1、第六章,6.2,简单不等式的解法,高考第一轮复习用书,数学,(,理科,),本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,6.2简单不等式解法,一、一元一次不等式,一元一次不等式可整理为,ax,b,(,a,0).,知识诠释思维发散,1/59,1.当,a,0时,不等式解为,x,;,2.当,a,0时,不等式解为,x,.,二、一元二次不等式,1.解一元二次不等式步骤:,(1)把二次项系数,a,变为正.(若,a,0且,0时,定一元二次不等式解集口诀:,“小于号取中间,大于号取两边”),2.一元二次不等
2、式与一元二次方程、二次函数之间关系,3/59,二次函数y=ax2+bx+c图象,(a0,=b2-4ac),(,0),(,=0),(,0,解集,x,|,x,x,2,x,|,x,x,1,R,不等式,ax2+bx+c0,解集,x,|,x,1,x,x,0,取值范围为,(),(A)(,-,1,(3,+,).,(B)(,-,2,(4,+,).,(C)(,-,2),(3,+,).,(D)(,-,3),(4,+,).,6/59,【解析】当,x,(,-,1时,2,-,x,即2,-,x,2,-,2,解得,x,即log,81,x,log,81,(81,=log,81,3,解得,x,3,因,此,x,3.,综上可得,x
3、,3或,x,1.,【答案】A,7/59,2.使得1,x,|2,x,2,+,ax,-,a,2,0,a,取值范围为,.,【解析】由1,x,|2,x,2,+,ax,-,a,2,0,得,a,2,-,a,-,20,-,1,a,0解集为,x,|2,x,0解集为,.,【解析】由题意知2,3是方程,-,x,2,+,bx,+,c,=0两个实数解,依据,根与系数之间关系得,即,代入不等式,cx,2,-,bx,-,10,得6,x,2,+5,x,+10,即(2,x,+1)(3,x,+1)0,即(2,x,+1)(3,x,+1)0,解得,-,x,-,.,所以原不等式解集为,x,|,-,x,-,.,【答案】,x,|,-,x
4、,-,9/59,关键突围技能聚合,题型1简单不等式解法,例1(1)关于,x,不等式,x,2,-,ax,-,20,a,2,0任意两个解,差不超出9,则,a,最大值与最小值和是,(),(A)2.(B)1.(C)0.(D),-,1.,10/59,(2)已知函数,f,(,x,)=,那么不等式,f,(,x,)0解集为,.,【分析】(1)任意两个解差不超出9即不等式解最大值,与最小值差值不超出9,所以解出不等式即可;(2)分段解出不,等式,最终求并集.,11/59,【解析】(1)方程,x,2,-,ax,-,20,a,2,=0两根是,x,1,=,-,4,a,x,2,=5,a,则由关于,x,不等式,x,2,-
5、,ax,-,20,a,2,0任意两个解差不超出9,得|,x,1,-,x,2,|=|9,a,|,9,即,-,1,a,1,且,a,0.故,a,最大值与最小值和是0.,(2)当,x,0时,由,-,|,x,+1|0时,由,x,2,-,10得,-,1,x,1,所以0,x,1,故不等式解集为,x,|,x,-,1或,-,1,x,1.,12/59,【答案】(1)C(2),x,|,x,-,1或,-,1,x,0解集为,x,|,-,2,x,1,则,函数,y,=,f,(,-,x,)图象是,(),14/59,(2)若不等式,+,m,0解集为,x,|,x,4,则,m,值为,.,【解析】(1),f,(,x,)=,ax,2,
6、-,x,-,c,0解集为,x,|,-,2,x,1,即方程,ax,2,-,x,-,c,=0,两根为,-,2,1,f,(,x,)=,-,x,2,-,x,+2,15/59,y,=,f,(,-,x,)=,-,x,2,+,x,+2.且,f,(,-,x,)两根分别为,-,1和2.,(2)由,+,m,0,得,0时,解集在两根之内,显然不合题意;,当1+,m,0,其大根为1,-,m,小根为,-,m,.,所以,得,m,=,-,3.,【答案】(1)C(2),-,3,16/59,例2解关于,x,不等式,(,a,为参数).,【分析】移项,通分,把分式不等式转化为整式不等式,分类,讨论,得出不等式解集.,【解析】原不等
