：根据“奔驰定理”可得SBOC:SAOC:SAOB=:3:4，故SBOCSABC=+3+4=12，解得=7.设计意图：前呼后应、学为所用，让学生体验该定理模型的高效实用.也让学生明白例1和例2产生的源头背景.3.4 解后延拓3.4.1“奔驰”定理应用的思路关键（1）形式：三角形内一点与三个顶点组成的向量的线性运算和为零向量.（2）核心：三个向量的系数比分别对应三个三角形的面积比.（3）实质：把三角形中一类向量问题转化为有关面积的问题来解决.设计意图：帮助学生进一步归纳揭示“奔驰定理”的结构和内涵.提升学生发现和ABCOMN图42023年第2期河北理科教学研究 35教法探讨提出问题能力、分析和解决问题能力.3.4.2“奔驰”定理与三角形“四心”关系3.4.2.1 三角形中的“四心”概念回顾（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1；（2）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等；（4）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），内心到三角形各边的距离相等.设计意图：再次回顾对照“四心”概念及其特征，避免学生对基本概念混淆不清.当“三角形内一点”恰为“四心”之一时，进一步对接探究其向量统一形式.3.4.2.2 三角形“四心”向量式的统一形式（1）O是ABC的重心 OA+OB+OC=0；当O是ABC的重心时，SOAB=SOBC=SOAC=13SABC.（2）O是ABC的内心 a OA+b OB+c OC=0；O是ABC的内心sinA OA+sinB OB+sinC OC=0；当O是ABC的内心时，SOBC:SOAC:SOAB=12ar:12br:12cr=a:b:c（r为内切圆半径），进而SOBC:SOAC:SOAB=sinA:sinB:sinC.（3）O是ABC的外心 sin2A OA+sin2B OB+sin2C OC=0；当O是ABC的外心时，SOBC:SOAC:SOAB=12R2sin2A:12R2sin2B:12R2sin2C，故有SOBC:SOAC:SOAB=sin2A:sin2B:sin2C（R为外接圆半径）.（4）O是ABC的垂心 tanA OA+tanB OB+tanC OC=0.当O是ABC的垂 心 时SOAB:SOAC=12BDOA:12DCOA=BD:DC，所以SOAB:SOAC=ccosB:bcosC=sinCcosB:sinBcosC=tanC:tanB.同 理SOAB:SOBC=tanC:tanA，SOAC:SOBC=tanB:tanA.从而SOBC:SOAC:SOAB=tanA:tanB:tanC.设计意图：让“奔驰定理”更加淋漓尽致地运用于三角形中，极力散发“四心”向量形式的统 一 美、对 齐美！在推导归纳过程中，平面向量、解三角形、平面几何、三角函数等知识交汇融通，充分展现解三角形单元知识共同体的“整体魅力”和“核心凝聚力”.3.5 课堂训练（1）已知O是ABC的内心，且 AO=13 AB+12 AC，则|BC:|AC:|AB=.（2）若P为ABC的 外 心，满 足|PC=2,ACB=512，且2 PA+3 PB+4 PC=0，则ABC的面积为.（3）若O为锐角ABC内一点，且A=3,B=4,3 OA+2 OB+OC=0，则O是ABC的（）.A.外心B.内心C.垂心D.重心答案：（1）1:2:3；（2）94；（3）A.设计意图：熟练运用“四心”向量统一形式解决三角形相关问题，充分体会三角形中有关向量推论的实用功效和题型本源，收获探究成果带来的喜悦美感，促使学生站在更高层次分析问题、解决问题.4教学总结4.1 本节探究活动流程设计意图：让学生清晰体验由一般到特殊、由框架到细化、由表象到本质的纵向探ABCO图5ABCOD图62023年第2期河北理科教学研究 36教法探讨索路线，整个流程层层递进、步步为营，相关定理推论一脉相承、薪火相传、九九归一.虽说上述探究结论的新奇名称概念屡屡闪现，却也形象逼真、通俗易记、更接地气！4.2 本节知识框架平面向量的定理推论也是解三角形的重要辅助工具，应该说三角形模型为平面向量、三角函数、平面几何、立体几何、解析几何等知识的综合融通提供了广阔空间，“解三角形”是承上启下的单元网络“枢纽”.设计意图：敦促学生升华、建构解三角形与平面向量、平面几何、三角函数等知识之间的框架体系，努力打造“解三角形”单元知识共同体，提升解三角形的解题策略空间，也为后续学习 立体几何、解析几何奠定坚实的基础！5评价反思本节课围绕 平面向量基本定理在三角形中的拓展 为探究主题，以问题撬动单元知识汇聚，构建解三角形知识共同体，引导学生将平面向量的核心基础知识植入常见的三角形中，使之扎根发芽、绽放新机，共同体验探究成果带来的解题快感和结构美感.赋予了解三角形崭新的生命力，使得解三角形的相关知识自然交融、相互渗透，形成了解三角形的单元整体框架.而且这种单元知识框架是学生在引领性主题的探究中，通过问题驱动、主动研思，逐步生成，并非教师生搬硬套、简单罗列地抛给学生,从而让学生在习得知识方法的同时也习得单元知识的结构体系，并在结构化的知识框架中理解知识元素之间的关系，再透过知识关系发现问题本质和应用解决问题，这才是真正意义上符合深度学习要求的有效单元教学.值得一提的是，该节微单元设计取材于常规典型试题，渗透试题问题化、问题模型化、解模规范化、解题技能化的设计思路.从中我们不难领悟到，深度学习应致力于激发学生内在的学习动机，通过教师创设的引领性学习主题、挑战性学习任务（活动）以及持续性学习评价，合理利用各种教学手段和策略（如上文中涉及的概念名称呈现形象化、通俗化、生活化），吸引学生主动地、全身心地投入学习活动之中，感受学习钻研的乐趣，领悟学习探究的价值和意义，不断体验成就感，进而达到“建构学科知识体系、理解核心知识本质、有效迁移解决问题以及发展思维提升素养”的境界.因此，深度学习应立足于学生主体、教师主导原则，直指有意义、有深度的主动学习，要求教师着力于教材内容的系统理解、重视知识的关联整合，在对教学进行整体思考、系统规划和相应研究的基础上，以单元学习的视角开展教学设计，形成有个性、有活力的教学活动方案，并在教学实践中不断尝试、反思、改进完善、最终促成“深度学习”的真实发生.平面向量基本定理三点共线定理“爪形”向量定理“奔驰”定理“四心”向量形式边角关系三角函数平面向量平几知识解三角形立体几何解析几何2023年第2期河北理科教学研究 37