专题五：函数与导数应用(1)——教师版.doc

2006北京十三中高三数学第二轮复习讲义--------函数
专题五：函数与导数应用（1）——教师版
——导数的求导法则、几何意义、不等式
一、基本练习：
1、函数y=（x+1）2（x－1）在x=1处的导数等于___4_____
解析:y′|x=1=［（x2+2x+1）（x－1）］′|x=1=［x3+x2－x－1］′|xx=1=（3x2+2x－1）| x=1=4.
2、设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于___________
解析:f′（x）=3ax2+6x,f′（－1）=3a－6=4,所以a=.
3、对任意x，有（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为__________
A.f（x）=x4－2 B.f（x）=x4+2
C.f（x）=x3 D.f（x）=－x4
解析：筛选法.答案：A
4、已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是___4x－y－4=0.___.
解析：∵P（2，4）在y=x3+上，
又y′=x2，∴斜率k=22=4.
5、.函数y=x2的曲线上点A处的切线与直线3x－y+1=0的夹角为45°,则点A的坐标为____（，）或（－1，1）_______.
解析:设点A的坐标为（x0,y0）,
则y′|x=x=2x|x=x=2x=k1,又直线3x－y+1=0的斜率k2=3.
∴tan45°=1==||.解得x0=或x0=－1.∴y0=或y0=1,即A点坐标为（，）或（－1，1）.
6、如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为_54 _
解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.
7、若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为___4_____.
解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.
又P（－2，6+c），∴=－5. ∴c=4.
二、典型例题：
例题1：设函数y=ax３＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－４=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.
解:∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P，∴P的坐标为P（0,d）.又曲线在点P处的切线方程为y=12x－４，P点坐标适合方程，从而d=－４.
又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′｜x=0=12,而y′=３ax2＋2bx＋c，y′｜x=0=ｃ，从而 c=12.
又函数在x=2处取得极值0，所以
y′｜x=2=0,
f（2）=0,即
12a＋４b＋12=0,
８a＋４b＋20=0.
解得a=2，b=－9.
∴所求函数解析式为y=2x3－9x2＋12x－４.
例题2：设函数f（x）=x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）>m，则实数m的取值范围是_____ m∈（－∞，）___.
解析：（x）=3x2－x－2=0，x=1，－，
f（－1）=5，f（－）=5，f（1）=3，f（2）=7. ∴m<3.
例题3：求证：x>1时，2x3>x2+1.
证明：令f（x）=2x3－x2－1，则（x）=6x2－2x=2x（3x－1）.
当x>1时，（x）>0恒成立. ∴f（x）在（1，+∞）上单调递增.
又∵f（1）=0， ∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x>1时，2x3>x2+1.

（选做）例题4：已知函数f（x）=ln（ex+a）（a＞0）.
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f－1（x）及f（x）的导数f′（x）;
（2）假设对任意x∈［ln（3a）,ln（4a）］，不等式|m－f－1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求实数m的取值范围.
解:（1）由y=f（x）=ln（ex+a），
得x=ln（ey－a），所以y=f－1（x）=ln（e x－a）（x＞lna）.
f′（x）=［ln（ex+a）］′=.
（2）由|m－f－1（x）|+ln（f′（x））＜0,得
ln（ex－a）－ln（ex+a）+x＜m＜ln（ex－a）+ln（ex+a）－x.
设（x）=ln（ex－a）－ln（ex+a）+x, （x）=ln（ex－a）+ln（ex+a）－x,
于是原不等式对于x∈［ln（3n）,ln（4a）］恒成立.等价于（x）＜m＜（x）. （*）
由′（x）=－+1, ′（x）= +－1,
注意到0＜ex－a＜ex＜ex+a. 故有′（x）＞0, ′（x）＞0,
从而（x）、（x）均在［ln（3a）,ln（4a）］上单调递增,
因此不等式（*）成立当且仅当（ln（4a））＜m＜（ln（3a））,
即ln（a）＜m＜ln（a）.
三、课后练习：
1、确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.
解：=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2， ∴b=－2.
又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c， 代入y=2x，得c=4.
2、过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是_2x－y+4=0_____.
.解析：y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2.
∴所求直线方程为y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.
3、函数f（x）=sin（3x－）在点（,）处的切线方程是_3x－2y+－=0____.
解析:因为f′（x）=3cos（3x－）,所以所求切线的斜率为f′（）=,切线方程为y－= （x－）,即3x－2y+－=0.
4、曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.
解：=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1时，切线最小斜率为3，
此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y+14=3（x+1）.
5、设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为__［0，］__
解析：（1）∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，］，
∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－的距离d=x0－（－）=x0+.
又∵（x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［，］.∴d=x0+∈［0，］.
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