7、式等价于,-,0,0,(,x,-,2)(1,-,),x,+,-,10.,当,a,=1时,解为,x,2;,题型2含参数不等式解法,17/59,当0,a,1时,解为2,x,1时,解为,x,2或,x,1+,;,当,a,2或,x,2;,当0,a,1时,原不等式解集是,x,|2,x,1+,;,当,a,1时,原不等式解集是,x,|,x,2或,x,1+,.,18/59,【点评】解任意含参数(单参)一元二次不等式对参数进,行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式,=0时,所得到参数值,然后依此进行分类即可,这么这类问题便,有了“通法”,都可迎刃而解.,19/59,变式训练2解关于,x,不等式:,ax,2,
8、-,(,a,+1),x,+10.,【解析】若,a,=0,原不等式,-,x,+11.,若,a,0,x,1.,若,a,0,原不等式,(,x,-,)(,x,-,1)1时,(*)式,x,1;,当0,a,1时,(*)式,1,x,.,总而言之,当,a,0时,解集为,x,|,x,1;,当,a,=0时,解集为,x,|,x,1;,当0,a,1时,解集为,x,|1,x,1时,解集为,x,|,x,1.,21/59,例3(1)已知函数,y,=log,2,(,m,-,2),x,2,+2(,m,-,2),x,+4定义,域为R,则,m,取值范围是,.,(2)若不等式,mx,2,-,2,x,+1,-,m,0对,x,R成立.,
9、当,m,=2时,成立;,当,m,2时,依据对数真数恒大于零,得(,m,-,2),x,2,+2(,m,-,2),x,+40,解集为R.,即,解得,23/59,m,取值范围为2,6).,(2)已知不等式可化为(,x,2,-,1),m,+(1,-,2,x,)0.,设,f,(,m,)=(,x,2,-,1),m,+(1,-,2,x,),这是一个关于,m,一次函数(或常数函,数),从图象上看,要使,f,(,m,)0在,-,2,m,2时恒成立,其等价条,件是:,即,24/59,解得,所以,实数,x,取值范围是(,).,【答案】(1)2,6)(2)(,),【点评】(1)“三个二次”即一元二次函数、一元二次方程
10、,、一元二次不等式是中学数学主要内容,含有丰富内涵,25/59,和亲密联络,同时也是研究包含二次曲线在内许多内容,工具.高考试题中很多试题与“三个二次”问题相关,而不,等式解法其关键内容也是一元二次不等式解法,所以,“三个二次”及其关系问题一直以来是高考中热点.(2),题是一个关于,x,二次不等式,若将主元看作,m,则变为关于,m,一次函数,从而使问题变为一次不等式.,26/59,变式训练3(1)若关于,x,不等式,0”为真命题,则实数,x,取值范围是,.,【解析】(1)分母4,x,2,+6,x,+3,0对任意实数,x,恒成立.,原不等式可化为2,x,2,+2,kx,+,k,0恒成立.,即1,
11、k,0”为真命题,m,(1)0或,m,(3)0,28/59,即,x,2,-,x,-,20,或3,x,2,+,x,-,20,由得,x,2;由得,x,.,所以,所求实数,x,取值范围是,x,.,【答案】(1)(1,3)(2)(,-,-,1),(,+,),29/59,例4汽车在行驶中,因为惯性作用,刹车后还要,继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段距离为“刹车,距离”.刹车距离是分析事故一个主要原因.,在一个限速为40 km/h弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发觉情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得,甲车刹车距离略超出12 m,乙车刹车距离略超出10 m,又,知甲、乙两种车型刹车距离
12、,s,(m)与车速,x,(km/h)之间分别,题型4不等式解法在实际问题中应用,30/59,有以下关系:,s,甲,=0.1,x,+0.01,x,2,s,乙,=0.05,x,+0.005,x,2,.问:甲、乙两车,有没有超速现象?,【分析】判断两车是否超速,能够经过刹车距离确定该车速,度,所以,依据速度与刹车距离函数关系,确定两车速度范,围即可.,【解析】由题意知,对于甲车,有0.1,x,+0.01,x,2,12,即,x,2,+10,x,-,120,00,解得,x,30或,x,10,即,x,2,+10,x,-,0,解得,x,40或,x,0,当0,x,5时,解不等,34/59,式,-,0.4,x,
13、2,+3.2,x,-,2.80,即,x,2,-,8,x,+70,得1,x,7,15时,解不等式8.2,-,x,0,得,x,8.2,5,x,8.2.,总而言之,要使工厂赢利,x,应满足1,x,5时,f,(,x,)8.2,-,5=3.2,所以,当工厂生产400台产品时,赢利最多.,36/59,1.解不等式基础是一元一次不等式和一元二次不等式,解,决其它类型不等式关键就是要善于利用相关性质或,定理,经过等价转换,变成一元一次、二次不等式(组).,2.要注意含参不等式分类讨论与分段函数不等式区分,对含参不等式分类讨论所得各个不等式解集不能取并集;,而对分段函数分类讨论后,要取各个不等式并集.,3.含参
14、不等式问题,假如不等式解集与参数相关,就必须分,类讨论,不过要注意分类标准,做到不重不漏.,37/59,例解不等式lo,(,),0.,【错解】由原不等式得,1,去分母得2,x,-,3,x,+4,解得,x,7,故原不等式解集为,x,|,x,7.,【剖析】上面解法错在:一是把对数不等式转化为代数不,等式时忽略了函数定义域;二是解分式不等式时随意地去,分母,我们研究问题都是在它们有意义前提下进行,因,此忽略了定义域对数值可能不存在了.不等式性质明确表,38/59,明不等式两边同乘(除)以同一个正数或负数,不等号方,向是不一样,只有确定这个数是正数或负数时才能判定不等,号是同向或异向.以上两点是解不等
15、式时最易犯错误,务必,切记.,【正解】原不等式可转化为,x,7.,故原不等式解集为,x,|,x,7.,39/59,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),基础角度思绪,1.(基础再现)不等式,0解集是,(),(A)(,-,-,1),(,-,1,2.,(B)(,-,1,2.,(C)(,-,-,1),2,+,).,(D),-,1,2.,40/59,【解析】,0,所以,-,10,B,=,x,|log,2,x,0,则,A,B,等于,(),(A),x,|,x,1.,(B),x,|,x,0.,(C),x,|,x,1或,x,0=,x,|,x,1或,x,0=,x,|,x,1,所以,A,B,=,x,|,x,1
16、.,【答案】A,42/59,3.(视角拓展)函数,y,=,定义域为,(),(A),-,1,-,),(0,.,(B),-,1,.,(C)(,-,-,),(0,+,).,(D)(,-,(0,1.,43/59,【解析】lo,(3,x,2,+2,x,),0,03,x,2,+2,x,1,0,x,或,-,1,x,-,.,【答案】A,44/59,4.(视角拓展)已知不等式,x,2,-,2,x,-,30解集为,A,不等式,x,2,+,x,-,6,0解集是,B,不等式,x,2,+,ax,+,b,0解集是,A,B,那么,a,+,b,等于,(),(A),-,3.(B)1.(C),-,1.(D)3.,【解析】由题意:
17、,A,=,x,|,-,1,x,3,B,=,x,|,-,3,x,2,A,B,=,x,|,-,1,x,2,由根与系数关系可知:,a,=,-,1,b,=,-,2,选A.,【答案】A,45/59,5.(高度提升)对于任意实数,x,不等式(,a,-,2),x,2,-,2(,a,-,2),x,-,40恒成,立,则实数,a,取值范围是,(),(A)(,-,-,2).(B)(,-,2.,(C)(,-,2,2).(D)(,-,2,2.,【解析】(1),a,=2时满足题意;(2),a,2时,对应方程,=4(,a,-,2),2,+16(,a,-,2)0,且,a,-,20,解得,-,2,a,2.综上可知实数,a,范围
18、是(,-,2,2.,【答案】D,46/59,6.(基础再现)已知常数,t,是负实数,则函数,f,(,x,)=,定义域是,.,【解析】由题知12,t,2,-,tx,-,x,2,0,(,x,+4,t,)(,x,-,3,t,),0.因为,t,为负实数,于是可解得,x,3,t,-,4,t,.,【答案】3,t,-,4,t,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),47/59,7.(基础再现)不等式,-,4,-,x,2,-,x,-,-,2解集是,.,【解析】2,x,2,+,x,+,0,x,取值范围是,.,【解析】,f,(,x,)在R上是奇函数,f,(,-,0)=,-,f,(0),f,(0)=0,设,x,0
19、,f,(,x,)=,-,f,(,-,x,)=,-,lg(,-,x,),49/59,f,(,x,)=,由,f,(,x,)0得,或,x,1或,-,1,x,0,B,=,x,|4,x,2,+,x,-,3,0,C,=,x,|log,x,1.然后叫3名同学到讲台上,并将“,”中数告诉了他们,要求他们各用一句话来描述,方便同学们能确定该数.以下是,三位同学描述:甲:此数为负整数;乙:,A,是,B,成立充分无须,要条件;丙:,A,是,C,成立必要不充分条件.若老师评说三位同,学都说对,则“,”中数为,.,51/59,【解析】依据题意可得,B,=,x,|,-,1,x,C,=,x,|0,x,.依据甲,描述,设负整
20、数为,k,则,A,=0,x,-,.,依据乙丙描述,A,B,C,A,所以,-,解得,-,32;,(2)0,x,2,+,x,-,2,4.,【解析】(1)原不等式可化为3,x,2,-,6,x,+20,方程3,x,2,-,6,x,+2=0两根为,三、解答题(本大题共3小题,每小题14分),53/59,x,1,=1,-,x,2,=1+,原不等式解集是,x,|1,-,x,1或,x,-,2,解得,-,3,x,2.,原不等式解集为,x,|,-,3,x,-,2或10(,a,为参数).,【解析】原不等式可化为(,x,-,a,)(,x,-,a,2,)0.,若,a,a,2,则,a,2,-,a,0,即0,a,1,则原不
21、等式解集为,x,|,x,a,;,若,a,a,2,即,a,1,则原不等式解集为,x,|,x,a,2,;,若,a,=,a,2,即,a,=0或,a,=1,则原不等式解集为,x,R|,x,0且,x,1.,55/59,所以,当0,a,1时,原不等式解集为,x,|,x,a,;,当,a,1时,原不等式解集为,x,|,x,a,2,;,当,a,=0或,a,=1时,原不等式解集为,x,R|,x,0且,x,1.,56/59,12.(能力综合)已知二次函数,f,(,x,)二次项系数为,a,且不等式,f,(,x,),-,2,x,解集为(1,3).,(1)若方程,f,(,x,)+6,a,=0有两个相等实根,求,f,(,x
22、,)解析式;,(2)若,f,(,x,)最大值为正数,求,a,取值范围.,【解析】(1),f,(,x,)+2,x,0解集为(1,3),故可设,f,(,x,)+2,x,=,a,(,x,-,1),(,x,-,3),且,a,0.因而,f,(,x,)=,a,(,x,-,1)(,x,-,3),-,2,x,=,ax,2,-,(2+4,a,),x,+3,a,.,由方程,f,(,x,)+6,a,=0,得,ax,2,-,(2+4,a,),x,+9,a,=0.,57/59,因为方程有两个相等实根,所以,=,-,(2+4,a,),2,-,4,a,9,a,=0,即5,a,2,-,4,a,-,1=0,解得,a,=1或,a,=,-,.,因为,a,0,所以,a,=,-,将,a,=,-,代入得,f,(,x,)解析式,f,(,x,)=,-,x,2,-,x,-,.,(2)由,f,(,x,)=,ax,2,-,2(1+2,a,),x,+3,a,=,a,(,x,-,),2,-,58/59,又,a,0且,a,0得,解得,a,-,2,-,或,-,2+,a,0.,故当,f,(,x,)最大值为正数时,实数,a,取值范围是(,-,-,2,-,),(,-,2+,0).,59/59,
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